数学5.3 导数在研究函数中的应用练习

这是一份数学5.3 导数在研究函数中的应用练习，共28页。

5.3.1　函数的单调性
【考点梳理】
知识点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减

知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
知识点三　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)













【题型归纳】
题型一：利用导数求函数的单调性（不含参）
1．（2022·全国·高二）函数的单调递减区间为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）若函数，则的一个单调递增区间是（    ）
A． B． C． D．
3．（2021秋·宁夏中卫·高二海原县第一中学校考期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.

题型二：由函数的单调性求参数
4．（2022·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·四川成都·高二校考期中）已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·天津和平·高二天津一中校考期中）已知函数的单调递减区间是，则（    ）
A．3 B． C．2 D．

题型三：由函数在区间的单调性求参数
7．（2018春·湖南邵阳·高二统考期末）设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

8．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市阿城区第一中学校校联考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

9．（2022秋·安徽·高二校联考期末）若函数在上为增函数，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

题型四：函数与导函数图像的关系
10．（2022秋·四川绵阳·高二校考期中）已知函数（是函数的导函数）的图象如图所示，则的大致图象可能是（    ）

A．B．C． D．
11．（2022秋·浙江宁波·高二宁波市李惠利中学校联考期中）函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（    ）

A． B．
C． D．
12．（2022秋·北京·高二北京四中校考期中）已知函数与的图象如图所示，则函数（    ）

A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数

题型五：含参分类讨论函数的单调性
13．（2022·高二课时练习）求函数的单调区间.


14．（2022秋·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；


15．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）已知函数（）.
(1)，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.






【双基达标】
一、单选题
16．（2022·全国·高二假期作业）已知在区间上为单调递增函数，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
17．（2022春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
18．（2022秋·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则与的大小关系为（　　）
A．＜ B．=
C．＞ D．不能确定
19．（2022·高二课时练习）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（    ）

A． B．
C． D．
20．（2022·高二）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
21．（2022春·陕西延安·高二）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．


22．（2022秋·河南郑州·高二统考期末）已知函数.
(1)当时，求该函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.

【高分突破】
一、单选题
23．（2022·高二）已知函数在R上单调递增，则实数b的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
24．（2021秋·宁夏中卫·高二海原县第一中学校考期中）已知函数的导函数是，且，则（    ）
A． B．
C． D．
25．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
26．（2022秋·辽宁丹东·高二统考期末）若函数在R上可导，且满足，则（    ）
A． B．
C． D．
27．（2022秋·广东清远·高二统考期末）已知函数在上单调递增，则实数的最小值为（    ）
A． B．2 C． D．1
二、多选题
28．（2022秋·广东潮州·高二饶平县第二中学校考开学考试）已知函数，则（    ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
29．（2022·高二课时练习）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意（），下列结论正确的是（    ）

A． B．
C． D．
30．（2022·高二单元测试）已知函数，若，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．
D．当时，
31．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期末）已知函数的定义域为，且，，则下列结论中正确的有（    ）
A．为增函数 B．为增函数
C．的解集为 D．的解集为


32．（2022秋·广东潮州·高二统考期末）已知函数与的图象如图所示，则下列结论正确的为（    ）

A．曲线是的图象，曲线是的图象
B．曲线是的图象，曲线是的图象
C．不等式组的解集为
D．不等式组的解集为
33．（2022秋·广东云浮·高二统考期末）已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列结论正确的有（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若是增函数，则是减函数
D．若是减函数，则是增函数
三、填空题
34．（2022秋·四川绵阳·高二校考期末）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为__________.
35．（2022·全国·高二专题练习）设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为 __．

36．（2022秋·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）若函数在是严格增函数，则实数的最小值是_________.
37．（2022·全国·高二）已知函数，若在内为减函数，则实数a的取值范围是______．
38．（2022·高二单元）已知函数，则不等式的解集为__________．
39．（2022·高二）已知函数的单调递减区间为，则的值为________．
四、解答题
40．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）函数，若曲线在点处的切线方程为：.
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间.

41．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学期末）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若在上为严格增函数，求实数a的取值范围.

42．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中）已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性．

43．（2022秋·新疆阿克苏·高二校考期末）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.


