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1.1与三角形有关的线段（教师版） 教案
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这是一份1.1与三角形有关的线段（教师版），共22页。
与三角形有关的线段（教师版）
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
与三角形有关的线段
课型
一对一
教学目标
1. 理解三角形及与三角形有关的概念，掌握它们的文字表述、符号语言表述及图形表述方法．
2. 掌握三角形三边关系的一个重要性质，进一步熟练方程的思想和分类讨论的思想．
3. 理解三角形的高、中线和角平分线的概念，掌握它们的性质．
4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．
重、难点
三角形三线的特征以及分类讨论思想的应用
课首沟通
与三角形有关的线段有哪些?怎样画出来？分别有什么性质？
知识导图
课首小测
1. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] （2016年校级期末试题） 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．11
【参考答案】A
【题目解析】因为3+7=10,7-3=4，所以第三边在4与10之间，选择A.
2. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] （2016年校级期中试题.） 若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣
4|+ =0，则c的值可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【参考答案】A
【题目解析】∵|a﹣4|+ =0，∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2； 则4﹣2＜c＜4+2，即2＜c＜6，5符合条件；故选A．
3. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年龙岗模拟试题.） 在△ABC中，∠C=90°，点
D，E分别是边AC，BC的中点，点F在△ABC内，连接DE，EF，FD．以下图形符合上述描述的是（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】C
4. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年校级期末试题.） 下面四个图形中，线段BE是
△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】D
5. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年校级期末试题.） 一定在△ABC内部的线段是（
）
A. 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B. 钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C. 任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D. 直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
【参考答案】A
【题目解析】
A. 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在△ABC内部，故本选项正确；
B. 钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部，故本选项错误；
C. 任意三角形的一条中线、二条角平分线都在三角形内部，但三条高不一定在三角形内部，故本选项错误；
D. 直角三角形的三条高有两条是直角边，不在三角形内部，故本选项错误． 故选A．
6. [单选题] [三角形的稳定性] [难度： ★★ ] 在建筑工地我们经常可看见如图所示用木条EF固定长方形门框ABCD的情形，这种做法根据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．长方形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
【参考答案】D
导学一 ： 三角形
知识点讲解 1：三角形定义及其分类
1. 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 要点：(1) 三条线段；(2) 不在同一直线上；(3) 首尾顺次相接．
2. 三角形的表示
通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、
BC、AC是三角形的三条边，顶点A所对的边BC还可用a表示；顶点B所对的边AC还可用b表示；顶点C所对的边AB还可用c表 示．∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．
3. 三角形的分类
例题
1. [三角形] [难度： ★★ ] 已知：如图，试回答下列问题：
（1） 图中有 个三角形，它们分别是 .
（2） 以线段AD为公共边的三角形是 .
（3） 线段CE所在的三角形是 ，CE边所对的角是
【参考答案】
（1） 6，△ABC，△ACD，△ADE，△ABD，△ACE，△ABE.
（2） △ACD，△ADE，△ABD.
（3） △ACE，∠CAE.
2. [单选题] [三角形] [难度： ★★ ] （2016年校级期末试题） 下列说法正确的是（ ）
A. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B. 一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C. 一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
【参考答案】D
【题目解析】
A. 一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；
B. 一个等腰三角形不一定是锐角三角形，或直角三角形，故本选项错误；
C. 一个直角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；
D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形，故本选项正确； 故选D．
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1. [三角形] [难度： ★★ ] 如图所示，
（1） 图中共有 个三角形，其中以线段BC为一边的三角形是 ．
（2） 在△ABD中，∠BAD的对边是 ，在△ABE中，∠ABE的对边是 ．
（3） AB既是 中∠ 的对边，又是△ 中∠ 的对边，还是△ 中∠ 的对边．
【参考答案】
（1）8，△BCE、△BCD、△ABC；
（2） BD，AE；
（3） ABE，AEB；ABD，ADB；ABC，ACB．
2. [单选题] [三角形] [难度： ★★ ] （2016年铁一期中试题） 下列说法正确的有（ ）
（1） 等腰三角形是等边三角形；
（2） 三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
（3） 等腰三角形至少有两边相等；
（4） 三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（2）（4）
【参考答案】C
知识点讲解 2：三角形三边关系
三角形三边关系定理
（1） 三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有： a+b>c， b+c>a， c+a>b．
（2） 三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有： b-c
1. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 下列各组线段能组成一个三角形的是( )．
A. 3cm，3cm，6cm B. 2cm，3cm，6cm
C. 5cm，8cm，12cm D. 4cm，7cm，11cm
【参考答案】C
【题目解析】
A. 3+3=6，不符合. B. 2+3<6，不符合. D. 4+7=11，不符合.
2. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是( )．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【参考答案】A
3. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 若三角形的两边长分别为3和5，则其周长C的取值范围是( )． A. 6＜C＜15 B.6＜C＜16
C.11＜C＜13 D.10＜C＜16
【参考答案】D
【题目解析】3+5=8,5-3=2，第三边是长度介于2与8之间，所以周长介于10与16之间，选择D.
4. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 若一个三角形的三条边长分别为3，2a﹣1，6，则整数a的值可能是（
）
A．2，3 B．3，4 C．2，3，4 D．3，4，5
【参考答案】B
【题目解析】由三角不等式知，3+6>2a-1，6-3<2a-1 ，解得 2
5. [单选题] [非负数的性质：绝对值;三角形三边关系] [难度： ★★ ] （2016年校级期中试题.） 已知△ABC的三边长a，b，c，化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果是（ ）
A．2a B．2b C．2a+2b D．2b﹣2c
【参考答案】A
【题目解析】∵△ABC的三边长a，b，c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|，
=（a+b﹣c）+（﹣b+a+c），
=2a，
【思维对话】
（一）常见的思维障碍：学生对绝对值的运算不熟练，不会去绝对值.
（二）突破思维障碍：
（1） 让学生再审题，让学生明确考点是三角形三边关系，其次把绝对值里面的式子进行组合，使得能用上三角形三边关系的不等式.
