人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念课时练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念课时练习，共24页。试卷主要包含了1　数列的概念等内容，欢迎下载使用。


4.1　数列的概念
【考点梳理】
考点一　数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
考点二　数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列

考点三　函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
考点四　数列的单调性
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
考点五　通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
考点六　数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
考点七　数列的前n项和Sn与an的关系
重难点大规律归纳
1． 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.




2．an＝
(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
(2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项．
【题型归纳】
题型一:数列的有关概念和分类
1．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二）下列四个选项中，不正确的是（    ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
2．（2022·全国·高二）下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数；
②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表达式是唯一的．
其中正确的是（    ）．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④
3．（2022·全国·高二）下列有关数列的说法正确的是（    ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列，，与数列，，是同一个数列
C．数列1，3，5，7可表示为
D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列





题型二：判断或者写出数列的项
4．（2022·北京·高二期末）已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是（    ）
A．4 B．12 C．24 D．32
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）若数列的通项公式是，则（    ）
A． B． C．15 D．16
6．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）已知数列满足，数列满足，若将这两个数列中相同的项按从小到大的顺序排列，组成新数列，则（    ）
A．64 B．100 C．121 D．169

题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数
7．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（    ）
A． B． C． D．
8．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为（    ）．
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
9．（2022·北京·牛栏山一中高二期中）已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5

题型四：由递推公式求数列的指定项
10．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）已知数列满足，，则（    ）
A． B． C． D．
11．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知数列满足，则（    ）
A． B． C． D．
12．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）数列满足，，则等于（    ）
A． B． C．2 D．

题型五：由递推公式求通项公式
13．（2020·甘肃兰州·高二期中（理））已知数列满足：，，则（    ）
A． B．
C． D．
14．（2020·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则（    ）
A． B．n C． D．
15．（2020·湖南·娄底一中高二开学考试）在数列中，，且，通过求，，，猜想的表达式为（    ）
A． B．
C． D．

题型六：利用Sn与an的关系求通项公式
16．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．


17．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）已知数列的前项和为，若.
(1)求，，；
(2)求数列的通项公式
18．（2021·全国·高二）已知数列满足，求数列的通项公式．

【双基达标】
一、单选题
19．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）在数列中， ， ，则（　　）
A．数列单调递减 B．数列单调递增
C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减
20．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
21．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（　　）
A．17 B．37 C．107 D．128
22．（2022·北京师大附中高二期中）已知数列的首项为2，满足，则（    ）
A．2 B． C． D．
23．（2022·福建·莆田一中高二期中）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：，，，，，，，，，，，，，这就是著名的斐波那契数列．则该数列的前2022项中奇数的个数是（    ）
A．1012 B．1346 C．1348 D．1350
24．（2022·福建·莆田一中高二期中）数列，则该数列的第n项为（    ）
A． B． C． D．
25．（2022·福建省诏安县桥东中学高二期中）若数列是递增数列，则的通项公式可能是（    ）
A． B．
C． D．


26．（2022·陕西省洛南中学高二阶段练习（理））记数列前项和为，且数列满足，，则（   ）
A． B． C． D．
27．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ）
A． B．
C． D．

【高分突破】
一：单选题
28．（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
29．（2022·上海·华师大二附中高二开学考试）已知数列的首项，且，，是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（    ）
A．不存在a和n使得 B．不存在a和n使得
C．不存在a和n使得 D．不存在a和n使得








30．（2022·江苏省苏州第十中学校）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（    ）

A．89 B．55 C．34 D．144

二、多选题
31．（2022·福建漳州·高二期中）下列有关数列的说法正确的是（    ）
A．数列与数列是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中,第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为
32．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）若数列对任意满足，若，则可能是（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
33．（2022·江苏省镇江中学高二开学考试）已知数列满足，，记，则（    ）
A． B．
C． D．


