人教版八年级上册11.3.1 多边形教案

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知识导图
课首小测
[单选题] [多边形] [难度： ★ ] 下列图中不是凸多边形的是（）
A． B． C． D．
【参考答案】A
[单选题] [多边形] [难度： ★ ] 下列图形中，是正多边形的是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．长方形D．正方形
【参考答案】D
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）
A．6B．7C．8D．9
【参考答案】D
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
多边形，多边形的内角和，多边形的外角和
课型
一对一/一对N
教学目标
1、掌握多边形的定义，掌握正多边形的定义
2、掌握多边形的内角和与外角和公式
重、难点
多边形的内角和与外角和公式
导学一 ： 多边形
知识点讲解 1：多边形的对角线例题
1. [多边形] [难度： ★ ] 下图是 边形，它有 个内角， 条边，从一个顶点出发的对角线有 条．
【参考答案】五，五，五，2．
【题目解析】解：是 五边形，它有五个内角，五条边，从一个顶点出发的对角线有2条， 2. [多边形] [难度： ★★ ] 观察下面图形，解答下列问题：
在上面第四个图中画出六边形的所有对角线；
观察规律，把下表填写完整：
【参考答案】
我爱展示
解：（1）
（2）
[多边形] [难度： ★ ] 一个n边形有 个顶点， 条边， 个内角， 个外角．
【参考答案】n，n，n，2n．
【题目解析】解：一个n边形有n个顶点，n条边，n个内角，n个外角．
[多边形] [难度： ★★ ] （1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形．
（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），再将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形．
【参考答案】n，n-1．
【题目解析】解：（1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成n个三角形；
（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成n
﹣1个三角形．
[多边形] [难度： ★★ ] 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
【参考答案】解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，
∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，如图：
知识点讲解 2：正多边形
各边都相等，各角都相等的多边形叫做正多边形（regular plygn）．如图5所示：正三角形、正方形、正五边形、正六边形等都是正多边形．
图5
正n边形有n个内角，并且这n个角都相等；正n边形有2n个外角，并且这2n个外角也相等． 判断一个多边形是否是正多边形时，关键要抓住两点：
各个角都相等；
各条边都相等．这两个条件缺一不可．如长方形就不是正多边形，由于长方形的四个角虽相等，但长方形的四条边不相等，故长方形不是正多边形．
例题
[多边形] [难度： ★ ] 下列说法正确的是（）
各边都相等的多边形是正多边形
各角都相等的多边形是正多边形
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
一个n边形（n＞3）有n条边，n个内角，n条对角线
【参考答案】C．
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[单选题] [多边形] [难度： ★ ] 下列图形中不可能是正多边形的是（）
A．三角形B．正方形C．四边形D．梯形
【参考答案】D
[单选题] [多边形] [难度： ★ ] 下列关于正六边形的说法错误的是（）
A．边都相等B．对角线都相等C．内角都相等D．外角都相等
【参考答案】B
[单选题] [多边形] [难度： ★ ] 下列是正多边形的是（）
A．三条边都相等的三角形B．四个角都是直角的四边形
C．四条边都相等的四边形D．六条边都相等的六边形
【参考答案】A
导学二 ： 多边形的内角和与外角和
知识点讲解 1：多边形的内角和
图1
如图1，四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形，因此四边形的内角和等于这两个三角形的内角和，即180°×2
＝360°．
多边形的内角和：n边形内角和等于（n－2）×180°．
多边形的内角和的推导方法有很多，但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决的，即利用多边形对角线或对角线的一部分，可以把多边形分割成若干个小三角形，再通过三角形的内角和推导出多边形的内角和．这种转化是化归思 想的体现，也是解决多边形问题的基本思想．下面提供三种方法：
（1）（2）（3） 图2
方法一：教材中所提供的方法如图2（1）所示，以多边形的某一个顶点为端点，与其他顶点相连接构成多边形的对角 线，把多边形分割成（n－2）个小三角形．
方法二：如图2（2）所示，在n边形中，取某边上一点（非顶点）为端点，与其他顶点相连，把多边形分割成（n－1）个 小三角形．
方法三：如图2（3）所示，在n边形的内部任取一点，与多边形的各顶点相连，把多边形分割成n个小三角形． 注意：多边形的内角和与边数有关，边数每增加一条，则内角和就增加180°．
例题
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 探究多边形内角和时，我们常把多边形转化成三角形，再根据三角形内角为
180°得出多边形内角和．如下图是探究多边形内角和一种方法，请根据图示，完成填空：
（1）四边形内角和：4×180°﹣2×180°=360°；
（2）五边形内角和：5×180°﹣2×180°= ；
（3）六边形内角和：6×180°﹣2×180°= ；
