初中数学北师大版九年级下册8 圆内接正多边形精品同步测试题

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知识精讲
知识点01 圆内接正多边形的相关概念
圆内接正多边形的定义
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆。
圆内接正多边形的相关概念
正多边形的中点：一个正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心，如上图点O。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径，如图中的OA,OB,OE。
正多边形的中心角：正多边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，如图中的。
正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一条边的距离叫做正多边形的边心距，如图中的OM。
知识点02 正多边形的有关计算
与正多边形有关的计算公式（n为正多边形的边数，n3）：
正n边形的每个内角为
正n边形的每个中心角为
正n边形的每个外角为
正n边形的半径R、边心距r、边长a之间的关系为
若正n边形的边长为a，边心距为r，则正n边形的周长，面积
知识点03 圆内接正多边形的画法
可利用正多边形和外接圆的关系画正多边形，即作半径为R的正n（n3）边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可。有如下两种方法：
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
注意：
画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
能力拓展
考法01 求正多边形的中心角以及边数
【典例1】如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵点为正五边形的中心，
∴，
故选：D
【即学即练】如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（ ）
A．60°B．45°C．30°D．15°
【答案】C
【详解】解：连接，，
∵多边形是正六边形，
∴，
∴，
故选：C．
【典例2】如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．12C．15D．20
【答案】A
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数为．
故选：A．
【即学即练】如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ）
A．9B．10C．12D．15
【答案】C
【详解】分别连接OB、OA、OC，如图所示
∵是内接正三角形的一边
∴∠BOC=
同理，可得：∠AOB=90°
∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=30°
∵是正边形的一边
∴
∴n=12
故选：C．
考法02 正多边形和圆
【典例3】如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（ ）
A．4B．4C．2D．2
【答案】A
【详解】解：连接、，如图，
四边形为平行四边形，
，
，
，
为的直径，
，
为等边三角形，
，
，
而，
，
在中，，，
矩形的面积．
故选：A．
【即学即练】如图，、、、是上的四点，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【详解】解：如图，过点作于点．
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
的面积，
故选：D．
【典例4】如图，用六个全等的直角三角形恰好拼成一大一小两个正六边形，则大正六边形与小正六边形的周长之比为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，，
即，
∴，
∵正六边形正六边形，
∴正六边形的周长∶正六边形的周长．
故选：B．
【即学即练】由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】过图2中菱形的顶点B作于E，设图3中正八边形的中心点为点O，一边为，连接，过M点作于P，
设正八边形的边长为a，则，
由正八边形的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
空白部分面积的面积为：
，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正八边形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：
，
∴阴影部分面积与空白部分面积之比为
故选：B．
考法03 尺规作图——正多边形
【典例5】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．
乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都不对B．甲对，乙不对C．两人都对D．甲不对，乙对
【答案】C
【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知，
六边形是正六边形，即甲同学的作业正确．
由乙同学的作业可知．依次画弧可得．
六边形为正六边形，即乙同学的作业正确．
故选C
【即学即练】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对
C．两人都不对D．两人都对
【答案】D
【详解】甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB=AO=BO=AF=OF
∴△OAB, △OAF都是等边三角形，
同理可得△OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
分层提分
题组A 基础过关练
1．内角为的正多边形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵内角为的正多边形的每一个外角为：
∴正多边形的边数为：
故选B
2．已知的直径为4，则它的内接正六边形的面积为（ ）
A．B．12C．24D．
【答案】A
【详解】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
则∠AOB＝60°，OA＝OB＝×4＝2，
∴△OAB是正三角形，
∴AB＝OA＝2，
∵OC＝OA•sin∠A，
∴S△OABAB•OC