（2） 引导学生回顾绝对值的运算，并且要注意去绝对值的时候，要带小括号，最后再去括号。
【学有所获】正数数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，零的绝对值是 .
[学有所获答案]它本身，它的相反数，零.
6. [等腰三角形的性质;三角形三边关系] [难度： ★★ ] 等腰三角形ABC的两边长分别是5cm和10cm，求三角形ABC的周长。
【参考答案】25cm
【题目解析】
因为等腰三角形的两边分别为5和10，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论. 当5为底时，其它两边都为10，5、10、10可以构成三角形，周长为25cm，
当5为腰时，其它两边为5和10，5、5、10不可以构成三角形．
【学有所获】遇到等腰三角形的边长求解时，必须进行 ，确定腰与底.
[学有所获答案]分类讨论.
7. [三角形三边关系;等腰三角形的性质] [难度： ★★ ] 有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是
3cm，求三边的长．
【参考答案】5cm，5cm，2cm
【题目解析】
因为没有明确底边与腰的长度关系，所以有两种情况，需要分类讨论，同时还需要借助方程求解. 设腰长为x，底边长为y，则2x+y=12.
若腰比较长，则有x-y=3，此时有方程组
解得
由于5,5,2可以构成三角形，所以三边长为5cm,5cm,2cm. 若底边比较长，则有y-x=3，此时有方程组
解得
由于3,3,6不可以构成三角形，所以舍去.
【学有所获】已知周长求边长，可以设未知数，列方程组求解，熟练方程的思想.
8. [三角形三边关系;不等式的性质] [难度： ★★ ] 如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D．
（1） 试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系；
（2） 试探AB+AC与PB+PC的大小关系．
【参考答案】（1）AB+BC+CA＞2BD；（2）AB+AC＞PB+PC
【题目解析】
（1） ∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，BC+AD＞BD，
∴AB+AD+BC+AD＞2BD，
∴AB+BC+CA＞2BD；
（2） ∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，
∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC，
∴AB+AC＞PB+PC．
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1. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取( )．
A. 0.85m长的木条 B. 0.15m长的木条
C. 1m长的木条 D. 0.5m长的木条
【参考答案】D
2. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 已知三角形的三边分别为4，a，8，那么该三角形的周长c的取值范围是（ ）
A．4＜c＜12 B．12＜c＜24 C．8＜c＜24 D．16＜c＜24
【参考答案】D
3. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 设三角形三边之长分别为3，8，1﹣2a，则a的取值范围为（ ） A．﹣6＜a＜﹣3 B．﹣5＜a＜﹣2 C．﹣2＜a＜5 D．a＜﹣5或a＞2
【参考答案】B
4. [单选题] [三角形三边关系;非负数的性质：绝对值;非负数的性质：算术平方根] [难度： ★★ ] 已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足|a﹣6|+ =0，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（ ）
A．c＞8 B．8＜c＜14 C．6＜c＜8 D．2＜c＜14
【参考答案】B
【题目解析】由非负性质得，a=6，b=8，6+8=14，8-6=2，故选择B.
5. [单选题] [非负数的性质：绝对值;三角形三边关系] [难度： ★★ ] 若a，b，c是△ABC的三边，则化简|a﹣b﹣c|
﹣|b﹣a﹣c|的结果是（ ）
A．2a﹣2b B．2b﹣2a C．2c D．0
【参考答案】B
6. [三角形三边关系;非负数的性质：绝对值] [难度： ★★ ] 已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣ c|﹣|a﹣b+c|.
【参考答案】﹣a+3b﹣c
【题目解析】|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|
=（a+b﹣c）+（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）
=a+b﹣c﹣a+b+c﹣a+b﹣c
=﹣a+3b﹣c
故答案为：﹣a+3b﹣c．
7. [等腰三角形的性质;三角形三边关系] [难度： ★★ ] 已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．
【参考答案】20cm，22cm
【题目解析】
因为等腰三角形的两边分别为4和10，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论. 当8为底时，其它两边都为6，8、6、6可以构成三角形，周长为20cm，
当6为底时，其它两边都为8，6、8、8可以构成三角形，周长为22cm.
8. [三角形三边关系;不等式的性质] [难度： ★★ ] 如图，点O是△ABC内的一点，证明：
【参考答案】
【题目解析】证明：∵△ABO中，OA+OB＞AB，
同理，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC．
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，
∴
导学二 ： 与三角形有关的线段
知识点讲解 1：三角形的高，中线，角平分线
三角形的高
定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 垂心：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心. 位置：
锐角三角形的高均在三角形内部，垂心在三角形的内部；
钝角三角形的高线有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，垂心在三角形的外部；
直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，垂心就是直角顶点；
画法：画高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高； 注意：由于每一条边都对应一条高，因此可以通过等面积法求高.
2. 三角形的中线
定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线；
重心：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心； 位置：每个三角形都有三条中线并且都在三角形内部，重心也在三角形内部；
注意： 根据等底同高，面积相等的性质得知，三角形的中线平分了三角形的面积.
3. 三角形的角平分线
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线； 内心：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心 ；
位置：每个三角形都有三条角平分线并且都在三角形内部，内心也在三角形内部. 如下图，若AD是△ABC的角平分线，则 .
例题
1. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年八一期中试题.） 如图，下面的四个图形中， 线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】A
2. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
【参考答案】B
3. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如图，线段AD、AE、AF分别为△ABC的中线、角平分线和高线，能把△ABC分成两个面积相等的三角形的线段是（ ）
A．AD B．AE C．AF D．无
【参考答案】A
4. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 下列叙述中错误的一项是（ ）
A．三角形的中线、角平分线、高都是线段 B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部
C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形 D．三角形的三条角平分线都在三角形内部
【参考答案】C
5. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年校级月考试题） 如图：在△ABC中，AD、BE、CF是△ABC 的高，交点为H，则△AHC的三边上高分别为 ．
【参考答案】9cm
【题目解析】
【思维对话】
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．
∴AC﹣AB=5cm． 又∵AB+AC=13cm，
∴AC=9cm．
即AC的长度是9m．
（一）常见的思维障碍：学生不了解周长差有什么作用，想要设未知数求解，不知道怎么设..
