《探索勾股定理》第2课时示范公开课教学设计【北师大数学八年级上册】

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设

情境

【操作】

活动：（小组合作展示）今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.

提出问题，观察学生如何操作，再让学生展示过程，最后教师用课件展示拼图过程.

追问:还有其他拼法吗？

【探究】

问题：在下图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？

追问：如何计算大正方形的面积呢？

上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.

学生用手中的三角形拼图

尝试其他拼法

认真思考

认真思考

设计活动的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.

通过观察图形，让学生思考如何验证勾股定理.介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的欲望.

环节二

探究

新知

【合作探究】

教师活动：多媒体演示课件，引导学生观察并思考：

为了计算大正方形的面积，小明进行了适当的割补，如图所示.

问题：通过补的办法，你能表示大正方形的

面积吗？

教师活动：引导学生通过两种方法计算大正方形面积得出结论.巡视同学做题过程，对于有困难的学生给予指导，然后用多媒体展示答题过程.

证明：

∵S正方形ABCD=(a+b)2=a2+b2+2ab，

S正方形ABCD=4S直角三角形+ S小正方形

          =4×ab+c2

          =c2+2ab，

∴a2+b2+2ab=c2+2ab，

即a2+b2 =c2.

讲述：这种方法是有名的毕达哥拉斯证法，验证了勾股定理的正确性.

探究：赵爽弦图

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.

追问：如何用赵爽弦图证明勾股定理呢？

证明：∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(a-b)2，

又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，

教师活动：用这个图验证勾股定理的方法，据载最早是由三国时期数学家赵爽在为《周碑算经》作注时给出的.我国历史上将该图中弦上的正方形称为弦图.

作为国际数学大会的会徽的“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！

其他证法是怎么样的呢？我们来了解下.

美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2 =c2.

多媒体展示答题过程

，

教师活动：事实上，勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多.其中一种方法尤为独特，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，被誉为“无字的证明”，我们欣赏几个！

青朱出入图

达·芬奇证明：根据空白部分面积相等计算即可得证.

做一做

1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为              .

2．若正方形的面积为8cm2，则正方形对角线长为______cm．

教师活动：先由学生独立完成，教师及时给予指导，在此活动中，教师应重点关注学生能否进一步理解勾股定理的逆定理的用法.

答：（1）36 cm²     （2）4

认真观察

认真思考并在作业本上作答

认真思考并在作业本上作答

在教师的引导下，认真思考并在作业本上作答

欣赏无字证明勾股定理的方法

认真观察并思考

学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.

进一步验证勾股定理.分步骤实施，使学生探究活动能够做到有序进行.

这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料.介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；通过让部分学生搜集材料，展示材料，既可以让学生得到充分的锻炼，同时也可以活跃课堂气氛.

环节三

应用

新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

【例1】 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？  

教师根据题干分析题中提供的已知条件，并画出图形.

解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，

    即：5002=BC2+4002，

    ∵BC>0，∴BC=300.

    敌方汽车10s行驶了300m，那么它1h行驶的距离为：

      300×6×60=108000（m），     

    即它行驶的速度为108km/h.

【例2】如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.

教师根据题干分析题中提供的已知条件，并用动画在图上标明.

解：在Rt△ABF中，由勾股定理，

得  BF2=AF2－AB2=102－82

BF=6cm.

∴CF=BC－BF=4.

设EC=xcm，则EF=DE=(8－x) cm，

在Rt△ECF中，根据勾股定理，

得   x2+ 42=(8－x)2

解得 x=3.

所以EC的长为3 cm.

议一议

观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2 =c2.

结论1：若钝角三角形中较长边长为c，较短边长为a、b，则a2+b2 <c2.

结论2：若锐角三角形中较长边长为c，较短边长为a、b，则a2+b2>c2.

思考问题，尝试回答问题，明确例题的做法

明确例题的做法

思考问题，尝试回答问题

    初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；体会勾股定理的应用价值，巩固所学知识，加深对勾股定理的逆定理的理解.

给出问题，激发学生思考，并讨论交流.引导学生从数学现象背后发现数学规律，为后面学生独立解题打下一定的基础.

学生通过数格子的方法可以得出：如果不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a2+b2 =c2.通过这个结论，学生将对直角三角形三边的关系又进一步的认识，并为后续直角三角形的判定打下基础.

环节四

巩固

新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1. 如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两棵树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　　)

A．8 m     B．10m    C．12m    D．14 m

2.如果梯子的底端离一幢楼5米，那么13米长的梯子可以达到该楼的高度是(　　)

A.12米    B.13米     C.14米    D.15米

3.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是________.

4.       如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小镇，已知DA⊥AB，CB ⊥AB， DA=15km，CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处?

答案：

1.B；

2. A

3. 200m2；

4.解：如下图，连接DE、CE.

设AE长为x千米，

则EB长为（25-x）千米.

由题意得：

解得：x=10.

答：E站应建在距A站10千米处.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五

课堂

小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置

作业

教科书第7页

习题1.2

第1、3题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.