第7讲：正方形 教案

第七讲  正方形

一、知识梳理：

考点1 正方形定义及性质

定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫正方形。

性质：（1）正方形四个角都是直角   （2）正方形四条边都相等；

（3）正方形对角线垂直相等，每一条对角线平分一组对边。

考点2 正方形判定

（1）根据定义

（2）有一个角是直角的菱形是正方形；

（3）有－组邻边相等的矩形是正方形；

（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形。

二、课堂精讲：

（一）正方形的性质

例1．如图，正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．

（1）求证：△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？

并说明理由．

【随堂演练一】【A类】

1. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.

2. 如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为_______

3.在正方形ABCD中，AB=12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（    ）

A.12+12  B.12+6      C.12+  D.24+6

4.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E， PF⊥CD，垂足为F，求证：EF＝AP

5. 已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.

(1)求证：△BEC≌△DFC；

(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.

6.如图1：正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足M，AM交BD于点F．

（1）求证OE=OF；

（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

（二）正方形的判定

例2-1. 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（    ）

A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD          B.AB∥CD，AC=BD

C.AD∥BC，∠A=∠C               D.OA=OC，OB=OD，AB=BC

例2-2. 如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE．

（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形？

（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．（特别提醒：表示角最好用数字）

【随堂演练二】【A类】

1. 下列命题中的假命题是(     )．

   A．一组邻边相等的平行四边形是菱形     B．一组邻边相等的矩形是正方形

   C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

2.如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．

（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；

（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？

3.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．

（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

解答题

1.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．

求证：EA⊥AF． 

2.有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边上的中点，将C点折至MN上，落在P点位置，折痕为BQ，连结PQ. 求MP的长.

3. 把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

4.已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE=OF

5.已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．

求证：∠AFE＝∠AEF

6.如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG.观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论.

7.如图所示，.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．

（1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

8.已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

9.如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）

10.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，

（1）试判断四边形CODP的形状．并证明。

（2）如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？

（3）如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？

第七讲  正方形【答案】

例1解：（1）由正方形ABCD知，DC=BC，∠DCB=90°，又由∠DCB=90°得∠DCE=90°，所以，根据SAS得到△BCG≌△DCE；

 （2）四边形E′BGD是平行四边形。理由：

  ∵ 四边形ABCD是正方形  ∴ AB//CD,AB=CD

∵ CG=CE=A E′  ∴ BE//DG,BE=DG

∴ 四边形 E′BGD是平行四边形

【随堂演练一】【A类】

4.提示：连接PC，可证PECF为矩形，则PC=EF，又可证△APB≌△CPB，则AP=PC,所以EF=AP.

5.（1）利用“SAS”来证。  （2）∠EFD=60°-45°=15°

6.（1）可证△AOF≌△BOE，从而OE=OF  （2）仍成立。仍有△AOF≌△BOE，从而OE=OF

例2-1 选A

例2-2解：（1）四边形BECF是菱形．

证明：EF垂直平分BC，

∴BF=FC，BE=EC，∴∠1=∠2，

∵∠ACB=90°，∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°，

∴∠3=∠4，∴EC=AE，∴BE=AE，

∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF， ∴四边形BECF是菱形．

（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．

证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠1=45°，

∴∠EBF=2∠A=90°，∴菱形BECF是正方形．

【随堂演练二】【A类】

1.选D

2.提示：：（1）当四边形PFEH是矩形时，∠FEH=90°；易证得△ABE≌△DCE，则∠AEB=∠DEC=45°；那么△ABE、△DCE是等腰直角三角形，此时AB=BE=EC=CD，故矩形ABCD满足长是宽的2倍时，四边形PFEH是矩形；

（2）若矩形PHEF是正方形，则PF=PH，此时可证得△PAF≌△PDH，则AP=PD，所以当P为AD中点时，矩形PHEF变为正方形．

3.解：（1）证明：连接AD

∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点

∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，

又∵BP=AQ，∴△BPD≌△AQD（SAS）， ∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，

∵∠BDP+∠ADP=90°∴∠ADP+∠ADQ=90°，∴△PDQ为等腰直角三角形；

（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：

由（1）知△ABD为等腰直角三角形，

当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，

又∵∠A=90°，∠PDQ=90°， ∴四边形APDQ为矩形，

又∵DP=AP=AB，  ∴四边形APDQ为正方形．

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

解答题

1. 提示：可证△ABF≌△ADE，则∠FAB=∠EAD。因为∠BAD=90°，所以∠FAE=90°，∴EA⊥AF.
3. 答：HG=HB.提示：连接AH，可证△AGH≌△ABH，则HG=HB.
4. 提示：可证△FCD≌△EDA，从而DE=DF.
5. 提示：可证△FBA≌△EDA，从而AF=AE,所以∠AFE=∠AEF.
6. 答：BE=DG.提示：可证△BCE≌△DCG，从而BE=DG.
7. （1）提示：可证△ADE≌△CDG，从而AE=CG.  （2）AE⊥CG
8. （1）可证△DAE≌△DCE，从而∠DAE=∠DCE

（2）连接AC.∵EA=EC，∴设∠EAC=∠ECA=x°，则∠CEG=∠G=2x°

  ∠ACB=x+2x=30°，则∠G=30°

 过C作CH⊥AG，则∠FCH=30°，∴CF=2FH=

在Rt△ECH中，CH=,∴CF=

9. （1）△ADF≌△ABF; △CDF≌CBF;△ADC≌ABC  （2）AE⊥DF   （3）BM=MC
10. （1）四边形CODP为菱形   （2）四边形CODP为矩形    （3）四边形CODP为正方形