44．（2022秋·河南郑州·高二统考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程：
(2)讨论的单调性．

参考答案：
1．B
【分析】求出导函数，令导函数小于0，即可得到单调递减区间.
【详解】解：由题意，
在中，
当时，解得（舍）或
当即时，函数单调递减
∴单调递减区间为
故选：B.
2．B
【分析】对函数进行求导，令即可求解
【详解】由可得，
令，解得，
所以的单调递增区间是，
故选：B
3．(1)
(2)递增区间为，；递减区间为

【分析】（1）求出函数的导函数，再求得与，利用点斜式可求得曲线在点处的切线方程；
（2）由，利用导函数与函数的单调性的关系可得答案.
【详解】（1），
，
，又，
曲线在点处的切线方程为，
即；
（2），
∴当时，，当时，，
在，上单调递增，在上单调递减.
的递增区间为，；递减区间为.
4．B
【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.
【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.
故选:B.
5．A
【分析】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.
【详解】，
因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，
所以即，
故选：A.
6．B
【分析】利用导数结合韦达定理得出的值.
【详解】函数，则导数
令，即，
∵，的单调递减区间是，
∴0，4是方程的两根，
∴，，
∴
故选：B.
7．D
【分析】根据函数单调性与导数的关系可知，在内存在解，即可解出．
【详解】由题可知，在内存在解，因为，所以在内存在解，等价于在内存在解，易知函数在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取得，所以．
故选：D．
8．A
【分析】首先求函数的导数，根据题意转化为在上恒成立，即，即可求实数的取值范围.
【详解】因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，则在上恒成立，即，又，当时，的最小值为，故．
故选：A
9．A
【分析】根据在上恒成立求解即可
【详解】，因为函数在[2，4]上为增函数，
所以在上恒成立，故在上恒成立，
故在上恒成立，所以.
故选：A
10．C
【分析】设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，根据函数的图象得到的正负，即得解.
【详解】解：设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，且.
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
故选：C

11．C
【分析】的解集即为单调递增区间，结合图像理解判断．
【详解】的解集即为单调递增区间
结合图像可得单调递增区间为
则的解集为
故选：C．
12．B
【分析】求导可得；分别判断在各个区间内的正负，由此可得结果.
【详解】由得：，
对于A，当时，，即，在上是增函数，A错误；
对于B，当时，，即，在上是减函数，B正确；
对于C，当时，，即，在上是增函数，C错误；
对于D，当时，，即，在上是增函数，D错误.
故选：B.
13．见解析
【分析】求导分与0的大小关系分别讨论导函数的正负区间与原函数的单调性即可.
【详解】因为，所以.
由，解得x＝0或x＝2a.
当a＝0时，，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（0，2a）；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（2a，0）.
14．(1)
(2)单调性见解析

【分析】（1）先求解的值，再求解的值，利用导数的几何意义即可求解.
（2）分类讨论的取值范围，利用导数求解函数的单调性.
（1）
解：当时，，，
∴，又，
∴曲线在处的切线方程为；
（2）
解：因为.
当时，在上为增函数；
当时，当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，当时，，当时，有，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.
15．(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）代入，求导得切线的斜率，进而求得切线方程；
（2）先求导，再分，，和讨论导数的正负，进而求得函数的单调性.
（1）
时，，，切线的斜率，则切线方程为；
（2）
函数的定义域为，且，
①当时，，由，得；由，得则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
②当，即时，由，得或；由，得.
则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为.
③当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为.
④当，即时，
由，得或；由，得，则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为.
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
16．D
【分析】求出导函数，推出在区间上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数的取值范围．
【详解】在区间上为单调递增函数
则在区间上恒成立
即在区间上恒成立
设，

函数在上是减函数，则
所以．
故选：D．
17．B
【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果.
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
18．C
【分析】根据题中的不等关系构造新函数，对新函数求导，根据不等关系得到新函数的单调性，进而赋值得到结论.
【详解】设，则有，
又因为，所以在R上恒成立，
则函数在R上单调递增，
则，即，
即＞.
故选：C.
19．A
【分析】根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果.
【详解】对于不等式对，
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
故选：A
20．C
【分析】根据函数的区间单调性，利用导数有在上恒成立，即可得参数范围.
【详解】由，得.
由于函数在上单调递减，
所以在上恒成立，则在上恒成立，
所以.
故选：C
21．(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
(2)

