高中数学人教A版（2019）必修第二册《第七章 复数》章节练习（含解析）
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这是一份高中数学人教A版（2019）必修第二册《第七章 复数》章节练习（含解析），共13页。
人教A版（2019）必修第二册《第七章 复数》章节练习一 、单选题（本大题共15小题，共75分）1.（5分）若复数z满足z−31−3i=10(i为虚数单位)，则z的模为( )A. 5 B. 5 C. 26 D. 252.（5分）已知复数z满足z(1+2i)=|3+4i|(i是虚数单位)，则z的共轭复数− z=( )A. 1+2i B. 1−2i C. −1+2i D. −1−2i3.（5分）已知i是虚数单位，则|3+4i|1+2i=( )A. 5+10i B. 5−10i C. 1+2i D. 1−2i4.（5分）设复数Z满足Z=1+3i1−i，则Z的共轭复数为( )A. 1+2i B. −1+2i C. 1−2i D. −1−2i5.（5分）若复数z满足(1+2i)z=−3+4i(i是虚数单位)，则|z|为( )A. 3 B. 3 C. 5 D. 56.（5分）已知复数z满足z⋅(3−2i)=13i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限7.（5分）已知复数z=1−i，则z2z−1=( )A. 2 B. −2 C. 2i D. −2i8.（5分）已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b，且z=a+bi，则复数z的共轭复数等于( )A. 2−2i B. 2+2i C. −2+2i D. −2−2i9.（5分）设i是虚数单位，若2−ia+i为纯虚数，则实数a( )A. −2 B. −12 C. 12 D. 210.（5分）设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=3+i，则|z1−z2|等于( )A. 23 B. 22 C. 2 D. 311.（5分）已知i是虚数单位，在复平面内，复数z对应的点与复数1−i对应的点关于虚轴对称，则zi的虚部为( )A. −1 B. 1 C. −i D. i12.（5分）若i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=|3+4i|，则z的虚部为( )A. 52i B. 52 C. −52i D. −5213.（5分）已知ABCD是复平面内的平行四边形，A,B,C三点对应的复数分别是−2+i,1−i,2+2i，则点D对应的复数为( )A. 4−i B. −3−2i C. 5 D. −1+4i14.（5分）已知复数z=2+3i1+ai(a∈R,i为虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为( ).A. 23 B. 32 C. −23 D. −3215.（5分）若(a−2i)i=b−i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z=a+bi的模等于( )A. 0 B. 2 C. 5 D. 5二 、填空题（本大题共5小题，共25分）16.（5分）i是虚数单位，复数z满足(z−2i)(2−i)=5，则z=______．17.（5分）设i为虚数单位，则复数2i1−i的虚部为______．18.（5分）复数Z=-1+2i的共轭复数是____．19.（5分）已知i为虚数单位，若复数m+2i1−i为纯虚数，则实数m=______ .20.（5分）在复平面内，AB→对应的复数是1−i，AD→对应的复数是2i−3，则DB→对应的复数是 ______ .三 、解答题（本大题共6小题，共30分）21.（5分）实数m取什么值时，复数z=(m2−5m+6)+(m2−3m)i是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？22.（5分）在复平面内，复数z=a2−a−2+(a2−3a−4)i(其中i为虚数单位，a∈R).(1)若复数z为纯虚数，求a的值；(2)若复数z>0，求a的值．23.（5分）计算：(1)(−2+3i)+(5−i)；(2)−1+2i+1+2i；(3)(a+bi)−(2a−3bi)−3i(a,b∈R).24.（5分）如果log12(m+n)−(m2−3m)i>−1，求自然数m，n的值.25.（5分）若复数z=(m2+m−6)+(m2−m−2)i(m∈R,i是虚数单位).(1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．26.（5分）已知：复数z=(1+i )2+2i1−i，其中i为虚数单位．(1)求z及|z|；(2)若z2+aøverlinez+b=2+3i，求实数a，b的值．四 、多选题（本大题共5小题，共20分）27.（4分）下面是关于复数 z=2−1+i的四个命题：p1:|z|=2， p2:z2=2i，p3:z的共轭复数为 1+i， p4:z的虚部为−1.其中的真命题是()A. p1 B. p2 C. p3 D. p428.（4分）已知复数z对应复平面内点A，则下列关于复数z、、结论正确的是( )A. z+2i表示点A到点0,2的距离 B. 若z−1+z+2i=3，则点A的轨迹是椭圆 C. D. |z1z2|=z1.z229.（4分）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )A. 若复数z1，z2满足z12+z22=0，则z1=z2=0 B. i+i2+i3+i4=0 C. 若z=(1+2i)2，则复平面内− z对应的点位于第二象限 D. 已知复数z满足|z−1|=|z+1|，则|z−1+i|的最小值为130.（4分）已知复数z满足(1+i)z=2i，则下列说法正确的是( )A. z的共轭复数是1−i B. |z|=2 C. z的虚部是−i D. |z|=231.（4分）已知z1，z2为复数，下列命题不正确的是( )A. 