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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课文配套ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课文配套ppt课件，共47页。PPT课件主要包含了目标认知，知识点一函数的零点，fx0，实数解，公共点的横坐标，有零点，x轴有公共点，fafb0，fc0，连续不断等内容，欢迎下载使用。
函数y=f(x)的零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使 的实数x叫作函数y=f(x)的 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)=x2-1的零点是±1.( )(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).( )(3)任何连续函数都有零点.( )
[解析] (1)令x2-1=0,解得x=±1,所以f(x)=x2-1的零点是±1.
[解析] (2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为x1,x2.
[解析] (3)如函数f(x)=1(x∈R)是无零点的.
2.(1)函数的“零点”是一个点吗?(2)函数y=x3+1有零点吗?函数y=x3+1(x∈[0,2])呢?
解:(1)不是,函数的“零点”是一个数,实际上是函数y=f(x)的图像与x轴的公共点的横坐标.
解:(2)函数y=x3+1的零点是-1,函数y=x3+1 (x∈[0,2])没有零点.
知识点二 函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的关系
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的 ,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的 ,所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x) ⇔函数y=f(x)的图像与 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)有零点,则方程f(x)=0必有实数解.( )(2)函数f(x)的零点是函数f(x)的图像与x轴的公共点.( )
知识点三 函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条 的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程 的解.
(2)若f(a)f(b)>0,则f(x)在(a,b)内无零点.( )(3)若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0.( )
[解析] (2)设函数f(x)=x2,x∈[-1,1],f(-1)f(1)>0,而f(x)在(-1,1)内有零点0.
[解析] (3)不一定.y=f(x)在x=a或x=b处可能无定义,即使有定义,也可能f(a)f(b)>0.如函数f(x)=(x-1)2在(0,2)内有零点,但f(0)f(2)>0.
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在(a,b)内的零点唯一吗?
解:不唯一.如f(x)=x3-x在区间[-2,2]上的图像是一条连续不断的曲线,且有f(2)·f(-2)<0,但f(x)在(-2,2)内有三个零点-1,0,1.
1.对函数零点概念的认识(1)函数零点是一个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图像上就是函数图像与x轴无交点.(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.若函数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.
2.函数f(x)在区间[a,b]上的零点可能出现的三种情况(1)有唯一零点,此时f(x)在[a,b]上的图像与x轴有唯一公共点.若f(x)在[a,b]上满足①图像是一条连续不断的曲线,②f(a)·f(b)<0,③f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[a,b]上有唯一零点.(2)有多个零点.若f(x)在[a,b]上满足情况(1)中的①②,且其图像与x轴多次相交,则f(x)在[a,b]上有多个零点.
(2)函数f(x)=x2-x-2的零点为 .
[解析] (2)令f(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2,所以函数f(x)的零点为-1,2.
(3)设函数f(x)=21-x-4,g(x)=1-lg2(x+3),则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为 .
(2)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则a= ,b= .
[解析] (2)因为函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根,所以2+3=-(-a),2×3=-b,所以a=5,b=-6.
(3)若函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是 .
[解析] (3)因为f(x)=ax-b的零点是3,所以f(3)=0,即3a-b=0,故b=3a,所以g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1),所以方程g(x)=0的两个根是-1和0,即函数g(x)的零点是-1和0.
[素养小结]函数零点的常用求法:(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.(2)几何法:与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
探究点二 探求零点所在区间
例2 (1)[2021·北京房山区高一期中] 函数f(x)=x3-x+5的零点所在的区间为( )A.(-3,-2)B.(-2,-1)C.(-1,0) D.(0,1)
[解析] (1)由函数f(x)=x3-x+5的图像(图略)可知f(x)只有1个零点,f(-3)=-27+3+5=-19<0,f(-2)=-8+2+5=-1<0,f(-1)=5>0,f(0)=5>0,f(1)=5>0, 因为f(-3)·f(-2)>0,f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)>0,f(0)·f(1)>0,所以函数f(x)=x3-x+5的零点所在的区间是(-2,-1).故选B.