【分析】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间；
(2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解.
【详解】（1）当时，，

，
所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是
（2）由函数在上是减函数，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，则，
设，则，
由，知，
函数在上递增，在上递减，
∴，∴．
22．(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）求出导函数，计算导数得切线斜率，再求出，由点斜式得切线方程并化简；
（2）求出导函数，然后分类讨论确定和的解可得单调性．
(1)
当时，，该函数定义域为，
则.
所以.
又，
所以.
所以该函数在点处的切线方程为，
即.
(2)
由题可得，
令，得或.
而该函数定义域为，则
①若，则，在区间（0，1）上，；在区间上，，故函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增；
②若，即，则在区间和上，；在区间上，，故函数在和上单调递增，在上单调递减；
③若，即，则在区间上，恒成立，且仅在处取得等号，
故函数在上单调递增；
④若，即，则在区间（0，1）和上，；在区间上，，
故函数在（0，1）和上单调递增，在上单调递.
23．B
【分析】在R上单调递增在R上恒成立，为二次函数，结合列不等式求解即可
【详解】由题意得，
∵在R上单调递增，∴在R上恒成立，
∴，即，解得．
故选：B
24．D
【分析】对于ABD，通过对与的讨论，得到的单调性，从而即可判断；对于C，举反例即可排除.
【详解】对于AB，，
当，即时，，在上单调递减；
，，故AB错误；
对于D，当，即时，，在上单调递增；
，故D正确；
对于C，令，满足在上单调递减，在上单调递增，
此时，故C错误.
故选：D.
25．D
【分析】分析可得，，，令，利用导数可得的单调性，根据函数单调性，可比较和的大小，即可得答案.
【详解】由题意得，，，
令，
则，所以在为减函数，
所以，即，
所以，则，即.
故选：D
26．A
【分析】构造函数，根据函数在上可导，且满足，利用导数研究其单调性即可得出．
【详解】构造函数，
函数在上可导，且满足，
，
时，函数单调递增，
（3）（2），
即，即，
故选：A
27．A
【分析】求导可得解析式，原题等价于在上恒成立，计算即可得答案.
【详解】由题意得
因为函数在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
所以，即实数的最小值为.
故选：A
28．AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可判断零点个数，根据导数的几何意义，以及奇偶性的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，定义域为，则，
由都在单调递增，故也在单调递增，
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；
对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，
故只有一个零点，B错误；
对C：，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.
故选：AC.
29．AD
【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据原函数图象判断AB选项，根据图象的凹凸性判断CD选项.
【详解】由导函数图象可知， ，且其绝对值越来越小，
因此函数的图象在其上任一点处的切线的斜率为负，并且从左到右，切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的图象大致如图所示．

选项A、B中，由的图象可知其割线斜率恒为负数，即与异号，故A正确，B不正确；选项C、D中，表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示和所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有，
故C不正确，D正确．
故选：AD．
30．AD
【分析】构造函数，根据其单调性可判断A，构造函数可判断B，构造函数可判断C，当时，函数单调递增，然后可得，然后结合A可判断D.
【详解】设，函数单调递增，
∵，∴，即，∴，A正确；
设，∴，不是恒大于等于零，B错误；
设，则，不是恒小于等于零，C错误；
∵，∴，函数单调递增，
∴，
∴，又，
∴，D正确．
故选：AD．
31．ABD
【分析】利用导数与函数的单调性的关系可判断AB，利用函数的单调性解不等式判断CD.
【详解】对于A，因为，所以为增函数，故A正确；
对于B，由，，所以为增函数，故B正确；
对于C，，则等价于，又为增函数，
所以，解得，所以的解集为，故C错误；
对于D，等价于，
即，又为增函数，
所以，解得，所以的解集为，故D正确；
故选：ABD.
32．BC
【分析】对于AB，利用导函数的正负决定原函数的单调性分析判断即可，对于CD，根据图象求解即可
【详解】对于AB，若是的图象，则当时，，则在上递减，与曲线在上不单调相矛盾，所以是的图象，是的图象，所以A错误，B正确，
对于CD，由，得，解得，所以不等式组的解集为，所以C正确，D错误，
故选：BC
33．BD
【分析】，求导后确定出函数的单调性，由单调性判断AB，利用函数单调性的性质判断CD．
【详解】令函数，则，则在R上单调递增．
当时，；
当时，．
A不正确，B正确．
，是增函数，若是增函数，则的单调性不确定；若是减函数，则是增函数．C不正确，D正确．
故选：BD．
34．
【分析】首先构造函数，根据题意得到在R上为增函数，再将转化为求解即可.
【详解】设，，
因为，所以，即在R上为增函数.