（4）n边形内角和： =．
【参考答案】解：（1）四边形内角和：4×180°﹣2×180°=360°；
（2）五边形内角和：5×180°﹣2×180°=540°；
（3）六边形内角和：6×180°﹣2×180°=720°；
（4）n边形内角和：n×180°﹣2×180°=（n﹣2）×180°．
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 求下列图形中x的值：
【参考答案】解：图1，x°=360°﹣70°﹣90°﹣150°=50°，则x=50；
图2，x°=180°﹣（360°﹣73°﹣90°﹣82°）=65°，则x=65； 图 3，x°+（x+30）°+60°+x°+（x﹣10）°=（5﹣2）×180°， 解得x=115．
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[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）
A．6B．7C．8D．10
【参考答案】C
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 一个六边形，每一个内角都相等，每个内角的度数为（） A．100°B．120°C．135°D．150°
【参考答案】B
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 一个多边形的边数增加2，则这个多边形的外角和（）
A．增加180°B．增加360°C．增加540°D．不变
【参考答案】D
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 求图中x的值：
【参考答案】解：（1）根据题意得：x°+x°+130°+90°=360°，解得：x=70；
（2）∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，
根据题意得：x°+125°+180°+140°=（5﹣2）×180°，解得：x=95．
知识点讲解 2：多边形的外角和
图1
多边形的外角和：多边形的外角和等于360°．
多边形外角和定理的证明：多边形每个内角与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加外角和为
n·180°，外角和等于n·180°－（n－2）180°＝360°． 总结：1．多边形外角和都等于360°，与边数多少无关．
2．外角和定理的作用：
已知各相等外角度数求多边形边数；
已知多边形边数求各相等的外角度数．
通常与正多边形的知识连用求其内角度数或者外角的度数．正n边形其外角和为360°，所以正n边形外角度数都相等且为 ，与外角相邻的内角的度数为180°－ ．
例题
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为
（）
A．540°B．720°C．900°D．1080°
【参考答案】A
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 如图，∠1、∠2、∠3、∠4 是五边形ABCDE的4个外角，若
∠EAB=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（）
A．540°B．360°C．300°D．240°
【参考答案】C
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[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 一个四边形四个外角之比为1：2：3；4，则这个四边形的内角中
（）
A．只有一个锐角B．有两个锐角C．有三个锐角D．有四个锐角
【参考答案】B
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] （2015年广州市天河区期末） 内角和等于外角和的多边形是（）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【参考答案】B
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为（）
A．8B．9C．10D．12
【参考答案】C
[多边形内角与外角] [难度： ★★ ] 如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，… 这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．
小明一共走了多少米？
这个多边形的内角和是多少度？
【参考答案】解：（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形，
∴360÷15=24，24×5=120m
答：小明一共走了120米；
（2）（24﹣2）×180°=3960°，
答：这个多边形的内角和是3960度．
【思维对话】
常见的思维障碍：
学生想不到如何求出多边形的边数，导致求不出路程是多少。
学生不知道题目中的15°有什么作用，不知道如何结合多边形的内角和与外角和的公式进行计算。突破思维障碍的方法：
引导学生观察示意图，发现形成的多边形的每一个外角都为15°，再得出多边形的边数。
通过多边形的内角和与外角和公式，先求出多边形的边数，再引导学生求多边形的内角和；或者根据多边形的每一个内角的度数和边数，求出多边形的内角和。启发学生发散思维。同时引导学生总结遇 到此类行走的问题，运动路径最终为一个多边形。
知识点讲解 3：多边形的内角和与多边形的内角和综合例题
[多边形内角与外角] [难度： ★★ ] 一个多边形内角和的度数比外角和的度数的4倍多180度，求多边形的边数．
【参考答案】解：设多边形的边数为x
∵多边形的外角和是360°，内角和的度数比外角和的度数的4倍多180度，
∴可得方程（n﹣2）180°=4×360°+180° 解得x=11．
多边形的边数为11．
[多边形内角与外角] [难度： ★★ ] 如图，在正六边形ABCDEF中，连接AD，∠ADC=60°，求证：BC∥AD∥EF．
【参考答案】证明：正六边形的一个内角的度数为：=120°，
【思维对话】
