高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.2 复数的运算精品同步测试题

第14讲  复数的运算

知识点01  复数的加法和减法

1.复数的加法法则

设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的和(a+bi)+(c+di)=              。这就是复数的加法法则。两个复数的和仍是一个              。特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和。

【知识拓展】复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形：各复数的              分别相加，              分别相加。

2.复数加法的运算律

对任何z1，z2，z3∈C，有

①交换律：              ，

②结合律：              。

3.复数的减法法则

复数的减法是加法的              ，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x，y∈R)叫作复数a+bi(a，b∈R)减去复数c+di (c，d∈R)所得的差，记作( (a+bi)-( c+di)。

根据复数的加法法则和复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=              ，y=              ，所以x+yi=              ，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。这就是复数的减法法则。

两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别              。

【即学即练1】已知复数是纯虚数，则实数（    ）

A．0 B．2 C． D．

知识点02  复数的乘法运算

1.复数的乘法法则

设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积

(a+bi)(c+di)=              =              +              i。

两个复数的积仍是一个复数。特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积。

复数的乘法法则与多项式的乘法法则是类似的，只是在运算中要把i²换成              ，然后把实部与虚部分别合并。

【知识拓展】

（1）当z∈R时，有|z|²=z²；当z∈C时，有|z|²∈ R，而z²∈C，故|z|²和z²              进行比较。例如，当z=1-i时，|z|²=2，z²=-2i，此时2和-2i不能进行比较。

（2）z1z2=0的充要条件是              或              。依据复数的乘法运算可得 z1z2=0|z1z2|=0|z1||z2|=0z1=0或z2=0。

2.复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

(1)交换律：              ，

(2)结合律：              ，

(3)分配律：              。

【即学即练2】已知，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．7

知识点03  共轨复数、复数的乘方与除法运算

1.共轭复数的定义：我们把实部相等、虚部              的两个复数叫作互为共轭复数。复数z=a+bi的共轭复数记作即 

2.性质：当复数z=a+bi的虚部b=0时，。也就是说，实数的共轭复数是              。

3.复数的乘方：复数的乘方是相同复数的积。根据复数乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立。即对任何z，z1，z2∈C及m， 有

4.复数的除法：复数除法的法则：

两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个              。

在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成 的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di，化简后即得结果。这里分子、分母都乘分母的“              ”(共轭复数)，从而使分母“实数化”。

【知识拓展】

1.复数运算中的常用结论：

2.复数的四则运算

复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时把含有虚数单位i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简形式，两个复数相除，类似于根式分母有理化，这里是把分母实数化。

设 z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则

(1)加法：z1+z2=( a+bi)+(c+di)=              +              i；

(2)减法：z1-z2=( a+bi)-(c+di)=              +              i；

(3)乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=              +              i；

【即学即练3】定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【即学即练4】已知集合，则下列复数：①；②；③；④，其中属于集合M的为（    ）．

A．①②； B．①③； C．①④； D．①③④．

考法01  共轨复数的概念

【典例1】若，则z等于（    ）

A． B． C． D．

考法02  复数的加减乘除运算综合

【典例2】已知复数（i是虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．2

题组A  基础过关练

1．若,则（    ）

A． B．

C． D．

2．计算:等于（    ）

A． B．

C． D．

3．已知，其中i为虚数单位，则z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

4．已知，则=（    ）

A．3 B． C． D．2

5．函数是虚数单位的值域用集合表示为______．

6．已知复数，则的共轭复数为___________.

7．在复数范围内因式分解：______．

8．设a，，且a、b不同时为零，则______．

9．计算下列各题．

(1)；

(2).

10．已知复数，，其中为非零实数．

(1)若是实数，求的值；

(2)若，复数为纯虚数，求实数的值；

题组B  能力提升练

1．若是实系数一元二次方程的一个根，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．设复数，则（    ）

A． B． C． D．

3．方程有一个根为，求的值为（    ）

A．5 B．3 C．4 D．2

4．设是虚数单位，则的值为（    ）

A． B． C． D．0

5．且，______．（其中i是虚数单位）

6．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______.

7．计算：______．

8．设复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数为______．

9．已知复数．

(1)求z的共轭复数；

(2)若，求实数a，b的值．

10．已知关于的一元二次方程的两根为、．

(1)若为虚数，求的取值范围；

(2)若，求的值．

题组C  培优拔尖练

1．复数与（a，b，c，）的积是纯虚数，则（    ）

A．且 B．或

C．且 D．或

2．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（    ）

A．2 B． C． D．

3．已知下列命题：(1)“为实数”的充要条件是“”；(2)若，则；(3)；(4).在复数集中，上述命题正确的个数是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

4．下列关于复数的四个命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则的共轭复数的虚部为1

C．若，则的最大值为3

D．若复数，满足，，，则

5．下列命题中正确的是（    ）

A．若复数满足，则 B．若复数满足，则

C．若复数满足，则 D．若复数满足，则

6．以下4个式子：①；②；③；④，正确的是______（写出正确编号）．

7．设，为复数，有下列命题：

①如果，那么；    ②如果，那么；

③如果，那么；    ④如果，那么．

其中一定成立的是______（填代号）．

8．（1）已知，i是虚数单位，若，是纯虚数，写出一个以z为其中一根的实系数一元二次方程；

（2）求纯虚数的平方根．

9．已知z为虚数，为实数，且．

(1)求及z的实部的取值范围．

(2)设，那么u是不是纯虚数？请说明理由．

(3)求的最小值．

10．设复数，已知，且为纯虚数.

(1)求；

(2)若，且复数在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围.