第6讲：菱形矩形 教案

第六讲  菱形及矩形

一、知识梳理：

考点1  菱形的定义及性质：

定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，还有自身的特殊性质：

（1）菱形四条边相等。

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（3）菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线为对称轴）。

考点2  菱形的判定：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）四边相等的四边形是菱形。

考点3  菱形面积计算：

（1）平行四边形面积求法：底×高    （2）特殊求法：对角线的乘积

考点4 矩形的性质和判定：

考点5在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

二、课堂精讲：

（一）菱形的性质

例1．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且CE=CF，求证：AE=AF。

【随堂演练一】【A类】

1.如图，菱形ABCD中，=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为多少？

2.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=6，BD=8，求菱形ABCD的周长和面积。

（二）菱形的判定

例2-1如图，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需要添加的一个条件是                    ，试证明：这个多边形是菱形。

例2-2如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DE∥AB交AC于点F，求证：

AD⊥EF。

【随堂演练二】【A类】

1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF、EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？

2.已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求证：四边形CEHF为菱形．

3.如图，已知在平行四边形ABCD中，的平分线与BC交于点E，的平分线与AD交于点F，AE与BF交于点O。试证明：四边形ABEF是菱形。

4.如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q。

（1）求证：OP=OQ

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运用（不与D重合）。设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形。

（三）矩形的性质及推论

例3（1）若直角三角形的两直角边长分别为8cm和6cm，则斜边上的中线长为（　　）

A．8     B．10     C．5     D．6

（2）折叠矩形ABCD纸片，先折出折痕BD，再折叠使A落在对角线BD上A′位置上，折痕为DG，AB=2，BC=1。求AG的长。

【随堂演练三】【A类】

1.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F的位置，BF交AD于E，AD=8,AB=4，求△BED的面积。

2.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．

（四）矩形的判定

例4已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．

【随堂演练四】【A类】

1.如图所示，已知▱ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有（填写序号）              。

2.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。

3.在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论

（五）中点问题

例5.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．

（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；

（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）

【随堂演练五】【B类】

1. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是(　　)

A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形     C．矩形 D．对角线相等的四边形

2.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．
（1）求证：MN⊥AC；    （2）当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长．

3.如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点，求证：MN⊥AC．

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

一、填空：

1.如图所示，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，则（1）对角线AC长度是    cm；（2）菱形ABCD的面积是     。

2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离       

3.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，

∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于   

4.如图，平行四边形ABCD中，对角形AC，BD相交于点O，添加一个条件，能使▱ABCD成为菱形．你添加的条件是　       　（不再添加辅助线和字母）

5.如图，在矩形ABCD中，，则这个矩形的周长是     。

6.已知如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO      ．

7.如图，矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E。若OD＝2OE，AE＝，则DE长是________.

8.在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的中线，∠A=30°，AC=，则△ADC的周长是_______。

二、选择。（选择正确的答案的序号填在括号内。）

1.如图所示，在菱形ABCD中，=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则的度数为（    ）  A.80°    B.70°    C.65°     D.60°

2.如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（　　  ）

A.AB＝CD   B.AD＝BC      C.AB＝BC   D. AC＝BD

3. 如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（　　）    A.8                            B.9                 C.11                            D.12

4.如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（　 　）

 A、3公里  B、4公里          C、5公里  D、6公里

5.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（　　）

A.M（5，0），N（8，4）  B.M（4，0），N（8，4）

C.M（5，0），N（7，4）  D.M（4，0），N（7，4）

6.如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（　　）

 A．(3，)    B．(3，－) C．（，）   D．（，-）

7.用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）

A.一组临边相等的四边形是菱形      B.四边相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

8.下列命题中错误的是（　　）

A．平行四边形的对边相等        B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C．矩形的对角线相等           D．对角线相等的四边形是矩形

9.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（　　）

 A.1  B.2     C.3  D.4

三、解答题

1.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE＝BE．

2.已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．

3.如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？

4.已知如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DE⊥AE于F，若,求证：CE＝EF。

5.已知：如图，E点在矩形ABCD上，若BC=BE=2CD。求∠ECD的度数。

6.如图所示，E为□ABCD外一点，AE⊥CE,BE⊥DE，求证：□ABCD为矩形.

7.如图，E是矩形ABCD边CB延长线上一点，CE＝CA，F是AE的中点。求证：BF⊥FD

8. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD，垂足为D，DE交BC于点E。

求证：CD＝BE

9.如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．

10.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．

11.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

12..如图，在菱形ABCD中，=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E。

（1）求的度数；  （2）求线段BE的长。

13..如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线。

（1）求证：AC=AD；

（2）若=60°，求证：四边形ABCD是菱形。

14..如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是菱形；

（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是　   　．

15．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．

（1）求AC的长．   （2）求∠AOB的度数．

（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．

16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．

（1）说明四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

17.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．

（1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．

18.如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．
（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；
（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．

第六讲  菱形矩形【答案】

例1．       提示：证，从而AE=AF。

【随堂演练一】【A类】

1. 提示：证△AEF为等边三角形，从而△AEF周长为。
2. 菱形ABCD周长为20，面积为24.