∵∠ADC=60°，又∠C=120°，
∴BC∥AD，
∵∠ADC=60°，
∴∠ADE=60°，又∠E=120°，
∴AD∥EF，
∴BC∥AD∥EF．
常见的思维障碍：
不知道如何证明两直线平行；
忽略正六边形的条件，不会求多边形的内角。突破思维障碍的方法：
引导学生回顾平行线的判定方法，并启发学生观察图形，发现可以利用“同旁内角互补，两直线平行”这一判定定理来证明；
引导学生仔细审题，并在图中标注已知条件，根据正多边形的定义得出相应的角度，再证明平行。
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[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 已知两个多边形的内角和为2160°，且两个多边形的边数之比为3：5，求这两个多边形的边数．
【参考答案】解：设两个多边形的边数分别是3x和5x， 则（3x﹣2）•180+（5x﹣2）•180=2160， 解得x=2，
则两个多边形的边数分别为6和10．
[多边形内角与外角] [难度： ★★ ] （1）如果三角形三个内角度数的比为1：2：3，试判断三角形的形状并说明理由；
如果四边形各内角度数的比为1：2：3：4，求四个内角的度数；
五边形五个内角度数的比能否是1：2：3：4：5？若能，请求出各角度数；若不能，请说明理由．
【参考答案】解：（1）设三个内角度数分别为x、2x、3x， 则x+2x+3x=180°，
解得，x=30°，
则2x=60°、3x=90°，
这个三角形是直角三角形；
设四个内角度数分别为x、2x、3x、4x， 则x+2x+3x+4x=360°，
解得x=36°，
则2x=72°、3x=108°、4x=144°；
设五个内角度数分别为x、2x、3x、4x、5x， 则x+2x+3x+4x+5x=540°，
解得x=36°，
则2x=72°、3x=108°、4x=144°、5x=180°，
∵五边形的内角度数不可能是180°，
∴五边形五个内角度数的比不能是1：2：3：4：5．
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的对角线条数为（）
A．77B．90C．65D．104
【参考答案】A
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 如图，五边形ABCDE中，∠A=135°，延长CD，AE交于点F，且∠DEF=105°，
∠F=45°，∠C=60°．
求∠B的度数；
AB与CD之间是否存在某种关系，说出你的理由．
【参考答案】证明：（1）∵∠DEF=105°，
∴∠DEA=75°．
∵∠EDC=∠F+∠DEF，
∴∠EDC=45°+105°=150°．
由多边形的内角和公式可知：∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠DEA=540°，
∴∠B=120°；
（2）∵∠B=120°，∠C=60°，
∴∠B+∠C=180°．
∴AB∥CD．
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 若多边形的所有内角与它的一个外角的和为612°，求这个多边形的边数及内角和．
【参考答案】解：设边数为n，这个外角为x°，则0＜x＜180°根据题意，得
（n﹣2）•180°+x=612°
解得n= ．
∵n为正整数，
∴972﹣x必为180的倍数， 又∵0＜x＜180，
∴n=5，
这个多边形的内角和：（5﹣2）×180°=540°．
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 在四边形ABCD中，∠A=120°，∠B：∠C：∠D=3：4：5，求∠B、∠C、∠D的度数．
【参考答案】解：∵在四边形ABCD中，∠A=120°，
∴∠B+∠C+∠D=360°﹣120°=240°，
∵∠B：∠C：∠D=3：4：5，
∴∠B=240°×=60°；
∠C=240°×=80°；
∠D=240°×=100°．
[多边形内角与外角] [难度： ★★ ] （1）如图1，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的关系，并证明．
（2）用（1）中的结论解决下列问题：如图2，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，
∠B+∠C=240°，求∠E的度数．
【参考答案】解：（1）∠1+∠2=∠3+∠4．理由：
由四边形的内角和是360°可知：∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=360°．
∴∠1+∠2=∠3+∠4．
（2）由（1）可知∠MDA+∠DAN=∠B+∠C=240°．
∵AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠EDA= ∠MDA，∠EAD= ∠DAN．
∴∠EDA+∠EAD= ×（∠MDA+∠DAN）= ×240°=120°．
知识点讲解 4：多边形的角度计算常见模型例题
[多边形内角与外角] [难度： ★★ ] 如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠FED+∠F= ．
【参考答案】360°．
[多边形内角与外角] [难度： ★★★ ] （2014年无锡市期中考） 如图，
（1）在图1中，猜想：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2= 度．并试说明你猜想的理由．
（2）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2； 图2称为2环四边形，它的内角和为∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2；
图3称为2环5五边形，它的内角和为∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠E1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2+∠E2 请你猜一猜，2环n边形的内角和为 度（只要求直接写出结论）．