∴正六边形的面积为6．
故选：A．
3．如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：以OA半径的圆的面积是πr2，则以OB半径的圆的面积是πr2，则以OC半径的圆的面积是πr2
∴πr2，πr2，
∴OB＝r，OC＝r．
∴OA：OB：OC＝r：r：r＝ ：：1，
故选：C．
4．我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A．12B．C．D．
【答案】C
【详解】解：连接，交于点M，连接，
∵六边形是的内接正六边形，
∴，，
∴，
∵经过圆心O，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
故选C．
5．如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：连接，设交轴于，如图所示，
∵点的坐标为，
∴，
由正六边形是轴对称图形知：
在中，，．
，，
，
故选：A．
6．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，，当时，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．与相等
【答案】C
【详解】解：如下图所示，连接．
点O是正六边形的中心，
，，，，．
，．
．
，
，．
故A选项不符合题意．
，
．
（AAS）．
，．
故D选项不符合题意．
．
故B选项不符合题意．
．
．
故C选项符合题意．
故选：C
7．半径为3cm的圆内接正方形的对角线长为______cm，面积为______．
【答案】 6 18
【详解】解：如图所示，
四边形是的内接正方形，
，，
、是直径，
，
正方形的面积，
故答案为6，18．
8．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．
【答案】54
【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=×（180°-72°）=54°，
故答案为：54．
9．如图，正六边形内接于，求的度数．
【答案】
【详解】解： 正六边形内接于，

是直径，

10．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．
(1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆，
①若，则该正n边形的“接近度”等于 ．
②若，则该正n边形的“接近度”等于______．
③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆．
(2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？
【答案】(1)①120；②18；③0
(2)时，；时，，当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆
【详解】（1）解：①当时， ，
∴“接近度”等于；
故答案为：120
②当时， ，
∴“接近度”等于；
故答案为：18
③∵越小，该正n边形就越接近于圆，
∴当时，该正n边形就成了圆，
此时，
∴；
故答案为：0
（2）解：如图，当时，为正的外接圆，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，为正六边形的外接圆，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆．
题组B 能力提升练
1．若正方形的外接圆半径为2，则其内接圆半径为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【详解】解：如图：
∵正方形的外接圆半径为2，
∴ ，
又∵，
∴，即，
解得．
故选：A．
2．如图，已知正五边形内接于，连结BD，则的度数是（ ）
A．72°B．54°C．36°D．64°
【答案】C
【详解】解：连接，如图，
∵正五边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故选：C
3．已知是半径为2的圆形纸板，现要在其内部设计一个内接正三角形的图案，则内接三角形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图所示：
∵是等边三角形，的半径为2，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即它的内接正三角形的边长为，
故选：A．
4．用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．的内心与外心都是点GB．
C．点G是线段的三等分点D．
【答案】D
【详解】解：在正六边形中，，
∵，
∴，，都是等边三角形，
∴，，
∴四边形，四边形都是菱形，
∴，，
∴的内心与外心都是点G，故A正确，
∵，，
∴，
∵，
∴，故B正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G是线段F的三等分点，故C正确，
∵，，
∴，故D错误，
故选：D．
5．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（ ）
A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）
【答案】C
【详解】解：连接OB，如图所示，
∵，O为正六边形的中心，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
过B作于点G，则，，
∴，
∴，，
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：（秒），
此时点P的路程为，点的Q路程为，
此时P，Q相遇地点的坐标在点，
以此类推：第二次相遇地点在点，
第三次相遇地点在点，…如此下去，
∵，
∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为，
故选：C．
6．如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】五边形是正五边形，
，，
，
，
，
，故A不符合题意；
，
，故B不符合题意；
连接，过点A作于点H，则，
，，
，
，故C符合题意；
连接，
五边形是正五边形，
，
，
，
相切于，
，
，
，
，
，故D不符合题意；
故选：C．
7．如图，在正六边形ABCDEF中，设，，那么向量用向量、表示为______.
【答案】
【详解】连接，取的中点为O，连接，
∴，，
∴，
∴，
∴
故答案为：
8．如图，等边内接于，为边的中点，为上一动点，连接交于点，则的最大值为_________.