(3)函数g(x)=2x+5x的零点所在的区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)
[解析] (3)易知函数g(x)=2x+5x在R上单调递增,∵g(-1)=2-1-5<0,g(0)=1>0,∴g(-1)·g(0)<0,∴函数g(x)=2x+5x的零点所在的区间是(-1,0),故选B.
[解析] (1)函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,由所给的表格可得f(e)≈1-1.1=-0.1<0,f(3)≈1.1-1=0.1>0,∴f(e)·f(3)<0,故函数f(x)的零点所在的区间为(e,3),故选C.
(2)[2021·福建厦门双十中学高一期中] 若a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在定理可知,在区间(a,b)和(b,c)内分别至少存在一个零点,又函数f(x)是二次函数,∴函数f(x)最多有两个零点,∴函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选C.
[素养小结]判断函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函数值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断.
探究点三 函数零点个数的有关问题
[探索] 你会判断函数零点的个数吗?怎样判断?
解:对于简单函数,可以通过解方程求根,从而得出函数零点的个数;若函数解析式较为复杂,可将问题转化为两个函数图像的交点个数问题来求解;还可以利用零点存在定理、函数的单调性解决.
角度一 判断函数零点个数
(2)函数f(x)=2x+lg(x+1)-2有 个零点.
[解析] (2)方法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,∴f(x)在(0,2)上必存在零点,又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上单调递增,∴函数f(x)有且仅有一个零点.方法二:如图,在同一直角坐标系中画出g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图像.由图知,g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图像有且仅有一个交点,即函数f(x)=2x+lg(x+1)-2有且仅有一个零点.
变式 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x3-2x(x≥0),则函数f(x)的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3
[素养小结]确定函数零点个数的方法:(1)分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题,一般采用分解因式法来解决.(2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数.(3)图像法:将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题,可用图像法解决.(4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.
角度二 由零点个数求参数
例4 (1)[2021·广西河池高一期末] 已知函数f(x)=|2x-1|+x2-a-1(a∈R),若函数f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围为( )A.(0,+∞)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,0)
[解析] (2)依题意,得函数y=f(x)的图像与直线y=-a恰有两个交点,作出函数y=f(x)的图像,如图所示,由图可知,若函数y=f(x)的图像与直线y=-a恰有两个交点,则0<-a≤1,即-1≤a<0.故选B.
变式 若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是 .
[解析] 令|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b,由题意可知函数y=|2x-2|与y=b的图像有两个交点,结合函数y=|2x-2|与y=b的图像(如图所示)可知0
1.应用函数零点存在定理应注意的问题(1)并非函数所有的零点都能用这种方法找到,如y=(x+1)2的零点就不能用这种方法找到.只有函数值在零点的左右两侧异号时,才能用这种方法.(2)利用该定理只能判断函数y=f(x)在区间(a,b)上零点的存在性,但不能确定其零点的个数.
例1 已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=lgn(mx+1)的零点.
[解析] 当a=1时,方程[f(x)]2-af(x)=0化为[f(x)]2-f(x)=0,即f(x)[f(x)-1]=0,解得f(x)=0或f(x)=1.方程f(x)=0有唯一的根x=1,方程f(x)=1的根可看作函数y=1与函数y=f(x)图像交点的横坐标,作出两函数的图像如图所示,
由图可知,两函数的图像有2个交点,故方程f(x)=1有2个实根,所以方程[f(x)]2-f(x)=0有3个实根.方程[f(x)]2-af(x)=0可化为f(x)[f(x)-a]=0,解得f(x)=0或f(x)=a.方程f(x)=0有唯一的根x=1,方程f(x)=a的根可看作函数y=a与函数y=f(x)图像交点的横坐标,作出两函数的图像如图所示,结合函数图像可知,当0
[解析] 函数有零点就是函数图像与x轴有公共点,故选BCD.
2.函数f(x)=-x2+5x-6的零点是( )A.(-2,3) B.2,3C.(2,3)D.-2,-3
[解析] 令-x2+5x-6=0,解得x=2或x=3,故函数f(x)的零点是2,3,故选B.
3.函数y=x2-bx+1只有一个零点,则b的值为( )A.2B.-2C.±2D.3
[解析] 函数只有一个零点,即方程x2-bx+1=0只有一个根,所以Δ=b2-4=0,所以b=±2.
