高中北师大版 (2019)5.1 直线与平面垂直复习练习题

§5　垂直关系

5.1　直线与平面垂直

课后训练巩固提升

1.直线a和b分别在正方体ABCD-A1B1C1D1中的两个不同平面内,下列使a∥b成立的条件个数是(　　).

①a和b垂直于正方体的同一个平面;

②a和b在正方体两个相对的面内,且共面;

③a和b平行于同一条棱;

④a和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:①②③一定能使a∥b成立,④不一定使a∥b成立,例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥AB,BC⊥AB,显然AA1与BC不平行.

答案:C

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1B1C1D1,则有(　　).

A.BB1⊥l  B.BB1∥l

C.BB1与l异面  D.BB1与l相交

解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,显然有BB1⊥平面A1B1C1D1,又l⊥平面A1B1C1D1,直线l与直线BB1不重合,所以BB1∥l,故选B.

答案:B

3.(多选题)如图,在四棱锥E-ABCD中,△CDE是边长为2的正三角形,N为正方形ABCD的中心,M为DE的中点,BC⊥DE,则下列结论正确的是(　　).

(第3题)

A.直线BM与EN是异面直线

B.线段BM与EN的长度不相等

C.直线DE⊥平面ACM

D.直线EA与平面ABCD所成角的正弦值为

解析:对于A,连接BD,易知BM⊂平面BDE,EN⊂平面BDE,

∴直线BM和EN共面,故A错误.

对于B,如答图,设CD的中点为F,连接EF,FN,则EF⊥CD.

(第3题答图)

∵BC⊥CD,BC⊥DE,CD∩DE=D,

∴BC⊥平面CDE,

∴BC⊥EF,BC⊥CM.

又EF⊥CD,BC∩CD=C,

∴EF⊥平面ABCD.

又FN⊂平面ABCD,

∴EF⊥FN.

∵F,N分别为CD,BD的中点,

∴FN=BC=1.

又EF=,CM=,∴EN==2,BM=,BM≠EN,故B正确.

对于C,∵BC⊥平面CDE,

∴AD⊥平面CDE,

∴AD⊥DE,∴DE⊥AM不成立,∴直线DE⊥平面ACM不成立,故C错误.

对于D,∵EF⊥平面ABCD,∴EA与平面ABCD所成的角为∠EAF,∴sin∠EAF=,故D正确.

答案:BD

4.如图,AB是☉O的直径,PA⊥☉O所在的平面,C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则点B到平面PAC的距离为　　　　　. 

(第4题)

解析:如答图,连接BC.

(第4题答图)

因为C为圆周上的一点,AB为直径,所以BC⊥AC.

又因为PA⊥☉O所在的平面,BC⊂☉O所在的平面,所以PA⊥BC.

又因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,C为垂足,所以BC即为点B到平面PAC的距离.在Rt△ABC中,BC=(cm).

答案: cm

5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面是边长为2的菱形,且∠ABC=45°,PA=AB,则直线AP与平面PBC所成角的正切值为　　　　　. 

(第5题)

解析:作AE⊥BC于点E,则BC⊥平面PAE,可知点A在平面PBC上的投影在直线PE上,

(第5题答图)

故∠APE即为所求的角.在Rt△ABE中,AE=ABsin45°=,

∴tan∠APE=.

答案:

6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点.

(第6题)

(1)求证:MN⊥平面A1BC;

(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小.

(1)证明如答图所示,

(第6题答图)

由已知BC⊥AC,BC⊥CC1,AC∩CC1=C,AC⊂平面ACC1A1,CC1⊂平面ACC1A1,得BC⊥平面ACC1A1.

连接AC1,则BC⊥AC1.

因为侧面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C=C,BC,A1C⊂平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC.

因为侧面ABB1A1是矩形,M是A1B的中点,连接AB1,所以AB1经过点M,且M是AB1的中点.

又N是B1C1的中点,所以MN是△AB1C1的中位线.所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.

(2)解由(1)知AC1⊥平面A1BC.

设AC1与A1C相交于点D,连接BD,

则∠C1BD即为直线BC1与平面A1BC所成的角.

设AC=BC=CC1=a,

则C1D=a,BC1=a.

在Rt△BDC1中,sin∠C1BD=,

所以∠C1BD=30°,

故直线BC1与平面A1BC所成的角为30°.