数学必修 第二册6.3 球的表面积和体积随堂练习题

第六章　6.3

A　组·素养自测

一、选择题

1．如果两个球的体积之比为827，那么两个球的表面积之比为(　C　)

A．827　 B．23

C．49 D．29

[解析]　设这两个球的半径分别是r，R，则＝，所以＝.则两个球的表面积之比为＝2＝.

2．圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是(　D　)

A．65 B．54

C．43 D．32

[解析]　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，母线长为2R，则圆柱的表面积为2πR2＋2πR×2R＝6πR2，球的表面积为4πR2，所以圆柱的表面积与球的表面积的比是6πR24πR2＝32.

3．正方体的全面积为54，则它的外接球的表面积为(　A　)

A．27π B．π

C．36π D．π

[解析]　S正＝54，∴边长a＝3,2R＝3，

∴S球＝4πR2＝π(2R)2＝π×(3)2＝27π.

4．一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是(　B　)

A．12π cm3 B．36π cm3

C．64π cm3 D．108π cm3

[解析]　设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，图略．

在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，

∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，

∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．

5．球面上四点P，A，B，C，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则球的表面积为(　B　)

A．2πa2 B．3πa2

C．4πa2 D．6πa2

[解析]　可将PA、PB、PC作为正方体从同一点引出的三条棱，则正方体的对角线长为正方体外接球的直径．

∴有a＝2R，∴R＝a，∴S＝4πR2＝3πa2.

二、填空题

6．一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为  .

[解析]　由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为.

7．有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为 2πa2 .

[解析]　气球表面积最大时，气球的直径等于正方体侧面的对角线长a，则此时气球的半径r＝a，则表面积为4πr2＝4π×2＝2πa2.

8．已知H是球O的直径AB上一点，AHHB＝12，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 π .

[解析]　本题考查球的表面积计算．结合图形利用截面与大圆构成的直角三角形，由勾股定理求解．

如图设球O半径为R，则BH＝R，OH＝，截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－2＝1，R2＝，S球＝4πR2＝π.

三、解答题

9．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.

(1)求圆锥体的高；

(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．

[解析]　(1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝＝＝8(cm)．

(2)球放入圆锥体后的轴切面如图所示，设球的半径为r，

由△OCD∽△ACO1得＝.

∴＝，解得r＝3.

圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即

V锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　C　)

A．36π B．64π

C．144π D．256π

[解析]　如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π，故选C．

2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为(　A　)

A．16π B．20π

C．24π D．32π

[解析]　设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A．

3．如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为(　C　)

A．7π cm2 B．8π cm2

C．9π cm2 D．11π cm2

[解析]　由题图知该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，圆柱的底面直径与半球的直径均为2 cm，圆柱的高为3 cm，故圆柱一个底面的面积为π×2＝π(cm2)，圆柱的侧面积为2×π×3＝6π(cm2)，半球面面积为×4×π×2＝2π(cm2)，故该几何体的表面积为S＝π＋6π＋2π＝9π(cm2)．

4．(多选)我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则对半球的说法正确的是(　ABC　)

A．半径是3 B．体积为18π

C．表面积为27π D．表面积为18π

[解析]　设球的半径为R，则××(2R)2×R＝18，解得R＝3，故半球的体积为×π×33＝18π.

半球的表面积为S＝×4π×32＋π×32＝27π.故选ABC．

二、填空题

5．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为  .

[解析]　本题主要考查了球、球的截面问题，同时考查了学生解决实际问题的能力．

依据题意画出示意图：

设球半径R，圆锥底面半径r，则

πr2＝·4πR2，

即r2＝R2，在Rt△OO1C中，由OC2＝OO＋O1C2得OO1＝R.

所以，高的比为.

6．在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠ABC＝90°，则该三棱锥的外接球的表面积为 5π ，该三棱锥的体积的最大值为  .

[解析]　

因为在三棱锥A－BCD中AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠ABC＝90°，所以AC＝＝，

取AC中点O，连接OB，OD，

则OA＝OB＝OC＝OD＝，

所以三棱锥A－BCD的外接球的球心为O，球半径r＝，所以三棱锥A－BCD的外接球的表面积S＝4πr2＝4×π×＝5π.

当平面ADC⊥平面ABC时，三棱锥A－BCD的体积最大，设D到平面ABC的距离为h，

则×AD×DC＝×AC×h，

解得h＝＝＝.

所以该三棱锥的体积最大值为：

V＝×S△ABC×h＝××AB×BC×h

＝××1×2×＝.

三、解答题

7．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1，S2，S3，试比较它们的大小．

[解析]　设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.

由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，

∴R＝a，r＝a，

∴S2＝4π2＝4π·a2＝a2，

S3＝6π2＝6π·a2＝a2，

∴S2<S3.

又6a2>3a2＝a2，即S1>S3.

∴S1，S2，S3的大小关系是S2<S3<S1．

8．设四面体的各条棱长都为1，若该四面体的各个顶点都在同一个球的球面上，求球的表面积．

[解析]　

如图，由已知四面体的各条棱长都为1，得各个面都是边长为1的正三角形，过A作AO⊥平面BCD于O，连接BO.在Rt△AOB中，

AB＝1，BO＝×＝，

所以AO＝＝.

设球的半径为R，球心为O1，则O1在线段AO上，OO1＝AO－R＝－R，O1B＝R，BO＝，

在Rt△O1OB中，O1B2＝OB2＋OO，

即R2＝2＋2，解得R＝.

所以球的表面积为S＝4πR2＝.