34．（2022·广东佛山·高二期末）已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（    ）
A． B． C． D．
35．（2022·广东深圳·高二期末）已知数列中，，，，则（    ）
A．
B．
C．
D．

三、填空题
36．（2022·江苏·常熟中学高二期中）已加数列满足，若恒成立.则a的取值范围是_________．
37．（2022·福建龙岩·高二期中）已知数列满足，，则________．
38．（2022·福建漳州·高二期中）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,…,即从第三项开始,每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为“斐波那契”数列.已知数列为“斐波那契”数列,数列的前项和为,若,则______（用含的式子表示）.
39．（2022·全国·高二单元测试）将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示，例如，若，则______．

40．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知数列满足，，则_______.
四、解答题
41．（2022·山西省浑源中学高二）写出下列数列的一个通项公式．
(1)，，，，…；
(2)，，，，…；
42．（2022·全国·高二）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)3，4，3，4；
(4)6，66，666，6666．

43．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，写出各数列的前4项，并归纳猜想数列的通项公式．
(1)，（，）；
(2)，（，）；
(3)，，（，）．
44．（2022·全国·高二）在数列中，.
(1)求证：数列先递增后递减；
(2)求数列中的最大项.

【答案详解】
1．B
【分析】根据数列的函数特征，可判断A;比较数列的项，可判断B;根据数列的前几项可验证数列的通项公式，判断C;观察数列的项的变化，可判断D.
【详解】因为数列是一类特殊的函数，其自变量 ,故数列的图象是一群孤立的点，A正确；
数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B错误；
观察数列，，，，…的前四项规律，可知一个通项公式是，C正确；
数列，，…，的每项是越来越小，故数列是递减数列，D正确，
故选：B
2．A
【分析】根据数列的定义、数列的分类判断．
【详解】数列的项数可以是有限的，也可以是无限的．数列作为一个函数，它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集，
数列通项的表达式可以不唯一，例如，数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项可以是，也可以是．故①②正确，③④错误．
故选：A．
3．D
【分析】根据数列的概念，逐项判断即可.
【详解】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；
数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；
是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.
故选：D.
4．B
【分析】根据递推公式逐项计算即可
【详解】由题意，，
故选：B
5．A
【分析】利用数列的通项公式，分别求得的值，即可求得的值.
【详解】数列的通项公式，
则

则

故选：A
6．D
【分析】由题可得，，进而即得.
【详解】∵，
∴当时，，
当时，，
时，也适合此式，
∴，，
∴令，则，，
因为为
满足的值为
故.
故选：D.
7．B
【分析】求出数列的前5项，再由对勾函数的性质可得，的单调性，从而即可得最大值.
【详解】解：由，得，，，，．
又，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
故选：B．
8．D
【分析】用不等式法求出最大项的项数.
【详解】假设第n项最大（），
有，
又，所以，即数列的最大项为第7项.
故选：D.
9．C
【分析】根据单调性分析出数列的正数项有哪些即可求解.
【详解】由条件有，
当时，，即；
当时，，即.
即，
所以取得最大值时n的值为.
故选：C
10．B
【分析】根据递推式代入计算即可.
【详解】，，，

故选：B.
11．A
【分析】根据递推公式逐步赋值即可求出．
【详解】因为，所以．
故选：A．
12．A
【分析】根据递推关系得出数列前几项，归纳可知数列具有周期性，利用周期求解即可.
【详解】因为，，
所以，，，，，…，
所以数列是周期数列，周期为3，所以，
所以.
故选：A.
13．D
【解析】取特殊值即可求解.
【详解】当时，，显然AC不正确，
当时，，显然B不符合，D符合
故选：D
14．D
【分析】根据递推关系式，利用累乘法求出数列的通项公式，即可求解.
【详解】由题意，数列满足，所以，
所以．
故选：D．
【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，考查累乘法在求通项公式中的应用，属于基础题.
15．C
【分析】由已知求得，，，可以猜想得选项.
【详解】解：由，，得，即，
∴，，即，
∴，，
由此猜想．
故选C．
【点睛】本题考查由之间的关系式，求数列的前几项，猜想数列的通项公式，属于基础题.
16．(1)3；6
(2)an＝.

