初中数学北师大版九年级下册第三章 圆1 圆精品一课一练

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知识精讲
知识点01 圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
注意：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
注意：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
注意：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
知识点02 与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外；
点P在⊙O 上；
点P在⊙O 内.
注意：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法
当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.
(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
知识点03 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
注意：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
知识点04 圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
注意：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
能力拓展
考法01 圆的有关概念及性质
【典例1】如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2B．3C．4D．5
【典例2】如图，在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】如图，是的直径， ，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
考法02 弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
【典例3】如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝ACB．AB＝ 2ACC．AB ＞2ACD．AB ＜ 2AC
【即学即练】如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AC＝BCB．CD＝CEC．∠ACD＝∠BCED．CD⊥OA
【典例4】如图，是的直径，于E，，，则为（ ）
A．17B．30C．34D．36
【即学即练】如图，是的弦，半径为，，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
考法03 与圆有关的位置关系
【典例5】已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
【即学即练】在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C．D．．
【典例6】已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【即学即练】如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大交于点A，B，若，则直线l与小的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
考法04 圆中有关的计算
【典例7】如图，是的外接圆，，则的度数为（ ）
A．45°B．55°C．70°D．75°
【即学即练】如图，在中，半径垂直弦于点D．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【典例8】若圆的半径为9，则的圆心角所对的弧长为（ ）
A．3B．6C．D．
【即学即练】半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
考法05 圆与其他知识的综合运用
【典例9】如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点．若的半径为4，且，则的长度为（ ）
A．5B．C．D．6
【即学即练】已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．
A．2B．4C．8D．16
2．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
3．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
4．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么弧AB与弧CD的关系是（ ）
A．弧AB=弧CDB．弧AB＞弧CDC．弧AB＜弧CDD．不能确定
5．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是( )
A．AB＝ADB．AC＝BDC．BE＝CDD．BE＝AD
6．如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（ ）
A．5mmB．6mmC．8mmD．10mm
7．如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为______．
8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为_____．
9．如图，直线，垂足为P，测得．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切；
（2）求该圆弧的长．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，．
（1）求的度数；
（2）过点D作，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若，求EF的长．
题组B 能力提升练
1．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．如图，半圆的圆心为0，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是（ ）
A．12πB．6πC．5πD．4π
3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cmB．6cmC．3cmD．cm
4．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
5．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
6．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
7．如图，半圆形纸片AMB的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________ .
8．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．
9．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．
10．如图，在中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点．
(1)求证：为的切线；
(2)当，时，求线段的长．
题组C 培优拔尖练
1．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于( )
A．140°B．130°C．120°D．110°
2．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．40°B．140°或40°C．20°D．20°或160°
3．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．10B．18C．20D．22
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=ADB．BC=CDC．D．∠BCA=∠DCA
5．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( )
A．3B．1+C．1+3D．1+
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是_____．（保留π）
9．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
10．如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°．
（1）求AD的长度．
（2）已知DE＝，求BF的长度．
（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
课程标准
1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.