数学八年级下册18.2.1 矩形精品同步练习题

18.2.1 矩形

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；

2）矩形的四个角都是直角；

3）对角线互相平分且相等；

4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。

【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。

2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。

3）有三个角是直角的四边形是矩形。

矩形的面积公式：  面积=长×宽

【题型一】理解矩形的性质

【典题】（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）下列选项中，矩形具有的性质是(　　)

A．四边相等 B．对角线互相垂直 

C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角

 巩固练习

1（）（2022春·福建莆田·八年级校考期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）

A．对边相等 B．对角相等

C．对角线相等 D．对角线互相平分

2（）（2022春·云南昆明·八年级统考期末）下列关于矩形的说法不正确的是（   ）

A．对角线平分且相等 B．四个角都是直角 C．有四条对称轴 D．是中心对称图形

3（）（2022秋·四川达州·八年级校考期中）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ）

A．2.5 B．2 C． D．

4（）（2022春·广东广州·八年级校考期中）已知矩形的对角线为1，面积为，则矩形的周长为（    ）

A． B． C． D．

5（）（2022春·内蒙古通辽·八年级校考期中）已知：如图，矩形的对角线相交于点O，，交的延长线于点E.

求证：.

6（）（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，阴影部分是一个长方形，AE=1，求阴影部分的面积．

【题型二】利用矩形的性质求角度

【典题】（2022春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，那么的度数是(    )

A． B． C． D．

 巩固练习

1（）（2022·广东东莞·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（    ）

A．36° B．30° C．27° D．18°

2（）（2022春·山东东营·八年级统考期末）如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为（    ）

A．15° B．25° C．30° D．35°

2（）（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（　　）

A．7° B．21° C．23° D．24°

3（）（2022春·重庆沙坪坝·八年级重庆三十二中校考期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．不能确定

【题型三】利用矩形的性质求线段长

【典题】（2022春·广西北海·八年级统考期中）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，则线段的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

巩固练习

1（）（2022春·河南信阳·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

2（）（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为，则AC长为（    ）

A． B． C．5 D．4

3（）（2022春·广东梅州·八年级期末）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（    ）

A．2 B．4 C． D．

4（）（2022春·西藏昌都·八年级统考期末）如图，矩形与矩形完全相同，，现将两个矩形按如图所示的位置摆放，使点恰好落在上，的长为（  ）

A．1 B．2 C． D．

5（）（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．

6（）（2022春·广东东莞·八年级校考期中）矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为________．

7（）（2022春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期末）如图，D、E、F分别是△ABC三边中点．

(1)求证：四边形AFDE是平行四边形；

(2)若四边形AFDE是矩形，AE=1，AF=2，求BC的长．

8（）（2022春·广东珠海·八年级珠海市第四中学校考期中）如图，在中，，BD平分．四边形ABED是平行四边形，交BC于点F，连接CE．

(1)求证：四边形BECD是矩形．

(2)若，，求CF的长．

【题型四】利用矩形的性质求面积

【典题】（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的(   )

A． B． C． D．

 巩固练习

1（）（2022春·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作EF//BC，分别交于，连接，若，则图中阴影部分的面积为（  ）

A． B．

C． D．

2（）（2022春·北京·八年级北京市第十三中学分校校考期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B．2 C． D．6

3（）（2022春·广东肇庆·八年级统考期末）两张全等的矩形纸片，按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ）

A．15 B．14 C．13 D．12

4（）（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB，且，垂足为N．

(1)求证：；

(2)若AD=3，AN=4，求四边形BCMN的面积．

5（）（2022春·广西钦州·八年级统考期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，求图中阴影部分的面积．

【题型五】求矩形在坐标系中的坐标

【典题】（2022春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考期中）如图，四边形 OABC 是矩形，A（2，1），B（0，5），点 C 在第二象限，则点 C 的坐标是（     ）

A．（1，3） B．（﹣1，2）

C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，4）

 巩固练习

1（）（2022春·江苏无锡·八年级无锡市太湖格致中学校考期中）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝_____．

2（）（2022春·青海海西·八年级校考期中）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．

3（）（2022春·广东汕头·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，轴，则顶点D的坐标为___________．

【题型六】矩形与折叠问题

【典题】（2022春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB的大小是(   )

A．60° B．50° C．75° D．55°

 巩固练习

1（）（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2（）（2022春·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

3（）（2022春·广东阳江·八年级统考期中）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，在线段BC上取一点E，连接AE、ED，将ABE沿AE翻折，点B落在点处，线段E交AD于点F．将ECD沿DE翻折，点C的对应恰好落在线段上，且点为的中点，则线段EF的长为（　　）

A．3 B． C．4 D．

4（）（2022秋·山西晋中·八年级统考期末）如图，长方形 ABCO 的边 AO，CO 正好落在坐标轴上，且 AB=4，OA=2，点 D 是线段 OC 上一点，点 E 为线段 AB 上一点，沿 DE 折叠，使点 B 与点 O 重合，点 C 落到 C＇处，则此时点 D 的坐标为___．

5（）（2022春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）如图，长方形OABC的OA边在x轴上，OC边在y轴上，，，在边AB上取一点E，使沿CE折叠后，点B落在x轴上，记作点D．

(1)请直接写出点A的坐标      、点C的坐标       和点B的坐标      ；

(2)求点D的坐标；

(3)请直接写出点E的坐标．

6（）（2022秋·全国·八年级期中）如图，在长方形ABCD中，DC＝5 cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F，若△ABF的面积为30 cm2，求△ADE的面积．

7（）（2022春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕．

(1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长；

(2)如图2，若AE=，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长．

【题型七】利用直角三角形斜边中点等于斜边一半的性质求解

【典题】（2022春·广东湛江·八年级统考期末）如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　）

A．12 B．6 C．4 D．3

 巩固练习

1（）（2022春·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

2（）（2022春·山东淄博·八年级统考期末）如图，在Rt中，，，，于点D，E是AB的中点，则DE的长为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3（）（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，在中，，点H、E、F分别是边、、的中点，若，则的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【题型八】证明四边形是矩形

【典题】（2022春·西藏林芝·八年级校考期中）在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.

 巩固练习

1（）（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．

2（）（2022春·河南安阳·八年级统考期中）如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE  ，连接 CG ．

（1）求证： △ABE≌△CDF ；

（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.

3（）（2022春·湖南邵阳·八年级校联考期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，且BD=BE．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若∠DBC=30°，BO=6，求四边形ABED的面积．

【题型九】添加一个条件是矩形

【典题】（2022春·湖北咸宁·八年级统考期中）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）

A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC

巩固练习

1（）（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是(     )

A．AB+BC=AC B．AB= AD 

C．OA= OD D．∠ABC+∠ADC=180°

2（）（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（    ）

A． B． C． D．

3（）（2022春·上海·八年级校考期中）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（　　）

A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCD

C．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD