1.2与三角形有关的角（教师版） 教案

这是一份1.2与三角形有关的角（教师版），共20页。

与三角形有关的角（教师版）

学生姓名

年级

学科

授课教师

日期

时段

核心内容
三角形的内角和定理，三角形的外角性质
课型
一对一/一对N

教学目标
1、掌握三角形的内角和定理，能应用三角形内角和定理，并初步掌握添加辅助线的方法。
2、掌握并能灵活运用三角形的外角性质。
重、难点
三角形内角和与外角性质；数学整体思想、转化思想的运用


课首沟通
回顾上次课的知识点；询问学生的学习进度。
知识导图
课首小测

1. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★ ] 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于点
C，D，E，则下列说法中不正确的是（ ）．

A．AC是△ABC和△ABE的高 B．DE，DC都是 △BCD的高
C．DE是△DBE和△ABE的高 D．AD，CD都是 △ACD的高
【参考答案】C

2. [单选题] [三角形的面积] [难度： ★ ] 如图，AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4cm ，则△ABM的面积为（ ）．

A．8cm B．4cm C．2cm D．以上答案都不对
【参考答案】C

3. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★ ] 现有两根木棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（ ）．

A．10cm的木棒 B．50cm的木棒 C．100cm的木棒 D．110cm的木棒
【参考答案】B
【题目解析】根据三角形的三边关系，第三根木棒长度的取值范围在10和90之间。


导学一 ： 三角形的内角和定理
知识点讲解 1：直接利用内角和定理进行角度计算例题

1. [三角形内角和定理] [难度： ★ ] 已知：△ABC, 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
【参考答案】

2. [单选题] [三角形内角和定理;平行线的性质] [难度： ★ ] 如图，直线∥ ， ∠1=40°，∠2=65°，则
∠3=（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
【参考答案】C

3. [三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理] [难度： ★★★ ] 在 中， ，高BD、CE所在直线交于点 ，且点 不与点 、 重合，则 = ．
【参考答案】130°或50°
【题目解析】
【思维对话】
常见的思维障碍：

（1） 题目中没有说明 是什么三角形，学生在画图时可能只是随便画一个锐角三角形，而忽略了另一种情况。
（2） 学生不知道题目中的高有什么作用，可能会把高猜成角平分线，利用整体思想求出 。突破方法：
（1） 正确引导学生对 进行分类讨论，点 不与点 、 重合，只能说明 不是直角三角形；
（2） 题目中出现高，必定有垂直，垂直就有90°，由此进一步观察有哪些三角形，已知一个三角形的两个内角即可求出另外一个内角。

4. [平行线的性质;三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？






【参考答案】

解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300
∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=1800
∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600
∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900
答：从C岛看AB两岛的视角∠ACB= 900.


5. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图所示，已知 ， ， ，求 度数．


【参考答案】














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解法一：延长BO与AC相交于点D








解法二：连BC









1. [三角形内角和定理] [难度： ★ ] 在△ABC中，若∠B=50°，∠A=∠C，则∠A= ．
【参考答案】65°

2. [三角形内角和定理] [难度： ★ ] 在△ABC中∠C＝90°CD⊥AB，∠B＝50°.则∠DCA＝ .

【参考答案】50°


3. [三角形内角和定理] [难度： ★ ] △ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°,AD平分∠BAC，则∠DAC＝ .
【参考答案】40°

4. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC 交AC于E，则∠BDE= ．

【参考答案】132°

5. [三角形内角和定理] [难度： ★ ] 已知△ABC中，∠B=∠C，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠BDC= °．
【参考答案】72°

6. [平行线的性质;三角形内角和定理] [难度： ★ ] 如图，△ABC中，AD是角平分线，∠B= 45°，∠C= 63°，
DE∥AC，求∠ADE。


【参考答案】

解 ： ∠B= 45°，∠C= 63°

AD是角平分线DE∥AC


7. [三角形内角和定理;平行线的性质] [难度： ★ ] 如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，
∠2=60°，则∠3的度数为 .
【参考答案】70°

8. [平行线的性质;三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图，已知，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E、F，点G在直线EF上，GH⊥AB，若∠EGH=32°，则∠DFE的度数为 .






【参考答案】58°

知识点讲解 2：内角和与方程思想的结合运用例题

1. [三角形内角和定理] [难度： ★ ] 若∠A＝30°，∠B∶∠C＝3∶2，则∠B＝ .
【参考答案】90°

2. [三角形内角和定理] [难度： ★ ] 在直角三角形中，两锐角之差为20°，则这两个锐角的度数分别为
.
【参考答案】55°；35°

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1. [三角形内角和定理] [难度： ★ ] （1）∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°,则∠B= °；
（2）∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B= °.
【参考答案】90；60

2. [单选题] [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的 ,则这个三角形各内角的度数分别为( )

A.60°,90°,75° B.48°,72°,60° C.48°,32°,38° D.40°,50°,90°
【参考答案】B

3. [单选题] [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160°
【参考答案】B

4. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是 .
【参考答案】40°

5. [单选题] [三角形内角和定理] [难度： ★ ] 在△ABC中,∠A=∠B= ∠C,则此三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【参考答案】B

6. [单选题] [三角形内角和定理] [难度： ★ ] 下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 （ ） A.∠A＋∠B＝∠C B.∠A＋∠B＝90° C.∠A－∠B＝∠C D.∠A＝2∠B＝5∠C
【参考答案】D

知识点讲解 3：内角和与整体思想的结合运用例题

1. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图，一个顶角为 的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则
°


【参考答案】220°

2. [三角形内角和定理] [难度： ★★★ ] 已知△ ，
①如图1，若 点是的角平分线的交点，请说明 ；
②如图2 ，若 点是 的角平分线的交点,你能说明∠P= ∠A吗?

③如图3，若 点是外角 的角平分线的交点，你能说明 吗?







【参考答案】
解：（1）
（2）
（3）


【思维对话】

常见的思维障碍：
（1） 不会利用角平分线的性质得出两对相等的角；
（2） 没有整体思想，不会寻找∠A和∠P的关系。突破思维障碍的方法：
（1） 引导学生运用角平分线，可以用∠1、∠2、∠3和∠4表示角，使学生更容易观察图形中隐含的关系。
（2） 引导学生运用三角形的内角和性质得到两个三角形的内角和，再使用等角代换的方法，即可得到
∠A和∠P的关系。


3. [三角形内角和定理] [难度： ★★★ ] （1）如图①∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①△ABC沿DE折叠得到图 ②，填空：∠1+∠2 ∠B+∠C（填＞＜=），当∠A=40°时，
∠1+∠2+∠B+∠C= ．
（3） 如图③是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系，并说明理由．


【参考答案】（1）=；（2）280°；（3）∠BDA+∠CEA=2∠A．
【题目解析】
解：（1）根据三角形内角是180°，
可知：∠1+∠2=180°﹣∠A，∠B+∠C=180°﹣∠A，
∴∠1+∠2=∠B+∠C；
（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，
∴∠1+∠2=∠B+∠C；
当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°；
（3）根据（2）中可得出规律：∠BDA+∠CEA=2∠A．
∠1+∠2=180°﹣∠A，∠B+∠C=180°﹣∠A，
∠BDA+∠CEA=360°﹣（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°﹣（180°﹣∠A +180°﹣∠A ）
=∠BDA+∠CEA=2∠A．

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1. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图,△ABC,∠A=40°,则:(1)∠1+∠2+∠B+∠C= °； (2)∠3+∠4= °.




【参考答案】（1）280；（2）220

2. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图,已知△ABC中,∠A=40°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,∠O= .
【参考答案】110°

3. [翻折变换（折叠问题）;三角形内角和定理] [难度： ★★★ ] 如图所示，将 沿着 翻折，若
，则 ．
【参考答案】40°
【题目解析】

4. [三角形内角和定理;翻折变换（折叠问题）] [难度： ★★★ ] 如图，将左图中三角形ABC沿着一条与BC平行的直线DE折叠后，得到右图．若∠C=120°，∠A=20°，则∠A′DB的度数是 ．

【参考答案】100°
【题目解析】
解：如图，
因为DE∥BC
所以∠1=∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣120°﹣20°=40°
所以∠A’DB=180°﹣2∠1
=180°﹣2×40°
=180°﹣80°
=100°．

知识点讲解 4：内角和与转化思想的结合运用例题

1. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图， ．





【参考答案】180°

2. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图所示， = ．
【参考答案】180°

3. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图， ．





【参考答案】360°

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1. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如下图，求 ．
【参考答案】220°

2. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图，求 = ．
【参考答案】180°
【题目解析】

3. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图，求 ．
【参考答案】180°

导学二 ： 三角形的外角及性质
知识点讲解 1：利用外角的性质进行角度计算
1、三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角， 其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的．
2、三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非 个外角之和)． 三角形的外角和等于 ．
3、三角形外角的性质:
（1） 三角形的一个外角与相邻的内角互补;
（2） 三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;
（3） 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.