若z1=z2，则|z1|=|z2| B. 若|z1|=|z2|，则z1=z2 C. 若z1>z2则|z1|>|z2| D. 若|z1|>|z2|，则z1>z2 答案和解析1.【答案】B;【解析】 此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案． 解：∵(z−3)(1−3i)=10， ∴z=101−3i+3=1+3i+3=4+3i， 故|z|=42+32=5， 故选B. 2.【答案】A;【解析】 此题主要考查复数代数形式的乘除运算化简，考查共轭复数的概念，属于基础题． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由z(1+2i)=|3+4i|=5，得： z=51+2i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i， ∴− z=1+2i. 故选：A. 3.【答案】D;【解析】 此题主要考查了复数求模运算以及复数除法运算，属于基础题. 利用模的计算以及复数的四则运算可得. 解：∵3+4i=5， |3+4i|1+2i=51+2i=51−2i1+2i1−2i=1−2i， 故选D. 4.【答案】D;【解析】此题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，属于基础题．利用两个复数代数形式的乘法除法，计算化简得复数Z，从而求得它的共轭复数．解：Z=(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=−1+2i，则Z的共轭复数为−1−2i.故选D. 5.【答案】C;【解析】 此题主要考查两个复数代数形式的乘除法，复数模的计算，属于基础题. 先通过复数的除法运算化简z，进而根据模的公式求解，即可得到答案. 解：因为复数z满足(1+2i)z=−3+4i(i是虚数单位)， ∴z=(−3+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5+10i5=1+2i， 所以|z|=12+22=5. 故选C. 6.【答案】C;【解析】解：z=13i3−2i=13i(3+2i)13=−2+3i， 则z的共轭复数为−2−3i， 故z在复平面内对应的点为(−2,−3)，在第三象限． 故选：C． 根据复数的四则运算化简复数z，然后求出其共轭复数对应的点，即可得到答案． 此题主要考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题． 7.【答案】A;【解析】解：将z=1−i代入得z2z−1=(1−i)21−i−1=−2i−i=2， 故选：A． 把复数z代入z2z−1化简，复数的分子化简即可． 复数的加减、乘除及乘方运算是需要掌握的内容，基础题目． 8.【答案】B;【解析】解：方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)可以变为x2+4x+4+i(x+a)=0， 由复数相等的意义得x2+4x+4=0x+a=0解得x=−2，a=2， 方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b，故b=−2， 所以复数z=2−2i， 所以复数z的共轭复数等于2+2i 故选：B． 由复数相等的意义将方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)转化为实系数方程，解方程求出两根． 此题主要考查复数相等的意义，两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等． 9.【答案】C;【解析】解：2−ia+i=(2−i)(a−i)(a+i)(a−i)=2a−1a2+1−a+2a2+1i为纯虚数， ∴2a−1a2+1=0，−a+2a2+1≠0， 解得a=12． 故选：C． 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出． 该题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10.【答案】A;【解析】解：设z1=a+bi，z2=c+di， 因为|z1|=|z2|=2， 所以a2+b2=4，c2+d2=4， 又z1+z2=3+i， 所以a+c=3，b+d=1， 则ac+bd=−2， 所以|z1−z2|=|(a−c)+(b−d)i| =(a−c)2+(b−d)2 =a2+c2+b2+d2−2(ac+bd) =23. 故选：A. 设z1=a+bi，z2=c+di，利用已知条件得到a2+b2=4，c2+d2=4，ac+bd=−2，然后由模的计算公式表示出|z1−z2|，即可得到答案． 此题主要考查了复数的运算，涉及了复数模的计算公式的运用，复数相等的充要条件的运用，考查了整体代换的思想以及化简运算能力，属于中档题． 11.【答案】B;【解析】 此题主要考查了复数的四则运算法则，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题. 先求出复数z，代入计算可得结果. 解：∵复数z对应点与复数1−i对应的点关于虚轴对称， ∴z=−1−i，则zi=−1−ii=−1−i−ii−i=−1+i， 故选B. 12.【答案】D;【解析】 此题主要考查复数的模，复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题. 先化简z，再利用复数的概念得到z的虚部. 解：因为z(1+i)=|3+4i|， 所以z=3+4i1+i=51+i=5(1−i)1+i(1−i)=5−5i2=52−52i， 所以z的虚部为−52， 故选D. 13.【答案】D;【解析】解：复平面内A、B、C对应的点坐标分别为(−2,1)，(1,−1)，(2,2)， 设D的坐标(x,y)， 由AD→=BC→， ∴(x+2,y−1)=(1,3)， ∴x+2=1，y−1=3， 解得x=−1，y=4． 故D(−1,4)， 则点D对应的复数为：−1+4i． 