【分析】（1）分别令，，求出，即可；
（2）利用，得到＝，再利用累乘法求即可.
（1）
由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，
又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.
由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，
∴a3＝ （a1＋a2）＝6.
（2）
∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴an＝an－1，即＝.
∴an＝··…···a1
＝··…···1
＝.
又a1＝1满足上式，
∴an＝.
17．(1)，，；
(2)

【分析】利用数列前项和与数列通项的关系即可求解.
(1)
；
，∴；
，∴；
(2)
当时，，
当时，，不满足上式，
∴.
18．.
【分析】当时，得到，进而做差可得到，再检验时，即可求出结果.
【详解】∵，
∴当时，，
两式相减得，∴.
又∵当时，，∴，满足.
∴.
19．A
【分析】由数列递推式求出，可判断，将两边平方得，判断与 同号,结合，可判断，即得答案.
【详解】由 ，，得 ， ，且可知 ．
再由，两边平方得 ①，
则 ②，
②﹣①得： ，∴ ，
∵，∴与 同号,
由 ，可知， ，即 ，
可知数列单调递减．
故选：A．
20．C
【分析】仿照分段函数的单调性求解，同时注意．
【详解】由题意，解得．
故选：C．
21．C
【分析】根据题意可得既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，从而可求得数列的通项，即可得解.
【详解】解：因为能被3除余2且被7除余2，
所以既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且，
所以，即，
所以.
故选：C.
22．C
【分析】写出数列的前5项，即可得出数列是以4为周期的数列，则．
【详解】因为，所以由已知可得
，，，.
所以数列是以4为周期的数列，
所以.
故选：C.
23．C
【分析】根据已知数据进行归纳，发现规律，再结合题意，即可求得结果
【详解】对数列中的数据归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，
又，故该数列前项有个奇数.
故选：C
24．D
【分析】通过数列的规律总结出数列的第n项即可
【详解】设该数列为，
则
以此类推可得，
故选：D
25．A
【分析】根据数列通项公式的函数性质即可判断.
【详解】对于A，，易知是递增数列；A正确；
对于B，，当时，数列递减，
当时，数列递减，B错误；
对于C，，故数列是递减数列，C错误；
对于D，，数列是摆动数列，不具单调性，D错误.
故选：A
26．D
【分析】根据递推式得到为下标周期为4的数列，并求得，进而求.
【详解】由题设，，，，，…
所以是下标周期为4的数列，且，
则.
故选：D
27．A
【分析】利用累乘法计算可得.
【详解】解：因为，
所以，，，，，，
所以，
即，又，所以；
故选：A
28．C
【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案.
【详解】当时，有，即；当时，有，
又，即，综上，有，
故选：C．
29．A
【分析】利用特殊值的思路，分别令、来去判断即可.
【详解】令，则所有的奇数项都为1，偶数项都为5，此时，故C选项错误；令，则所有的奇数项都为2，偶数项都为4，此时，，故BD选项错误，综上所述，A选项正确.
故选：A.
30．C
【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案.
【详解】设第行实心圆点的个数为，
由题图可得，，，，，，，……，
则，
故，，，．
故选：C．
31．BCD
【分析】根据数列的定义数列是根据顺序排列的一列数可知选项A错误,
使,即可得出项数,判断选项B的正误,
根据数列的规律可得到第8项可判断选项C的正误,
根据数列的规律可得到通项公式判断选项D的正误.
【详解】对于选项A,数列与中数字的排列顺序不同,
不是同一个数列,
所以选项A不正确;
对于选项B,令,
解得或（舍去）,
所以选项B正确;
对于选项C,根号里面的数是公差为1的等差数列,
第8个数为,即,
所以选项C正确;
对于选项D,由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知通项公式为,
所以选项D正确.
故选:BCD
32．ABD
【分析】根据数列的递推关系列举即可求解.
【详解】由得或，
由，若，，则
由，若，
由，若，
由可知要么为3，要么为2，可以为5，6或者4，可以为7，10，8，12，6，故不可能为9，
故选：ABD
33．BC
【分析】代入前几项即可判断出A,B，然后分奇偶可点数列的通项公式，从而判断出C，D.
【详解】由题意可得，
所以，所以A错误，B正确；
又，
故，即，
所以为等差数列，故，所以C正确，D错误，
故选：BC.
34．CD
【分析】由已知可得数列是以3为周期的周期数列，然后逐个分析判断即可
【详解】因为，，所以，，，
对于A，，所以A错误，
对于B，当时，，所以B错误，
对于C，因为， 数列是以3为周期的周期数列，所以，所以C正确，且
对于D，因为数列是以3为周期的周期数列，且，所以，所以D正确，
故选：CD
35．BD
【分析】根据递推关系式可推导可知数列是以为周期的周期数列，由可知A错误；由知B正确；由知C错误；根据递推关系式得到，可知，得到D正确.
【详解】由题意得：，，，，…，
数列是以为周期的周期数列；
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，由递推关系式知：，
，D正确.
故选：BD.
36．
【分析】由数列的单调性列式求解
【详解】由题意得数列单调递减，则
解得，
故答案为：
37．2021
【分析】由可得，由累加法可得，结合求得，即得，即可求得答案.
【详解】由得：，
则
，
由于，故，
故，故，
故答案为：2021.
38．##
【分析】根据数列每一项都等于它前两项的和规律,从第1项写出到第2023项,各式左、右两边分别相加,即可得到之间的关系,即可得出.
【详解】解:由已知得,,…,,
以上各式左、右两边分别相加,
得,
即,
又,,
所以.
故答案为：m+1
39．67
【分析】找到每行最后一个数的规律，写出通项公式，确定位于第行，再确定其所在的列数，从而求出答案.
【详解】每行最后一个数的排列为1,5,11,19,29，
第行最后一个数的通项公式为，
其中，，
所以位于第行，且，
所以位于第行，第22列，所以.
故答案为：67
40．50
【分析】令，则是常数列，进而求出，故可求得，代入即可求得.
【详解】根据题意，令，得
因为，所以，又，
所以是首项为的常数列，故，即，故，
所以.
故答案为：50.
41．(1)（答案不唯一）
(2)（答案不唯一）.