.
因为在R上为增函数，所以，解得.
故答案为：
35．．
【分析】由＜0，构造函数，分析奇偶性，单调性，不等式等价于，即可得出答案.
【详解】由，构造函数，
因为是定义在R上的奇函数，所以为偶函数，
又当时，为减函数，且，
因为，解得，
由，解得或，
不等式等价于，
即或，解得或，
故答案为：．
36．1
【分析】由题意求导，化单调性为导数的正负问题，再参变分离利用不等式即可求出答案.
【详解】，
，
函数在是严格增函数，
在上恒成立，
即在上恒成立，
，
，
时在上恒成立，
实数的最小值为：1.
故答案为：1.
37．
【分析】根据在内为减函数，在内恒成立求解.
【详解】解：，
∵在内为减函数，
∴在内恒成立，
∴，即，
解得．
所以实数a的取值范围是．
故答案为：．
38．
【分析】判断出函数的奇偶性，利用导数以及放缩法得出函数的单调性，将不等式化简，计算出不等式的解集．
【详解】函数的定义域为，且，则是偶函数，，且，是奇函数，又，即是为增函数，当时，，即在上为增函数，则不等式等价于，，平方得，化简得，解得或，
故答案为：
39．
【分析】分析可知不等式的解集为，利用韦达定理可求得实数的值.
【详解】函数的定义域为，且，
由题意可知，不等式的解集为，所以，，解得.
故答案为：.
40．(1)；
(2)单调递增区间为，单调递减区间为.

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得的解析式，即可得到导函数，再解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间.
（1）
解：因为，
所以
，
由题意可知，解得；
（2）
解：由（1）可得，
，
令，解得或，
令，解得，
故的单调递增区间为，，的单调递减区间为.
41．(1)递减区间是，递增区间是；
(2).

【分析】（1）求出导函数，利用导数的正负解不等式即可求得的单调区间.
（2）由函数在上为严格增函数，列出恒成立的不等式求解作答.
（1）
当时，的定义域为，，
当时，，当时，，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）
依题意，，求导得：，
因函数在上为严格增函数，则，，
显然函数在上单调递减，当时，，则，
所以实数a的取值范围是.
42．(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）求导后根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导后可得，再根据导函数两根的大小关系分类讨论分析单调性即可
(1)
当时，，则，故，且，故在点处的切线方程为
(2)
求导可得，
当时，，故当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，令，则，
1.当时，，故当和时，，单调递减；当时，单调递增；
2.当时：
①当，即时，在，上，单调递增；在上，单调递减；
②当，即时，，在定义域R单调递增；
③当，即时，在，上，单调递增；在上，单调递减；
综上有：
当时，在，单调递减，单调递增．
当时，在单调递增，单调递减．
当时，在，单调递增，单调递减．
当，在定义域R单调递增．
当时，在，单调递增，单调递减．
43．(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值
(2)

【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值；
（2）由条件可知恒成立，再分离变量求最值即可求解.
（1）函数的定义域为，当时，求导得，整理得：.由得；由得从而，函数减区间为，增区间为 所以函数极小值为，无极大值.
（2）由已知时，恒成立，即恒成立，即恒成立，则.令函数，由知在单调递增，从而.经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是.
44．(1)
(2)在上单调递减，在上单调递增.

【分析】（1）由导数求出斜率、切点坐标可得答案；
（2）求出，分、讨论可得答案.
（1）
当时，，则，
∴，
∴，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）
函数的定义域为，

①当时，恒成立，则在上单调递增；
②当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增.