例题

1. [三角形的外角性质] [难度： ★★ ] 如图所示，则α= °．
【参考答案】114°

2. [三角形的外角性质] [难度： ★ ] 如图，△ABC中，∠1=∠A，∠2=∠C，∠ABC=∠C，求∠ADB的度数.
【参考答案】108°

3. [三角形的外角性质] [难度： ★★ ] （1）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；

（2）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．

【参考答案】（1）360°；（2）360°
【题目解析】
（1）












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（2）




1. [三角形的外角性质] [难度： ★ ] 如图所示，直线a∥b，则∠A= °.
【参考答案】22°

2. [三角形的外角性质] [难度： ★ ] 若△ABC的三个内角度数之比为2∶3∶4，则相应的外角度数之比为
.
【参考答案】7∶6∶5
【题目解析】

3. [单选题] [三角形的外角性质] [难度： ★ ] 三角形的一个外角等于和它相邻的内角,则这个三角形是( ).

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
【参考答案】B
【题目解析】

4. [单选题] [三角形内角和定理] [难度： ★ ] 在△ABC中,∠A、∠B的外角分别是120°、150°,则∠C=( ).

A.120° B.150° C.60° D.90°
【参考答案】D

5. [单选题] [三角形的外角性质] [难度： ★ ] 如图,∠1=∠2，∠3=∠4,则∠5是∠1的( ).



A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.6倍
【参考答案】C

6. [单选题] [三角形的外角性质] [难度： ★★ ] 如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE=( ).
A.120° B.115° C.110° D.105°
【参考答案】B
【题目解析】

7. [三角形的外角性质] [难度： ★ ] 三角形的三个外角中，最多有 个锐角．
【参考答案】2

8. [三角形的外角性质] [难度： ★ ] 如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225º，则与这个外角相邻的内角是
度．
【参考答案】135

9. [三角形的外角性质] [难度： ★ ] （2015年广州市天河区期末） 如图，在△ABC中，D是AB延长线上一点，
∠A=40°，∠C=60°，则∠CBD= ．
【参考答案】100°
【题目解析】解：∵∠A=40°，∠C=60°，
∴∠CBD=∠A+∠C=100°.

10. [三角形内角和定理;三角形的外角性质] [难度： ★ ] 已知等腰三角形的一个外角为150º，则它的底角为 ．
【参考答案】75°或30°

知识点讲解 2：利用外角的性质探究角的关系例题

1. [三角形内角和定理;三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★★ ] 如图，AC、BD相交于点O，BP、CP分别平分
∠ABD、∠ACD，且交于点P
(1)若∠A=70°，∠D=60°，求∠P的度数.
(2)试探索∠P与∠A、∠D间的数量关系.


【参考答案】

2. [三角形的角平分线、中线和高;三角形的外角性质] [难度： ★★ ] 如图，△ABC中，角平分线AD 、BE 、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，试说明∠AHE＝∠CHG

【参考答案】
【思维对话】
常见的思维障碍：
（1） 不会运用角平分线的定义；
（2） 题目中没有任何度数，不会想到“三角形的内角和180°”这一隐含条件；
（3） 方程思想、整体思想比较弱，没有想到∠AHE能利用外角性质换成其他角来表示。突破方法：

（1） 先从角平分线的定义着手，引导学生用未知数表示三个内角；
（2） 利用内角和定理和外角性质的隐含条件，引导学生用未知数表示∠AHE和∠CHG，即可得证。

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1. [三角形的外角性质] [难度： ★★ ] 如图所示，D是△ABC中AC边上一点，E是BD上一点，则∠1、∠2、∠A之间的大小关系是 .




【参考答案】∠2>∠1>∠A

2. [三角形的外角性质;平行线的判定与性质] [难度： ★★ ] 如图，已知 ，求证：
．
【参考答案】


导学三 ： 三角形的内角外角的综合运用
例题

1. [三角形内角和定理;三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★★ ] 如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC，
∠B=80°，∠C=46°.
（1） 你会求∠DAE的度数吗？
（2） 你能发现∠DAE与∠B、∠C的度数有什么关系吗？
（3） 若只知道∠B-∠C=20°，你能求出∠DAE的度数吗？
【参考答案】


【思维对话】
常见的思维障碍：
（1） 容易看错题目，误以为AE平分∠DAC。
（2） 第2小问考察学生对三角形内角、外角的综合运用，探究两个角或三个角的关系通常会无从下手， 不会推导关系。
突破思维障碍的方法：
（1） 帮助学生梳理条件，分析条件，通过设问引导学生进行推理：
①∠DAE是哪个三角形的内角或外角？
②△ADE中，已知什么？要求出∠DAE，只需求什么？
③∠AED是哪个三角形的外角？
④在△AEC中已知什么？要求∠AEB，只需求什么？
⑤怎么样求∠EAC的度数？
（2） 仿照第1小问的思考方式，用字母表示度数，体现整体思想的运用。

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1. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] （2015年广州市海珠区期末） 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D 为BC上一点，且∠DAB=45°
（1） 求：∠DAC的度数．
（2） 证明：△ACD是等腰三角形．


【参考答案】
（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；
（2）证明：∵∠DAC=75°，∠C=30°，
∴∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴AC=CD，
∴△ACD是等腰三角形．

2. [三角形内角和定理] [难度： ★★★ ] 如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE 的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变 化，求出∠F．






【参考答案】
【题目解析】




限时考场模拟 ： 分钟完成

1. [单选题] [三角形的外角性质] [难度： ★ ] 下列说法中，正确的是 （ ）
A．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和 B．三角形的一个外角小于它的一个内角
C．三角形的一个外角与它相邻的内角是邻补角 D．三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角
【参考答案】C

2. [单选题] [三角形的外角性质] [难度： ★ ] 三角形的每一个顶点处取一个外角，则三角形的三个外角中，钝角的个数至少有（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【参考答案】B

3. [单选题] [三角形内角和定理;三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★ ] （2016年广州市南沙区珠江中学期中） 如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（ ）




A．20° B．30° C．10° D．15°
【参考答案】A
【题目解析】
解：∵∠BAC=60°，∠C=80°，
∴∠B=40°．
又∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD= ∠BAC=30°，
∴∠ADE=70°， 又∵OE⊥BC，
∴∠EOD=20°．

4. [三角形内角和定理;三角形的外角性质] [难度： ★★ ] 如图，AC⊥DE，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠B与
∠ACB的度数．

【参考答案】
AC⊥DE

5. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图，△ABC中，∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB，CD⊥AB于D,DF⊥CE于F,求
∠CDF的度数．
【参考答案】


6. [单选题] [三角形内角和定理] [难度： ★ ] （2016年广州市白云区期末） 如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，AB=BD，下列结论中，正确的是（ ）






A. ∠1=∠2 B. ∠1+3∠2=180° C.2∠1+∠2=180° D.3∠1-∠2=180°
【参考答案】D

课后作业

1. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则
∠D= 度．
【参考答案】36

2. [单选题] [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则
∠1+∠2=（ ）


A．90° B．100° C．130° D．180°
【参考答案】B

3. [单选题] [三角形的外角性质;三角形内角和定理] [难度： ★ ] 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50 °，则∠D=（ ）






A．15° B．20° C．25° D．30°
【参考答案】C
【题目解析】

4. [平行线的性质;三角形内角和定理] [难度： ★ ] 如图， 已知△ABC的AC边的延长线AD∥EF，若∠A=6 0°，
∠B=43°，求∠E的大小．
【参考答案】


5. [单选题] [三角形内角和定理;翻折变换（折叠问题）] [难度： ★★★ ] （2015年广州市番禺六校联考） 如图所示，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（ ）





A．∠A=∠1+∠2 B．∠A= （∠1+∠2） C．∠A= （∠1+∠2） D．∠A= （∠1+∠2）
【参考答案】B
【题目解析】

解：根据折叠及邻补角的性质，得
∠1=180°﹣2∠ADE，∠2=180°﹣2∠AED，
∴∠1+∠2=360°﹣2（∠ADE+∠AED），
∴∠ADE+∠AED= [360°﹣（∠1+∠2）]=180°﹣ （∠1+∠2），
∴在△ADE中，由内角和定理，得
∠A=180°﹣（∠ADE+∠AED）=180°﹣180°+ （∠1+∠2）= （∠1+∠2）． 故选B．

6. [三角形内角和定理] [难度： ★★ ] （2015年广州市越秀区期末） 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是
∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数．


【参考答案】

解：∵∠B=50°，AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°﹣50°=40°，
∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣70°=60°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE= ∠BAC= ×60°=30°，
∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=40°﹣30°=10°．




1. 认真完成课后作业，及时回顾错题并收集分析。
2. 总结本次课学习的几种数学思想与解题方法。