【参考答案】（1）360；（2）360（n﹣2）
【题目解析】解：（1）连结B1B2，
则∠A2+∠C1=∠B1B2A2+∠B2B1C1，
∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2=∠A1+∠B1+∠B1B2A2+∠B2B1C1+∠B2+∠C2=360度；
（2）如图，A1A2之间添加两条边，
【思维对话】
可得B2+∠C2+∠D2=∠EA1D+∠A1EA2+∠EA2B2
则
∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2=∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠EA1D+∠A1EA2+∠EA2B2=720°；
2环n边形添加（n﹣2）条边，2环n边形的内角和成为（2n﹣2）边形的内角和．其内角和为180（2n﹣4）
=360（n﹣2）度．
常见的思维障碍：
图形复杂，学生容易畏难，感觉无从下手；
学生不知道如何利用多边形的内角和和外角和公式，添加适当的辅助线进行条件的转化。突破思维障碍的方法：
从简单的图形开始，一步步引导，启发学生通过连接构造多边形，利用多边形的内角和公式得出角度的关系。
引导学生观察图1、图2、图3和图4之间的变化规律，找出其中的异同点，启发学生模仿图1的方式进行解答。
引导学生总结此类题目的做法，并强调题目之间的递进与承接关系，善于利用图形的变化规律，得到解决的办法。
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1. [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 如图所示，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=660°，求∠G+∠H的度数．
【参考答案】解：连接AF，
∵∠GDH=∠ADF，
∴∠G+∠H=∠DAF+∠DFA，
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠DAF+∠DFA=（6﹣2）×180°=720°，又
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=660°，
∴∠DAF+∠DFA=720°﹣660°=60°，
则∠G+∠H=60°．
2. [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．
【参考答案】360°．
【题目解析】解：如图：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（∠A+∠B）+（∠C+∠D）+（∠E+∠F）=∠1+∠2+∠3=360°．
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[单选题] [多边形] [难度： ★ ] 下列各图中，是凸多边形的是（）
A．
B．D．
C．
【参考答案】D
[单选题] [多边形] [难度： ★ ] 在六边形内任取一点，把这个点与六边形的各顶点分别连接可以得到（）
A．4个三角形B．5个三角形C．6个三角形D．7个三角形
【参考答案】C
[单选题] [多边形] [难度： ★ ] 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
【参考答案】A
[单选题] [多边形] [难度： ★ ] 下列各图形中，具有稳定性的是（）
B．C．D．
【参考答案】C
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] （2015年广州市越秀区期末） 如图，在正五边形ABCDE中，连结AD、
BD，则∠ADB的度数是（）
A．18°B．36°C．54°D．72°
【参考答案】B
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] （2015年广州市海珠区期末） 多边形每个外角为45°，则多边形的边数是（）
A．8B．7C．6D．5
【参考答案】A
[多边形] [难度： ★ ] 下列说法中，错误的是（）
除三角形外的多边形都有对角线
任意四边形的内角和等于外角和
过n边形的一个顶点有（n﹣3）条对角线
D．（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大360°
【参考答案】D．
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 一个正n边形的内角和等于900°，则n= ．
【参考答案】7．
[多边形内角与外角] [难度： ★★ ] 如图，小明从点A出发沿直线向前走10m，向左转30°，然后继续向前走10m， 再向左转30°，他以同样的方法继续走下去，当他第一次回到出发地A点时，一共走了 m．
【参考答案】120．
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．
【参考答案】180°．
[多边形内角与外角] [难度： ★★ ] 某同学在计算多边形的内角和时少加了一个内角的度数，得到的答案是
1125°，求这个多边形的边数是多少？少加的那个内角的度数是多少？
【参考答案】解：设少加的度数为x°此多边形为n边形．
∵1125°+x=（n﹣2）×180°，
∴x=180°×（n﹣2）﹣1125°，
∵0°＜x＜180°，
∴0＜180°×（n﹣2）﹣1125°＜180，
∴8.2＜n＜9.3，
∴n=9，
∴x=180°×（9﹣2）﹣1125°=135°．
∴此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135°．
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 五边形ABCDE中，∠A为135°，AE⊥ED，AB∥CD，∠B=∠D，试求∠C 的度数．
【参考答案】A;B;D
课后作业
[单选题] [多边形] [难度： ★ ] 从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．
A．6B．5C．8D．7
【参考答案】B