故选：D． 设D的坐标(x,y)，由AD→=BC→，可得(x+2,y−1)=(1,3)，求出x，y的值，即可得到点D对应的复数． 该题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量相等的条件，是基础题． 14.【答案】C;【解析】此题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题． 利用复数的除法运算化简为x+yi(x,y∈R)的形式，由实部等于0且虚部不等于0即可求解a的值． 解：由复数z=2+3i1+ai=2+3i1−ai1+ai1−ai=2−2ai+3i−3ai21+a2=2+3a+3−2ai1+a2=2+3a1+a2+3−2a1+a2i是纯虚数， 则{2+3a1+a2=03−2a1+a2≠0，解得a=−23. 故选C. 15.【答案】D;【解析】解：(a−2i)i=b−i，其中a，b∈R，i是虚数单位， ∴2+ai=b−i，可得b=2，a=−1． 则复数z=−1+2i的模=(−1)2+22=5． 故选：D． 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 该题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16.【答案】2+3i;【解析】解：复数z满足(z−2i)(2−i)=5， 可得z=52−i+2i=5(2+i)(2−i)(2+i)+2i=2+3i． 故答案为：2+3i． 直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 该题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． 17.【答案】1;【解析】解：∵2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i， ∴此复数的虚部是1； 故答案为：1． 对所给的复数分子、分母同乘以1+i，利用i2=−1进行化简，整理出实部和虚部． 该题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值． 18.【答案】-1-2i;【解析】解：复数Z=-1+2i的共轭复数是：-1-2i． 故答案为：-1-2i． 19.【答案】2;【解析】解：复数m+2i1−i=(m+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=m−22+m+22i是纯虚数， 所以m+2≠0，解得m=2. 故答案为：2. 先利用复数的除法运算求出复数z的代数形式，然后利用纯虚数的定义列式求解即可． 此题主要考查了复数的运算以及复数定义的理解和应用，属于基础题． 20.【答案】4-3i;【解析】解：∵AB→对应的复数是1−i，AD→对应的复数是2i−3， ∴DB→=DA→+AB→=(3−2i)+(1−i)=4−3i. 故答案为：4−3i. 直接由向量的加减运算求得DB→对应的复数． 此题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量的加减运算，是基础题． 21.【答案】解：(1)若复数是实数，则m2−3m=0，得m=0或m=3． (2)若复数是虚数，则m2−3m≠0，即m≠0且m≠3， (3)若复数是纯虚数，则^2−5m+6=0m2−3m≠0，即m=2或m=3m≠0且m≠3，得m=2．;【解析】这道题主要考查复数的有关概念，根据复数是实数，虚数和纯虚数的概念建立方程或不等式关系是解决本题的关键，属于基础题． (1)根据复数是实数，则虚部等于0即可． (2)根据复数是虚数，则虚部不等于0， (3)根据复数是纯虚数，则实部等于0且虚部不为0． 22.【答案】解：(1)由复数z为纯虚数，得{a2−a−2=0a2−3a−4≠0， 即{a=−1或a=2a≠−1且a≠4， 解得a=2. (2)若复数z>0 则{a2−a−2>0a2−3a−4=0，解得a=4. ;【解析】此题主要考查复数的概念，不等式组的求解，属于基础题. (1)根据纯虚数的定义，转化为解{a2−a−2=0a2−3a−4≠0即可. (2)将z>0转化为解{a2−a−2>0a2−3a−4=0即可. 23.【答案】(1) 解：(−2+3i)+(5−i)=(−2+5)+(3−1)i=3+2i. (2) 解：(−1+2i)+(1+2i)=(−1+1)+(2+2)i=22i. (3) 解：(a+bi)−(2a−3bi)−3i=(a−2a)+(b+3b−3)i=−a+(4b−3)i.;【解析】(1) 此题主要考查复数的四则运算，比较容易. 复数的加法就是先将两个个复数的实部相加作为结果的实部，再将两个复数的虚部相加作为结果的虚部，即可得出结果. (2) 此题主要考查复数的四则运算，比较容易. 复数的加法就是先将两个个复数的实部相加作为结果的实部，再将两个复数的虚部相加作为结果的虚部，即可得出结果. (3) 此题主要考查复数的四则运算，比较容易. 复数的加法与减法就是先将几个复数的实部相加减作为结果的实部，再将几个复数的虚部相加减作为结果的虚部，即可得出结果. 24.【答案】解：因为log12（m+n）-（m2-3m）i＞-1， 所以log12（m+n）-（m2-3m）i是实数， 所以m2−3m=0①log12(m+n)>−1②， 解①得m=0或m=3， 当m=0时，代入②得n＜2， 因为m+n＞0，m，n为自然数， 所以n=1， 当m=3时，代入②得n＜-1，与n为自然数矛盾 综上可得，m=0，n=1．;【解析】 由题意可得{m2−3m=0log12(m+n)>−1，解之即可得结论． 此题主要考查复数的应用，掌握复数的特征，复数不能比较大小是解答该题的关键，属于中档题． 25.【答案】解：(1)因为z是纯虚数，所以m2+m−6=0m2−m−2≠0，解得m=−3，所以m的值为−3；(2)因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以m2+m−60，解得，−3