（二）突破思维障碍：
（1） 让学生再审题，把周长是由哪些边组成的表示出来，即△ADC的周长=（AC+CD+AD）
△ABD的周长=（AB+BD+AD）
（2） 鼓励学生观察这两个式子有什么特征，会发现有相同线段AD，引导学生重新审题，有什么条件忽视了，会找到中线，从而CD与BD长度相同，因此周长差的作用就出来了，转化成AC与AB的差。
（3） 然后可以方程求解.
【学有所获】遇见周长差可以转化为边长差，化整为零。
6. [三角形的角平分线、中线和高;三角形三边关系] [难度： ★★ ] （2016年七中期末.） 如图，在△ABC中（AB＞
BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
【参考答案】AC=48，AB=28．
【题目解析】
∵AD是BC边上的中线，AC=2BC，
∴BD=CD，
设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，
分为两种情况：①AC+CD=60，AB+BD=40， 则4x+x=60，x+y=40，
解得：x=12，y=28， 即AC=4x=48，AB=28；
②AC+CD=40，AB+BD=60，
则4x+x=40，x+y=60，
解得：x=8，y=52，
即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，
此时不符合三角形三边关系定理； 综合上述：AC=48，AB=28．
【学有所获】中线把周长分成两部分，是不包括中线的长度.
7. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长．
【参考答案】3cm
【题目解析】
【学有所获】求高或者求边长的时候，等面积法是个不错的选择哦！
8. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，BH 是等腰三角形AC边上的高。猜想：PE、PF 和BH间具有怎样的数量关系？
【参考答案】PE+PF=BH
【题目解析】连接AP
9. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 如图，已知在△ABC中，BD:DC=3：1，AE:CE=1：2，S△ABC=48,求四边形ODCE的面积。
【参考答案】
【题目解析】连接OC
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1. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年校级期末） 如图，AE⊥BC于E，BF⊥AC于F，
CD⊥AB于D，则△ABC中AC边上的高是哪条垂线段（ ）
A.A E B．CD C．BF D．AF
【参考答案】C
2. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 下列说法错误的是（ ）
A. 锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部
C. 直角三角形只有一条高线
D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
【参考答案】C
3. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC 于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）
（1）AD是△ABE的角平分线； （2）BE是△ABD边AD上的中线；
（3）CH是△ACD边AD上的高； （4）AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【参考答案】B
4. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 在△ABC中∠C=90°，D、E为AC上的两点，且AE=DE，BD 平分∠EBC，则下列说法不正确的是（ ）
A.B C是△ABE的高 B．BE是△ABD的中线
C．BD是△EBC的角平分线 D．∠ABE=∠EBD=∠DBC
【参考答案】D
5. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12， 则AB﹣BC的长是 ．
【参考答案】9
6. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年校级月考） 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知
AB=7cm，AC=5cm，则△ABD和△ACD的周长差为 cm．
【参考答案】2．
【题目解析】
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD的周长差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，
∵AB=7cm，AC=5cm，
∴△ABD和△ACD的周长差=7﹣5=2cm． 故答案为：2．
7. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分别24和18两部分，求三角形三边的长．
【参考答案】16，16，10和12，12，18.
【题目解析】设AD=x，BC=y，则AB=AC=2x，分以下两种情况讨论
而16，16，10和12，12，18都可以构成三角形。所以三边长分别为16，16，10和12，12，18.
8. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12．求BC的长．
【参考答案】
【题目解析】由等面积法得
解得 BC=
9. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，
△ABC的高为h，若点
P在一边BC上，此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【参考答案】h1+h2=h
【题目解析】连接AP
导学三 ： 三角形的稳定性
知识点讲解 1
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性
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1. [单选题] [三角形的稳定性] [难度： ★★ ] 不是利用三角形稳定性的是( )
A.自行车的三角形车架 B.三角形房架 C.照相机的三角架 D.矩形门框的斜拉条
【参考答案】D
限时考场模拟 ： 20分钟完成
1. [单选题] [三角形三边关系;等腰三角形的性质] [难度： ★★ ] 一个等腰三角形的两边是7和3，则该三角形的周长是（ ）
A.17 B.13 C.17或13 D.7或3
【参考答案】A
【题目解析】若三边长为7,3,3，则不能构成三角形。因此只有7,7,3可以构成三角形，此时周长为17，选择A.
2. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 已知三角形的两边长分别是3和8，且第三边长是奇数，那么第三边的长度为（ ）
A.7或5 B.7 C.9 D.7或9
【参考答案】D
【题目解析】3+8=11,8-3=5,介于5与11之间的奇数为7或9，故答案为D.
3. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 三角形两边的长分别为4和5 ，则周长的范围是（ ）
A. B. C. D.无法确定
【参考答案】B
4. [单选题] [三角形三边关系;非负数的性质：绝对值] [难度： ★★ ] 已知△ABC的三边长a，b，c，化简|a+b﹣
c|+|b﹣a﹣c|的结果是（ ）
A．2a B．2b C．2a+2b D．2b﹣2c
【参考答案】A
【题目解析】|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|=（a+b-c）+（-b+a+c）=2a.
5. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如图所示，△ABC中，∠C=900，D、E是AC上两点，且
AE=DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A.BE是△ABD的中线 B.BD是△BCE的角平分线 C.∠1= ∠2= ∠3 D.BC是△ABE的高
【参考答案】C
6. [单选题] [三角形] [难度： ★★ ] 已知△ABC中，周长为12，b= (a+c)，则b为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【参考答案】B
【题目解析】依题意得a+b+c=12，又b= (a+c)，所以2b+b=3b=12,解得b=4.