4.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是( )A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)
[解析] f(x)在R上是增函数,∵f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)在(0,1)内有零点,故选C.
函数y=f(x)的零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使 的实数x叫作函数y=f(x)的 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)=x2-1的零点是±1.( )(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).( )(3)任何连续函数都有零点.( )
[解析] (1)令x2-1=0,解得x=±1,所以f(x)=x2-1的零点是±1.
[解析] (2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为x1,x2.
[解析] (3)如函数f(x)=1(x∈R)是无零点的.
2.(1)函数的“零点”是一个点吗?(2)函数y=x3+1有零点吗?函数y=x3+1(x∈[0,2])呢?
解:(1)不是,函数的“零点”是一个数,实际上是函数y=f(x)的图像与x轴的公共点的横坐标.
解:(2)函数y=x3+1的零点是-1,函数y=x3+1 (x∈[0,2])没有零点.
知识点二 函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的关系
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的 ,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的 ,所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x) ⇔函数y=f(x)的图像与 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)有零点,则方程f(x)=0必有实数解.( )(2)函数f(x)的零点是函数f(x)的图像与x轴的公共点.( )
知识点三 函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条 的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程 的解.
(2)若f(a)f(b)>0,则f(x)在(a,b)内无零点.( )(3)若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0.( )
[解析] (2)设函数f(x)=x2,x∈[-1,1],f(-1)f(1)>0,而f(x)在(-1,1)内有零点0.
[解析] (3)不一定.y=f(x)在x=a或x=b处可能无定义,即使有定义,也可能f(a)f(b)>0.如函数f(x)=(x-1)2在(0,2)内有零点,但f(0)f(2)>0.
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在(a,b)内的零点唯一吗?
解:不唯一.如f(x)=x3-x在区间[-2,2]上的图像是一条连续不断的曲线,且有f(2)·f(-2)<0,但f(x)在(-2,2)内有三个零点-1,0,1.
1.对函数零点概念的认识(1)函数零点是一个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图像上就是函数图像与x轴无交点.(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.若函数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.
2.函数f(x)在区间[a,b]上的零点可能出现的三种情况(1)有唯一零点,此时f(x)在[a,b]上的图像与x轴有唯一公共点.若f(x)在[a,b]上满足①图像是一条连续不断的曲线,②f(a)·f(b)<0,③f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[a,b]上有唯一零点.(2)有多个零点.若f(x)在[a,b]上满足情况(1)中的①②,且其图像与x轴多次相交,则f(x)在[a,b]上有多个零点.
(2)函数f(x)=x2-x-2的零点为 .
[解析] (2)令f(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2,所以函数f(x)的零点为-1,2.
(3)设函数f(x)=21-x-4,g(x)=1-lg2(x+3),则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为 .
(2)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则a= ,b= .
[解析] (2)因为函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根,所以2+3=-(-a),2×3=-b,所以a=5,b=-6.
(3)若函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是 .
[解析] (3)因为f(x)=ax-b的零点是3,所以f(3)=0,即3a-b=0,故b=3a,所以g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1),所以方程g(x)=0的两个根是-1和0,即函数g(x)的零点是-1和0.
[素养小结]函数零点的常用求法:(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.(2)几何法:与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
探究点二 探求零点所在区间
例2 (1)[2021·北京房山区高一期中] 函数f(x)=x3-x+5的零点所在的区间为( )A.(-3,-2)B.(-2,-1)C.(-1,0) D.(0,1)
[解析] (1)由函数f(x)=x3-x+5的图像(图略)可知f(x)只有1个零点,f(-3)=-27+3+5=-19<0,f(-2)=-8+2+5=-1<0,f(-1)=5>0,f(0)=5>0,f(1)=5>0, 因为f(-3)·f(-2)>0,f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)>0,f(0)·f(1)>0,所以函数f(x)=x3-x+5的零点所在的区间是(-2,-1).故选B.