【答案】
【详解】解：如图，取的中点，连接，连接交于点,
∵是的中点，是的中点，
∴，
∴
当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，
此时为直径，如图，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∵是等边三角形
∴，,
∴,
∵,
∴．
故答案为：．
9．以圆内接正五边形为例证明：
如图，把分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形．
∵，
∴_______＝_______＝_________＝________，
∴，
∴_______，
同理，
又∵五边形的顶点都在上，
∴五边形是的___________，
是五边形的_____________．
【答案】，，，，，内接正五边形，外接圆
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
又∵五边形的顶点都在上，
∴五边形是的内接正五边形，
是五边形的外接圆．
故答案为：，，，，，内接正五边形，外接圆
10．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
【答案】（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=
【详解】（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．
题组C 培优拔尖练
1．圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【详解】如图（一），
∵圆内接正六边形边长为2，
∴，，
∵，
∴可得是等边三角形，圆的半径为2，
如图（二），
连接，过O作于D，
则根据内接正三角形的性质，可得，
即，
故．
故选：D．
2．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接．
是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．76°B．72°C．60°D．36°
【答案】B
【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为=72°，
故选：B．
4．如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，
∵正六边形的中心角为60°，
∴每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，
∴，，，
因此每个正六边形的面积为：，
图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：．
整个图形是一个矩形，长为12，宽为，
矩形的面积为：，
因此图中阴影部分的面积是：，
故选C．
5．我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于H，又，
∴，
∴圆内接正十二边形的周长，
∴
故选：A．
6．如图1所示的正六边形（记为“图形”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形”），作出图形的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：
①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；
②把图2中空白部分记作“图形”，则图形的周长之比为3：2：；
③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．
以上结论正确的是（ ）
A．②③B．①③C．②D．①
【答案】A
【详解】解：标注字母如图，过点作于
，为的三等分点，为是三等分点
，
∵正六边形的每一个内角为
∴中，，
在中
，
，
①不正确，
图形，边长为6，所以图形的周长为
如图，依题意可得
则，依题意，是正六边形，
所以图形的周长为
把图2中空白部分记作“图形”，由①可得，
是正六边形，
所以图形的周长为
∴图形的周长之比为=3：2：；
故②正确；
如图，过点作于点， 交内切圆于点，则即为所求，
根据正六边形的性质可得是等边三角形，
，
，
，
，
故③正确，
故选A．
7．如图，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，轴，将正六边形绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转，当时，顶点A的坐标为_____________．
【答案】
【详解】解：，
∴当时，顶点A旋转到了原来的位置，
连接，，设交y轴于点H，
在正六边形中，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
即当时，顶点A的坐标为，
故答案为：．
8．如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为____．
【答案】
【详解】解：，
点P是的内心，
分别是和的平分线，
易证（SAS）
点P在以AB为弦，所对的圆周角为的圆上运动，作的外接圆，如图所示：
圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，则
，
连接OC，交⊙O于点，当点P与点重合时，CP的值最小，分别过点O作于点M，交CB的延长线于点N，如图所示：
则四边形OMBN是正方形，
在中，
即CP的最小值为
故答案为：
9．菱形中，，点P是上一动点（不与A，B重合），连接，点M是射线上一点，且，连接，作，交于点N．
(1)如图1，若，直接写出的形状；
(2)如图2，若，点P是的中点，求的长；
(3)若，直接写出面积的最小值．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）连接，
由（1），
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴；
（3）以为底边作等腰三角形，使，
由（2）同理知，
∴点N在以O为圆心，为半径的圆上，
连接，交于G．交于N，此时的面积最小，
则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴面积的最小值为．
10．如图，四边形内接于．连接，交于点．
(1)如图1．若．，求的度数；
(2)如图2．若于，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，．求的半径．
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
(3)
【详解】（1）解：如图所示，
连接，，，，
∵，且圆周角与圆心角所对弧是同弧，圆周角与圆心角所对弧是同弧，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴．
（2）证明：如图所示，
连接，
∵，
∴，
∵圆周角与圆心角所对弧是同弧，
∴，
又∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
故．
（3）解：由（2）可知，，且，
∵与所对弧是同弧，
∴，且，
∴，则（等弧所对圆周角相等），
∵，即，
∴，是等腰直角三角形，且，，
∴，，
在中，，
如图所示，连接，，过点作于，
由（2）可知，，
∴，
∴在中，，
∴，
故的半径为．
课程标准
1.知道圆内接正多边形的定义及相关概念；
2.认识正多边形与圆的关系；
3.会用尺规作一个圆的内接正六边形和正方形；
4.掌握正多边形边长、中心角及边心距的求法.