7. [单选题] [三角形三边关系;等腰三角形的性质] [难度： ★★ ] 一边长为6cm，另一边长为12cm的等腰三角形有（
）
A.1个 B.2个 C.1个或2个 D.0个
【参考答案】A
【题目解析】由于6，6,12不能构成三角形，只有6,12,12可以构成等腰三角形.
8. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线
【参考答案】B
9. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 古代有一位商人有一块三角形土地，土地的一边靠水渠，如图所示，现在他想把这块土地平均分给他的三个儿子，为使土地灌溉方便，想使每个儿子分得的土地都有一边和水渠相邻.试 问应如何分割这块土地？请你说明理由。
【参考答案】
【题目解析】把线段BC三等分，三等分点为E，D，连接AE，AD，这样就把土地平分了。
10. [等腰三角形的性质;三角形三边关系] [难度： ★★ ] 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm两部分，求这个三角形的腰长。
【参考答案】14,14,5.
【题目解析】在△ABC中，AB=AC，BD为腰上的中线。设AD=x，BC=y，则AB=AC=2x，分以下两种情况讨论
而8，8，17不能构成三角形，14,14,5可以构成三角形。所以三边长分别为14,14,5.
11. [三角形] [难度： ★★ ] 已知AD是△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大2cm，若△ABC的周长为18cm，且
AC=4cm，求AB和BC的长．
【参考答案】AB=6cm，BC=8cm.
【题目解析】
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ABD的周长﹣△ACD的周长=2cm．
∴AB﹣AC=2cm． 又∵AC=4cm，
∴AB=6cm．
又∵AB+AC+BC=6+4+BC=18
即BC的长度是8m．
12. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，
h3，△ABC的高为h，若当点P在△ABC内，此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【参考答案】h1+h2+h3=h
【题目解析】连接AP,BP,CP
课后作业
1. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 若一个三角形的三条边长分别为5，2a﹣1，6，则偶数a的值可能是（
）
A．2 B．4 C．2，4 D．2，4，6
【参考答案】C
【题目解析】∵一个三角形的三条边长分别为5，2a﹣1，6，
∴2a﹣1>1， 2a-1<11 , 解得：1＜a＜6，
故整数a的值可能是：2，4．故选：C
2. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 一定在△ABC内部的线段是（ ）
A. 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B. 钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C. 任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D. 直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
【参考答案】A
【题目解析】
A. 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在△ABC内部，故本选项正确；
B. 钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部，故本选项错误；
C. 任意三角形的一条中线、二条角平分线都在三角形内部，但三条高不一定在三角形内部，故本选项错误；
D. 直角三角形的三条高有两条是直角边，不在三角形内部，故本选项错误． 故选A．
3. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于 一点； ④三条高必在三角形内．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【参考答案】B
4. [单选题] [三角形三边关系;非负数的性质：绝对值] [难度： ★★ ] a、b、c为三角形的三边长，化简
，结果是 （ ）
A.0 B. C. D.
【参考答案】A
【题目解析】
5. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E,若∠EDA=∠EAD, 试说明，AD是△ABC的角平分线.
【参考答案】 AD是△ABC的角平分线
【题目解析】
∵ DE∥AC ∴ ∠EDA=∠DAC 又∵∠EDA=∠EAD ∴ ∠EAD=∠DAC
∴ AD是△ABC的角平分线
6. [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D．试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系；
【参考答案】AB+BC+CA>2BD
【题目解析】
在△ABD中，AB+AD>BD， 在△CBD中，BC+DC>BD，
∴ AB+AD+BC+DC>BD 即AB+BC+CA>2BD
7. [三角形] [难度： ★★ ] 已知△ABC的周长是36cm，a、b、c是三边长，且a+b=2c,a:b=1:2,求△ABC的三边长.
【参考答案】a=8，b=16，
【题目解析】
设a=x，则b=2x，
由 解得 x=8
因此 a=8，b=16，
8. [等腰三角形的性质;三角形三边关系] [难度： ★★ ] 已知一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3：2，求这个三角形各边的长．
【参考答案】16,16,24或者21,21,14
【题目解析】
设两不等边分别为3x，2x，则分两种情况讨论.
若较长边为腰长，则 3x+3x+2x=56 解得 x=7,三边长为21,21,14，可以构成三角形。若较短边为腰长，则 3x+2x+2x=56 解得 x=8,三边长为16,16,24，可以构成三角形。
9. [等腰三角形的性质] [难度： ★★ ] 一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．
【参考答案】6cm,6cm,6cm
【题目解析】
设腰长为x，底边长为y，则
解得
由于6,6,6可以构成三角形，所以三边长为6cm,6cm,6cm.
10. [三角形三边关系;非负数的性质：绝对值] [难度： ★★ ] 已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣c
﹣a|﹣|c﹣a﹣b|．
【参考答案】a+c﹣b
11. [三角形] [难度： ★★ ] 如图，△ABC中（AB＞BC），AB=2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分， 求AB和BC的长．
【参考答案】AB=24，BC=14.
12. [图形的性质] [难度： ★★ ] 探究：如图，用钉子把木棒AB和BC、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来。
（1） 设橡皮筋AD的长度是x，若AB=5，CD=3，BC=11，求x的最大值和最小值。
（2） 在（1）的条件下要能围成一个四边形，你能求出橡皮筋 的取值范围吗？
【参考答案】
x的最大值是A向逆时针转到AB与BC共线,C向顺时针转到CD与BC共线此时最大值＝AB+BC+CD=19
最小值是A向顺时针转到AB与BC共线,C向逆时针转到CD与BC共线此时最大值＝BC-AB-CD=3
如果要围城一个四边形,x的取值范围：3
13. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，
h3，△ABC的高为h，若点P在△ABC外，此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由.