2. [单选题] [多边形] [难度： ★★ ] 以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作（）
A．一个B．2个C．3个D．无数个
【参考答案】D
[单选题] [多边形的对角线] [难度： ★★ ] 若一个多边形的内角和为900°，则从这个多边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数为（）
A．4B．5C．6D．7
【参考答案】A
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★★ ] 正n边形的一个内角比一个外角大100°，则n为（）
A．7B．8C．9D．10
【参考答案】C
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★ ] （n+2）边形的内角和比n边形的内角和大（）
A．180°B．360°C．n•180°D．n•360°
【参考答案】B
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★★ ] 若n边形的所有内角与某一个外角的总和为1297°，则n等于（）
A．6B．7C．8D．9
【参考答案】D
7. [单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★★ ] 如图，已知∠l+∠2=150°，则∠α+∠β=（）
A．等于150°B．等于210°C．等于250°D．值不能确定
【参考答案】A
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★★ ] 在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，这个多边形的边数是（）
A．7B．8C．9D．10
【参考答案】A
[单选题] [多边形内角与外角] [难度： ★★★ ] 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为1的圆形喷水池， 则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（）
A． B．πC．2πD．4π
【参考答案】B
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 一个多边形除去一个内角之外的所有内角之和是1200度，这个多边形的边数为 ，这个内角的度数 ．
【参考答案】9，60°．
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 ．
【参考答案】6．
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 正六边形的每个外角是 度．
【参考答案】60．
[多边形内角与外角] [难度： ★★★ ] 如图，在五边形ABCDE中，点M、N分别为在AB、AE的边上，
∠1+∠2=110°，则∠B+∠C+∠D+∠E= ．
【参考答案】470°．
[多边形内角与外角] [难度： ★★ ] 现有若干个含有30°角的全等的直角三角板，拼出一个凸n边形，则n的最大值为 ．
【参考答案】12．
15. [多边形内角与外角] [难度： ★ ] 如图，∠BDC=98°，∠ACD=38°，∠ABD=23°，则∠A的度数是 ．
【参考答案】37°．
[多边形内角与外角] [难度： ★★★ ] 如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，且∠A=120°，∠B=80°，
∠E+∠F=260°，求∠C与∠D的度数．
【参考答案】解：连接AC，
∵AF∥CD，
∴∠CAF+∠ACD=180°，
∴∠D=540°﹣（∠CAF+∠ACD）﹣（∠E+∠F）=100°，
∴∠C=720°﹣∠A﹣∠B﹣（∠E+∠F）﹣∠D=160°．
[多边形内角与外角] [难度： ★ ] 如图，已知在四边形ABCD中，∠B=∠D=90度，AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线．则AE与FC有什么关系？请说明理由．
【参考答案】证明：∵∠B=∠D=90°，∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线、
∴∠DAE+∠DCF=90°， 又∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠DFC=∠DAE，
∴AE∥CF．
[多边形内角与外角] [难度： ★★★ ] 动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系． 探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
（写出说理过程）
探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图（3））呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
【参考答案】解：探究一：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠ACD，
=180°﹣ （∠ADC+∠ACD），
=180°﹣ （180°﹣∠A），
=90°+ ∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠BCD，
=180°﹣ （∠ADC+∠BCD），
=180°﹣ （360°﹣∠A﹣∠B），
= （∠A+∠B）；
探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠EDC﹣ ∠BCD，
=180°﹣ （∠EDC+∠ACD），
=180°﹣ （720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），
= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
认真完成课后作业，及时回顾错题并收集分析。
总结本次课学习的几种数学思想与解题方法。