例2-1 所添条件为AD平分∠BAC.

例2-2证AEDF为菱形，从而AD⊥EF.

【随堂演练二】【A类】

1. AFCE是菱形，依据是“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。
2. 提示：先利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”证得EC=EH,再证，从而FC=FH.再由∠CEF=∠CFE，证CE=CF,所以EC=CF=FH=HE,所以四边形CEHF为菱形。

3.解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC  ∴+=180°

∵AE、BF分别是、的平分线

∴==，==。

∴+=90°  即=90°，∴AE⊥BF

∵AD∥BC，∴=

∴=  ∴AF=AB

同理BE=AB，∴AF=BE。

又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形。

∴四边形ABEF是菱形。

4.（1）证，从而OP=OQ.(2)t=时，四边形PBQD是菱形。

例3（1）选C   (2)AG=

【随堂演练三】【A类】

1.     △BED面积为10.
2.     提示：先利用“两组对边平行的四边形是平行四边形”证APCQ为平行四边形，再证AP=CP,从而APCQ为菱形。

例4 提示：利用“三个角为直角的四边形为矩形”来证。

【随堂演练四】【A类】

1.填①④

2.先证ADCE是平行四边形，再证AC=DE,从而“对角线相等的平行四边形是矩形”。

3.（1）利用“SAS”来证。 （2）当CA=CB时，AECF是矩形。

例5 （1）四边形EFGH为平行四边形。    （2）添条件AC=BD.

【随堂演练五】【A类】

1.     选D 
2.     （1）连接AM、CM，利用“Rt△斜边中线等于斜边的一半”证MA=MC，再利用“三线合一”证MN⊥AC.   (2)MN=3cm。

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

一、填空：

二、选择

三、解答

1. 提示：证△ABC及△DCE均为等边三角形，从而DE=BE.
2. 提示：先利用“Rt△斜边上的中线等于斜边上的一半”来证DE=EB，再利用AB∥DC证明∠CDB=∠DBE，从而∠EDB=∠DBC，∴DE∥CB，∴DEBC为平行四边形，最后利用“邻边相等的平行四边形是菱形”来说明BCDE是菱形。
3. ABCD是菱形。提示：利用PE=PF,可证△AFP≌△AEP，∴∠FAP=∠EAP，进一步证明AD=DC，所以平行四边形ABCD是菱形。
4. 提示：可证AE=AD,利用面积法证得DF=DC,再证△DFE≌△DCE，从而CE=EF.
5. ∠ECD=15°
6. 提示：连接AC、BD，利用“Rt△斜边中线等于斜边的一半”证明AC=BD,从而利用“对角线相等的平行四边形是矩形”来证得。
7. 提示：连接CF。由CE=CA，F为AE中点可证∠EFA=90°，再证△FBC≌△FAD,可得∠AFD=∠BFC，所以∠BFD=90°，∴BF⊥FD。
8. 提示：取BE中点F,连DF,可证DF=BE，再证DF=DC,从而CD=
9. (1)利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证。   （2）BE=5
10. (1)先由ABCD是矩形说明AC=BD,再证ABEC为平行四边形，从而BE=AC，所以BE=BE

 （2）四边形ABED的面积为。

11. （1）先证△AMD≌△CMD，从而MD=MN，∴ADCN为平行四边形，∴CD=AN

   （2）由已知可证AC=DN,从而证得平行四边形ADCN为矩形。

12. (1)∠ABD=60°  （2）BE=1
13. (1)提示：可证得AD∥BC，从而∠D=∠DCE，∴∠D=∠ACD，∴AC=AD

 (2)∠B=60°，则△ABC与△ADC均为等边三角形，∴四边形ABCD是菱形。

14. (1)利用“邻边相等的平行四边形是菱形”来证。  （2）四边形AODE是矩形。
15. （1）AC=4， （2）∠AOB=60° （3）菱形OBEC的面积为2
16. （1）证FE与AC平行且相等，从而ACEF是平行四边形。  （2）∠B=30°
17. （1）利用“邻边相等的平行四边形是菱形”来证。（2）三角形CDE为Rt△，∠CDE=90°

18.（1）答：四边形DEFG是平行四边形．理由如下：
证明：∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线； ∴DG∥BC，且DG=BC；
同理可证：EF∥BC，且EF=BC；
∴DG∥EF，且DG=EF； 故四边形DEFG是平行四边形；
（2）答：O在BC边的高上；
证明：连接OA；同（1）可证：DE∥OA∥FG；
∵四边形DEFG是矩形， ∴DG⊥DE； ∴OA⊥BC； 即O点在BC边的高上且A和垂足除外．