【参考答案】h1+h2-h3=h
【题目解析】连接AP,BP,CP
14. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 如图，E、D分别在AC、BC上，且AE:EC=2：3，BD:DC=1：2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积是22，求三角形ABC的面积。
【参考答案】45
15. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如图，请你在△ABC上画三条线段，把这个三角形分成面积相等的四部分，看谁的方法多？
【参考答案】
与三角形有关的线段（教师版）
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
与三角形有关的线段
课型
一对一
教学目标
1. 理解三角形及与三角形有关的概念，掌握它们的文字表述、符号语言表述及图形表述方法．
2. 掌握三角形三边关系的一个重要性质，进一步熟练方程的思想和分类讨论的思想．
3. 理解三角形的高、中线和角平分线的概念，掌握它们的性质．
4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．
重、难点
三角形三线的特征以及分类讨论思想的应用
课首沟通
与三角形有关的线段有哪些?怎样画出来？分别有什么性质？
知识导图
课首小测
1. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] （2016年校级期末试题） 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．11
【参考答案】A
【题目解析】因为3+7=10,7-3=4，所以第三边在4与10之间，选择A.
2. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] （2016年校级期中试题.） 若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣
4|+ =0，则c的值可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【参考答案】A
【题目解析】∵|a﹣4|+ =0，∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2； 则4﹣2＜c＜4+2，即2＜c＜6，5符合条件；故选A．
3. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年龙岗模拟试题.） 在△ABC中，∠C=90°，点
D，E分别是边AC，BC的中点，点F在△ABC内，连接DE，EF，FD．以下图形符合上述描述的是（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】C
4. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年校级期末试题.） 下面四个图形中，线段BE是
△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】D
5. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年校级期末试题.） 一定在△ABC内部的线段是（
）
A. 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B. 钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C. 任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D. 直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
【参考答案】A
【题目解析】
A. 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在△ABC内部，故本选项正确；
B. 钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部，故本选项错误；
C. 任意三角形的一条中线、二条角平分线都在三角形内部，但三条高不一定在三角形内部，故本选项错误；
D. 直角三角形的三条高有两条是直角边，不在三角形内部，故本选项错误． 故选A．
6. [单选题] [三角形的稳定性] [难度： ★★ ] 在建筑工地我们经常可看见如图所示用木条EF固定长方形门框ABCD的情形，这种做法根据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．长方形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
【参考答案】D
导学一 ： 三角形
知识点讲解 1：三角形定义及其分类
1. 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 要点：(1) 三条线段；(2) 不在同一直线上；(3) 首尾顺次相接．
2. 三角形的表示
通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、
BC、AC是三角形的三条边，顶点A所对的边BC还可用a表示；顶点B所对的边AC还可用b表示；顶点C所对的边AB还可用c表 示．∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．
3. 三角形的分类
例题
1. [三角形] [难度： ★★ ] 已知：如图，试回答下列问题：
（1） 图中有 个三角形，它们分别是 .
（2） 以线段AD为公共边的三角形是 .
（3） 线段CE所在的三角形是 ，CE边所对的角是
【参考答案】
（1） 6，△ABC，△ACD，△ADE，△ABD，△ACE，△ABE.
（2） △ACD，△ADE，△ABD.
（3） △ACE，∠CAE.
2. [单选题] [三角形] [难度： ★★ ] （2016年校级期末试题） 下列说法正确的是（ ）
A. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B. 一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C. 一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
【参考答案】D
【题目解析】
A. 一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；
B. 一个等腰三角形不一定是锐角三角形，或直角三角形，故本选项错误；
C. 一个直角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；
D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形，故本选项正确； 故选D．
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1. [三角形] [难度： ★★ ] 如图所示，
（1） 图中共有 个三角形，其中以线段BC为一边的三角形是 ．
（2） 在△ABD中，∠BAD的对边是 ，在△ABE中，∠ABE的对边是 ．
（3） AB既是 中∠ 的对边，又是△ 中∠ 的对边，还是△ 中∠ 的对边．
【参考答案】
（1）8，△BCE、△BCD、△ABC；
（2） BD，AE；
（3） ABE，AEB；ABD，ADB；ABC，ACB．
2. [单选题] [三角形] [难度： ★★ ] （2016年铁一期中试题） 下列说法正确的有（ ）
（1） 等腰三角形是等边三角形；
（2） 三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
（3） 等腰三角形至少有两边相等；
（4） 三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（2）（4）
【参考答案】C
知识点讲解 2：三角形三边关系
三角形三边关系定理
（1） 三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有： a+b>c， b+c>a， c+a>b．
（2） 三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有： b-c
1. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 下列各组线段能组成一个三角形的是( )．
A. 3cm，3cm，6cm B. 2cm，3cm，6cm
C. 5cm，8cm，12cm D. 4cm，7cm，11cm
【参考答案】C
【题目解析】
A. 3+3=6，不符合. B. 2+3<6，不符合. D. 4+7=11，不符合.
2. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是( )．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【参考答案】A
3. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 若三角形的两边长分别为3和5，则其周长C的取值范围是( )． A. 6＜C＜15 B.6＜C＜16
C.11＜C＜13 D.10＜C＜16
【参考答案】D
【题目解析】3+5=8,5-3=2，第三边是长度介于2与8之间，所以周长介于10与16之间，选择D.
4. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 若一个三角形的三条边长分别为3，2a﹣1，6，则整数a的值可能是（
）
A．2，3 B．3，4 C．2，3，4 D．3，4，5
【参考答案】B
【题目解析】由三角不等式知，3+6>2a-1，6-3<2a-1 ，解得 2
5. [单选题] [非负数的性质：绝对值;三角形三边关系] [难度： ★★ ] （2016年校级期中试题.） 已知△ABC的三边长a，b，c，化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果是（ ）
A．2a B．2b C．2a+2b D．2b﹣2c
【参考答案】A
【题目解析】∵△ABC的三边长a，b，c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|，
=（a+b﹣c）+（﹣b+a+c），
=2a，
【思维对话】
（一）常见的思维障碍：学生对绝对值的运算不熟练，不会去绝对值.
（二）突破思维障碍：
（1） 让学生再审题，让学生明确考点是三角形三边关系，其次把绝对值里面的式子进行组合，使得能用上三角形三边关系的不等式.
（2） 引导学生回顾绝对值的运算，并且要注意去绝对值的时候，要带小括号，最后再去括号。
【学有所获】正数数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，零的绝对值是 .