【分析】（1）（2）根据数列前几项找到规律，从而得到数列的符合题意的一个通项公式.
【详解】（1）解：由，，，，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，分子均为，且分母为序号与其后一个数之积，
故该数列的通项公式可以为（答案不唯一）.
（2）解：由，，，，…，
可得该数列的一个通项公式为（答案不唯一）.
42．(1)；
(2)；
(3) ；
(4).

【分析】（1）（2）（3）（4）观察给定的4项，结合数据特征写出一个通项作答.
（1）
4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（2）
4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（3）
4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（4）
4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，
依次可写为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
43．(1)，，，，猜想;
(2)，，，，猜想；
(3)，，，，猜想.

【分析】分别由已知数列递推式求出数列的前4项，然后归纳猜测可得所求数列的通项公式．
(1)
解：
归纳猜想.
(2)
解：
归纳猜想.
(3)
解：，，，
归纳猜想.
44．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由于，所以分别由，和求出所对应的的范围，从而可证得结论，
（2）由（1）可得是数列的最大项
(1)
证明：因为，令，
即，整理得，解得，即当时，.
同理，令，
即当时，.
令，得，
即当时，.
综上，数列从第1项到第8项递增，从第9项起递减，即数列先递增后递减.
(2)
由（1）知，，，
故是数列中的最大项.