高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.3 球的表面积和体积同步训练题

6.3　球的表面积和体积

课后训练巩固提升

1.两个半径为1的铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径为(　　).

A.2 B. 

C. D.

解析:设熔化后的球的半径为R,则其体积是原来小球的体积的2倍,即V=πR3=2×π×13,得R=.

答案:C

2.设三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直,且长度分别为2,3,1,如图,若点P,A,B,C都在同一个球面上,则该球的表面积为(　　).

(第2题)

A.49π B.196π 

C.14π D.28π

解析:以PA,PB,PC为棱构造一个长方体,这个球就是长方体的外接球,

所以该球半径R=.所以该球的表面积S=4πR2=4π×=14π.故选C.

答案:C

3.阿基米德是伟大的古希腊数学家,他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切),球的体积是圆柱体积的三分之二,球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型,其圆柱表面积为24π,则该模型中球的体积为(　　).

A.π B.4π C.8π D.π

解析:由题可知球的表面积为圆柱表面积的三分之二,设球的半径为R,

则S=×24π=16π=4πR2,∴R=2,

∴V=πR3=π.

答案:A

4.一平面截一球得到直径是6 cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4 cm,则该球的体积是(　　).

A. cm3 B. cm3

C. cm3 D. cm3

解析:根据球的截面的性质,得球的半径R==5(cm),所以V球=πR3=(cm3).

答案:C

5.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为(　　).

(第5题)

A. B. C. D.

解析:折起后的几何体是一个所有棱长都为1的三棱锥P-CDE,该三棱锥可以看作由棱长为的正方体的六个面的对角线围成,则该正方体的体对角线长等于三棱锥P-DCE外接球的直径.

我们容易求得该三棱锥外接球的半径为,所以外接球的体积V=.

答案:C

6.已知正方体的体对角线长等于2 cm,它的顶点中有4个在半球O的底面上,另外4个在半球O的表面上,那么半球O的体积为　　　　　 cm3.(结果保留π) 

解析:设此正方体为ABCD-A1B1C1D1,过正方体的体对角线A1C作截面,如答图所示.

(第6题答图)

设半球O的半径为R.由题意知A1C=2cm.

又AC2+A=A1C2,其中AC=AA1,∴3A=12,∴A1A=2cm,AC=2cm.

连接A1O,则A1O=R=(cm).

∴半球O的体积V=πR3=π×()3=4π(cm3).

答案:4π

7.某组合体的直观图如图,它的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.

(第7题)

解:该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,

该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=8,AA1=6.

(1)求三棱锥D1-ABC的体积;

(2)在三棱柱ABC-A1B1C1内放一个体积为V的球,求V的最大值.

解:(1)如答图,由长方体的几何特征知,点D1到平面ABC的距离为DD1=AA1=6,

又S△ABC=AB·BC=24,所以S△ABC·DD1=×24×6=48.

(第8题答图)

(2)设球的半径为R,若该球与三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面均相切,则R等于△ABC的内切圆的半径,所以R(AB+AC+BC)=24,又AB+AC+BC=6+10+8=24,此时R=2.若该球与三棱柱ABC-A1B1C1的上下底面均相切,此时2R=AA1=6,R=3.

所以在三棱柱ABC-A1B1C1内放一个体积为V的球,该球半径最大为2,Vmax=π×23=.