[学有所获答案]它本身，它的相反数，零.
6. [等腰三角形的性质;三角形三边关系] [难度： ★★ ] 等腰三角形ABC的两边长分别是5cm和10cm，求三角形ABC的周长。
【参考答案】25cm
【题目解析】
因为等腰三角形的两边分别为5和10，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论. 当5为底时，其它两边都为10，5、10、10可以构成三角形，周长为25cm，
当5为腰时，其它两边为5和10，5、5、10不可以构成三角形．
【学有所获】遇到等腰三角形的边长求解时，必须进行 ，确定腰与底.
[学有所获答案]分类讨论.
7. [三角形三边关系;等腰三角形的性质] [难度： ★★ ] 有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是
3cm，求三边的长．
【参考答案】5cm，5cm，2cm
【题目解析】
因为没有明确底边与腰的长度关系，所以有两种情况，需要分类讨论，同时还需要借助方程求解. 设腰长为x，底边长为y，则2x+y=12.
若腰比较长，则有x-y=3，此时有方程组
解得
由于5,5,2可以构成三角形，所以三边长为5cm,5cm,2cm. 若底边比较长，则有y-x=3，此时有方程组
解得
由于3,3,6不可以构成三角形，所以舍去.
【学有所获】已知周长求边长，可以设未知数，列方程组求解，熟练方程的思想.
8. [三角形三边关系;不等式的性质] [难度： ★★ ] 如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D．
（1） 试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系；
（2） 试探AB+AC与PB+PC的大小关系．
【参考答案】（1）AB+BC+CA＞2BD；（2）AB+AC＞PB+PC
【题目解析】
（1） ∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，BC+AD＞BD，
∴AB+AD+BC+AD＞2BD，
∴AB+BC+CA＞2BD；
（2） ∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，
∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC，
∴AB+AC＞PB+PC．
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1. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取( )．
A. 0.85m长的木条 B. 0.15m长的木条
C. 1m长的木条 D. 0.5m长的木条
【参考答案】D
2. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 已知三角形的三边分别为4，a，8，那么该三角形的周长c的取值范围是（ ）
A．4＜c＜12 B．12＜c＜24 C．8＜c＜24 D．16＜c＜24
【参考答案】D
3. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 设三角形三边之长分别为3，8，1﹣2a，则a的取值范围为（ ） A．﹣6＜a＜﹣3 B．﹣5＜a＜﹣2 C．﹣2＜a＜5 D．a＜﹣5或a＞2
【参考答案】B
4. [单选题] [三角形三边关系;非负数的性质：绝对值;非负数的性质：算术平方根] [难度： ★★ ] 已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足|a﹣6|+ =0，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（ ）
A．c＞8 B．8＜c＜14 C．6＜c＜8 D．2＜c＜14
【参考答案】B
【题目解析】由非负性质得，a=6，b=8，6+8=14，8-6=2，故选择B.
5. [单选题] [非负数的性质：绝对值;三角形三边关系] [难度： ★★ ] 若a，b，c是△ABC的三边，则化简|a﹣b﹣c|
﹣|b﹣a﹣c|的结果是（ ）
A．2a﹣2b B．2b﹣2a C．2c D．0
【参考答案】B
6. [三角形三边关系;非负数的性质：绝对值] [难度： ★★ ] 已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣ c|﹣|a﹣b+c|.
【参考答案】﹣a+3b﹣c
【题目解析】|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|
=（a+b﹣c）+（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）
=a+b﹣c﹣a+b+c﹣a+b﹣c
=﹣a+3b﹣c
故答案为：﹣a+3b﹣c．
7. [等腰三角形的性质;三角形三边关系] [难度： ★★ ] 已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．
【参考答案】20cm，22cm
【题目解析】
因为等腰三角形的两边分别为4和10，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论. 当8为底时，其它两边都为6，8、6、6可以构成三角形，周长为20cm，
当6为底时，其它两边都为8，6、8、8可以构成三角形，周长为22cm.
8. [三角形三边关系;不等式的性质] [难度： ★★ ] 如图，点O是△ABC内的一点，证明：
【参考答案】
【题目解析】证明：∵△ABO中，OA+OB＞AB，
同理，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC．
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，
∴
导学二 ： 与三角形有关的线段
知识点讲解 1：三角形的高，中线，角平分线
三角形的高
定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 垂心：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心. 位置：
锐角三角形的高均在三角形内部，垂心在三角形的内部；
钝角三角形的高线有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，垂心在三角形的外部；
直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，垂心就是直角顶点；
画法：画高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高； 注意：由于每一条边都对应一条高，因此可以通过等面积法求高.
2. 三角形的中线
定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线；
重心：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心； 位置：每个三角形都有三条中线并且都在三角形内部，重心也在三角形内部；
注意： 根据等底同高，面积相等的性质得知，三角形的中线平分了三角形的面积.
3. 三角形的角平分线
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线； 内心：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心 ；
位置：每个三角形都有三条角平分线并且都在三角形内部，内心也在三角形内部. 如下图，若AD是△ABC的角平分线，则 .
例题
1. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年八一期中试题.） 如图，下面的四个图形中， 线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】A
2. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
【参考答案】B
3. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如图，线段AD、AE、AF分别为△ABC的中线、角平分线和高线，能把△ABC分成两个面积相等的三角形的线段是（ ）
A．AD B．AE C．AF D．无
【参考答案】A
4. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 下列叙述中错误的一项是（ ）
A．三角形的中线、角平分线、高都是线段 B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部
C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形 D．三角形的三条角平分线都在三角形内部
【参考答案】C
5. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年校级月考试题） 如图：在△ABC中，AD、BE、CF是△ABC 的高，交点为H，则△AHC的三边上高分别为 ．
【参考答案】9cm
【题目解析】
【思维对话】
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．
∴AC﹣AB=5cm． 又∵AB+AC=13cm，
∴AC=9cm．
即AC的长度是9m．
（一）常见的思维障碍：学生不了解周长差有什么作用，想要设未知数求解，不知道怎么设..