(3)函数g(x)=2x+5x的零点所在的区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)
[解析] (3)易知函数g(x)=2x+5x在R上单调递增,∵g(-1)=2-1-5<0,g(0)=1>0,∴g(-1)·g(0)<0,∴函数g(x)=2x+5x的零点所在的区间是(-1,0),故选B.
[解析] (1)函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,由所给的表格可得f(e)≈1-1.1=-0.1<0,f(3)≈1.1-1=0.1>0,∴f(e)·f(3)<0,故函数f(x)的零点所在的区间为(e,3),故选C.
(2)[2021·福建厦门双十中学高一期中] 若a
[素养小结]判断函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函数值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断.
探究点三 函数零点个数的有关问题
[探索] 你会判断函数零点的个数吗?怎样判断?
解:对于简单函数,可以通过解方程求根,从而得出函数零点的个数;若函数解析式较为复杂,可将问题转化为两个函数图像的交点个数问题来求解;还可以利用零点存在定理、函数的单调性解决.
角度一 判断函数零点个数
(2)函数f(x)=2x+lg(x+1)-2有 个零点.
[解析] (2)方法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,∴f(x)在(0,2)上必存在零点,又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上单调递增,∴函数f(x)有且仅有一个零点.方法二:如图,在同一直角坐标系中画出g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图像.由图知,g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图像有且仅有一个交点,即函数f(x)=2x+lg(x+1)-2有且仅有一个零点.
变式 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x3-2x(x≥0),则函数f(x)的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3
[素养小结]确定函数零点个数的方法:(1)分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题,一般采用分解因式法来解决.(2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数.(3)图像法:将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题,可用图像法解决.(4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.
角度二 由零点个数求参数
例4 (1)[2021·广西河池高一期末] 已知函数f(x)=|2x-1|+x2-a-1(a∈R),若函数f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围为( )A.(0,+∞)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,0)
[解析] (2)依题意,得函数y=f(x)的图像与直线y=-a恰有两个交点,作出函数y=f(x)的图像,如图所示,由图可知,若函数y=f(x)的图像与直线y=-a恰有两个交点,则0<-a≤1,即-1≤a<0.故选B.
变式 若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是 .
[解析] 令|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b,由题意可知函数y=|2x-2|与y=b的图像有两个交点,结合函数y=|2x-2|与y=b的图像(如图所示)可知0
1.应用函数零点存在定理应注意的问题(1)并非函数所有的零点都能用这种方法找到,如y=(x+1)2的零点就不能用这种方法找到.只有函数值在零点的左右两侧异号时,才能用这种方法.(2)利用该定理只能判断函数y=f(x)在区间(a,b)上零点的存在性,但不能确定其零点的个数.
例1 已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=lgn(mx+1)的零点.
[解析] 当a=1时,方程[f(x)]2-af(x)=0化为[f(x)]2-f(x)=0,即f(x)[f(x)-1]=0,解得f(x)=0或f(x)=1.方程f(x)=0有唯一的根x=1,方程f(x)=1的根可看作函数y=1与函数y=f(x)图像交点的横坐标,作出两函数的图像如图所示,
由图可知,两函数的图像有2个交点,故方程f(x)=1有2个实根,所以方程[f(x)]2-f(x)=0有3个实根.方程[f(x)]2-af(x)=0可化为f(x)[f(x)-a]=0,解得f(x)=0或f(x)=a.方程f(x)=0有唯一的根x=1,方程f(x)=a的根可看作函数y=a与函数y=f(x)图像交点的横坐标,作出两函数的图像如图所示,结合函数图像可知,当0
[解析] 函数有零点就是函数图像与x轴有公共点,故选BCD.
2.函数f(x)=-x2+5x-6的零点是( )A.(-2,3) B.2,3C.(2,3)D.-2,-3
[解析] 令-x2+5x-6=0,解得x=2或x=3,故函数f(x)的零点是2,3,故选B.
3.函数y=x2-bx+1只有一个零点,则b的值为( )A.2B.-2C.±2D.3
[解析] 函数只有一个零点,即方程x2-bx+1=0只有一个根,所以Δ=b2-4=0,所以b=±2.
4.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是( )A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)
[解析] f(x)在R上是增函数,∵f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)在(0,1)内有零点,故选C.
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