（二）突破思维障碍：
（1） 让学生再审题，把周长是由哪些边组成的表示出来，即△ADC的周长=（AC+CD+AD）
△ABD的周长=（AB+BD+AD）
（2） 鼓励学生观察这两个式子有什么特征，会发现有相同线段AD，引导学生重新审题，有什么条件忽视了，会找到中线，从而CD与BD长度相同，因此周长差的作用就出来了，转化成AC与AB的差。
（3） 然后可以方程求解.
【学有所获】遇见周长差可以转化为边长差，化整为零。
6. [三角形的角平分线、中线和高;三角形三边关系] [难度： ★★ ] （2016年七中期末.） 如图，在△ABC中（AB＞
BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
【参考答案】AC=48，AB=28．
【题目解析】
∵AD是BC边上的中线，AC=2BC，
∴BD=CD，
设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，
分为两种情况：①AC+CD=60，AB+BD=40， 则4x+x=60，x+y=40，
解得：x=12，y=28， 即AC=4x=48，AB=28；
②AC+CD=40，AB+BD=60，
则4x+x=40，x+y=60，
解得：x=8，y=52，
即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，
此时不符合三角形三边关系定理； 综合上述：AC=48，AB=28．
【学有所获】中线把周长分成两部分，是不包括中线的长度.
7. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长．
【参考答案】3cm
【题目解析】
【学有所获】求高或者求边长的时候，等面积法是个不错的选择哦！
8. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，BH 是等腰三角形AC边上的高。猜想：PE、PF 和BH间具有怎样的数量关系？
【参考答案】PE+PF=BH
【题目解析】连接AP
9. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 如图，已知在△ABC中，BD:DC=3：1，AE:CE=1：2，S△ABC=48,求四边形ODCE的面积。
【参考答案】
【题目解析】连接OC
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1. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年校级期末） 如图，AE⊥BC于E，BF⊥AC于F，
CD⊥AB于D，则△ABC中AC边上的高是哪条垂线段（ ）
A.A E B．CD C．BF D．AF
【参考答案】C
2. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 下列说法错误的是（ ）
A. 锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部
C. 直角三角形只有一条高线
D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
【参考答案】C
3. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC 于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）
（1）AD是△ABE的角平分线； （2）BE是△ABD边AD上的中线；
（3）CH是△ACD边AD上的高； （4）AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【参考答案】B
4. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 在△ABC中∠C=90°，D、E为AC上的两点，且AE=DE，BD 平分∠EBC，则下列说法不正确的是（ ）
A.B C是△ABE的高 B．BE是△ABD的中线
C．BD是△EBC的角平分线 D．∠ABE=∠EBD=∠DBC
【参考答案】D
5. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12， 则AB﹣BC的长是 ．
【参考答案】9
6. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] （2016年校级月考） 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知
AB=7cm，AC=5cm，则△ABD和△ACD的周长差为 cm．
【参考答案】2．
【题目解析】
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD的周长差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，
∵AB=7cm，AC=5cm，
∴△ABD和△ACD的周长差=7﹣5=2cm． 故答案为：2．
7. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分别24和18两部分，求三角形三边的长．
【参考答案】16，16，10和12，12，18.
【题目解析】设AD=x，BC=y，则AB=AC=2x，分以下两种情况讨论
而16，16，10和12，12，18都可以构成三角形。所以三边长分别为16，16，10和12，12，18.
8. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12．求BC的长．
【参考答案】
【题目解析】由等面积法得
解得 BC=
9. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，
△ABC的高为h，若点
P在一边BC上，此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【参考答案】h1+h2=h
【题目解析】连接AP
导学三 ： 三角形的稳定性
知识点讲解 1
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性
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1. [单选题] [三角形的稳定性] [难度： ★★ ] 不是利用三角形稳定性的是( )
A.自行车的三角形车架 B.三角形房架 C.照相机的三角架 D.矩形门框的斜拉条
【参考答案】D
限时考场模拟 ： 20分钟完成
1. [单选题] [三角形三边关系;等腰三角形的性质] [难度： ★★ ] 一个等腰三角形的两边是7和3，则该三角形的周长是（ ）
A.17 B.13 C.17或13 D.7或3
【参考答案】A
【题目解析】若三边长为7,3,3，则不能构成三角形。因此只有7,7,3可以构成三角形，此时周长为17，选择A.
2. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 已知三角形的两边长分别是3和8，且第三边长是奇数，那么第三边的长度为（ ）
A.7或5 B.7 C.9 D.7或9
【参考答案】D
【题目解析】3+8=11,8-3=5,介于5与11之间的奇数为7或9，故答案为D.
3. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 三角形两边的长分别为4和5 ，则周长的范围是（ ）
A. B. C. D.无法确定
【参考答案】B
4. [单选题] [三角形三边关系;非负数的性质：绝对值] [难度： ★★ ] 已知△ABC的三边长a，b，c，化简|a+b﹣
c|+|b﹣a﹣c|的结果是（ ）
A．2a B．2b C．2a+2b D．2b﹣2c
【参考答案】A
【题目解析】|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|=（a+b-c）+（-b+a+c）=2a.
5. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如图所示，△ABC中，∠C=900，D、E是AC上两点，且
AE=DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A.BE是△ABD的中线 B.BD是△BCE的角平分线 C.∠1= ∠2= ∠3 D.BC是△ABE的高
【参考答案】C
6. [单选题] [三角形] [难度： ★★ ] 已知△ABC中，周长为12，b= (a+c)，则b为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【参考答案】B
【题目解析】依题意得a+b+c=12，又b= (a+c)，所以2b+b=3b=12,解得b=4.
7. [单选题] [三角形三边关系;等腰三角形的性质] [难度： ★★ ] 一边长为6cm，另一边长为12cm的等腰三角形有（
）
A.1个 B.2个 C.1个或2个 D.0个
【参考答案】A
【题目解析】由于6，6,12不能构成三角形，只有6,12,12可以构成等腰三角形.
8. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线
【参考答案】B
9. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 古代有一位商人有一块三角形土地，土地的一边靠水渠，如图所示，现在他想把这块土地平均分给他的三个儿子，为使土地灌溉方便，想使每个儿子分得的土地都有一边和水渠相邻.试 问应如何分割这块土地？请你说明理由。
【参考答案】
【题目解析】把线段BC三等分，三等分点为E，D，连接AE，AD，这样就把土地平分了。
10. [等腰三角形的性质;三角形三边关系] [难度： ★★ ] 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm两部分，求这个三角形的腰长。
【参考答案】14,14,5.
【题目解析】在△ABC中，AB=AC，BD为腰上的中线。设AD=x，BC=y，则AB=AC=2x，分以下两种情况讨论
而8，8，17不能构成三角形，14,14,5可以构成三角形。所以三边长分别为14,14,5.
11. [三角形] [难度： ★★ ] 已知AD是△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大2cm，若△ABC的周长为18cm，且
AC=4cm，求AB和BC的长．
【参考答案】AB=6cm，BC=8cm.
【题目解析】
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ABD的周长﹣△ACD的周长=2cm．
∴AB﹣AC=2cm． 又∵AC=4cm，
∴AB=6cm．
又∵AB+AC+BC=6+4+BC=18
即BC的长度是8m．
12. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，
h3，△ABC的高为h，若当点P在△ABC内，此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【参考答案】h1+h2+h3=h
【题目解析】连接AP,BP,CP
课后作业
1. [单选题] [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 若一个三角形的三条边长分别为5，2a﹣1，6，则偶数a的值可能是（
）
A．2 B．4 C．2，4 D．2，4，6
【参考答案】C
【题目解析】∵一个三角形的三条边长分别为5，2a﹣1，6，
∴2a﹣1>1， 2a-1<11 , 解得：1＜a＜6，
故整数a的值可能是：2，4．故选：C
2. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 一定在△ABC内部的线段是（ ）
A. 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B. 钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C. 任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D. 直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
【参考答案】A
【题目解析】
A. 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在△ABC内部，故本选项正确；
B. 钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部，故本选项错误；
C. 任意三角形的一条中线、二条角平分线都在三角形内部，但三条高不一定在三角形内部，故本选项错误；
D. 直角三角形的三条高有两条是直角边，不在三角形内部，故本选项错误． 故选A．
3. [单选题] [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于 一点； ④三条高必在三角形内．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【参考答案】B
4. [单选题] [三角形三边关系;非负数的性质：绝对值] [难度： ★★ ] a、b、c为三角形的三边长，化简
，结果是 （ ）
A.0 B. C. D.
【参考答案】A
【题目解析】
5. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E,若∠EDA=∠EAD, 试说明，AD是△ABC的角平分线.
【参考答案】 AD是△ABC的角平分线
【题目解析】
∵ DE∥AC ∴ ∠EDA=∠DAC 又∵∠EDA=∠EAD ∴ ∠EAD=∠DAC
∴ AD是△ABC的角平分线
6. [三角形三边关系] [难度： ★★ ] 如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D．试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系；
【参考答案】AB+BC+CA>2BD
【题目解析】
在△ABD中，AB+AD>BD， 在△CBD中，BC+DC>BD，
∴ AB+AD+BC+DC>BD 即AB+BC+CA>2BD
7. [三角形] [难度： ★★ ] 已知△ABC的周长是36cm，a、b、c是三边长，且a+b=2c,a:b=1:2,求△ABC的三边长.
【参考答案】a=8，b=16，
【题目解析】
设a=x，则b=2x，
由 解得 x=8
因此 a=8，b=16，
8. [等腰三角形的性质;三角形三边关系] [难度： ★★ ] 已知一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3：2，求这个三角形各边的长．
【参考答案】16,16,24或者21,21,14
【题目解析】
设两不等边分别为3x，2x，则分两种情况讨论.
若较长边为腰长，则 3x+3x+2x=56 解得 x=7,三边长为21,21,14，可以构成三角形。若较短边为腰长，则 3x+2x+2x=56 解得 x=8,三边长为16,16,24，可以构成三角形。
9. [等腰三角形的性质] [难度： ★★ ] 一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．
【参考答案】6cm,6cm,6cm
【题目解析】
设腰长为x，底边长为y，则
解得
由于6,6,6可以构成三角形，所以三边长为6cm,6cm,6cm.
10. [三角形三边关系;非负数的性质：绝对值] [难度： ★★ ] 已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣c
﹣a|﹣|c﹣a﹣b|．
【参考答案】a+c﹣b
11. [三角形] [难度： ★★ ] 如图，△ABC中（AB＞BC），AB=2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分， 求AB和BC的长．
【参考答案】AB=24，BC=14.
12. [图形的性质] [难度： ★★ ] 探究：如图，用钉子把木棒AB和BC、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来。
（1） 设橡皮筋AD的长度是x，若AB=5，CD=3，BC=11，求x的最大值和最小值。
（2） 在（1）的条件下要能围成一个四边形，你能求出橡皮筋 的取值范围吗？
【参考答案】
x的最大值是A向逆时针转到AB与BC共线,C向顺时针转到CD与BC共线此时最大值＝AB+BC+CD=19
最小值是A向顺时针转到AB与BC共线,C向逆时针转到CD与BC共线此时最大值＝BC-AB-CD=3
如果要围城一个四边形,x的取值范围：3
13. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，
h3，△ABC的高为h，若点P在△ABC外，此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由.
【参考答案】h1+h2-h3=h
【题目解析】连接AP,BP,CP
14. [三角形的面积] [难度： ★★ ] 如图，E、D分别在AC、BC上，且AE:EC=2：3，BD:DC=1：2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积是22，求三角形ABC的面积。
【参考答案】45
15. [三角形的角平分线、中线和高] [难度： ★★ ] 如图，请你在△ABC上画三条线段，把这个三角形分成面积相等的四部分，看谁的方法多？
【参考答案】
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