高中6.3 球的表面积和体积随堂练习题

第六章　立体几何初步

6.3　球的表面积和体积

基础过关练

题组一　球的体积和表面积

1.(2020广东广州高一期末)如图,扇形OAB的圆心角为90°,半径为1,则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为(　　)

A. B.2π C.3π D.4π

2.若球的体积是,则此球的表面积是(　　)

A.12π B.16π C. D.

3.若过球的球心的圆面的周长是C,则这个球的表面积是　(　　)

A. B. C. D.2πC2

4.若三个球的表面积之比为1∶4∶9,则这三个球的体积之比为　　　　　. 

5.(2020四川重庆一中高二检测)如图,某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6  cm,圆柱高为2  cm.

(1)这种“浮球”的体积是多少?

(2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?

题组二　球的截面问题

6.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为(　　)

A. B. C.8π D.

7.(2020湖南长沙长郡中学高一期中)一个平面截一球得到直径为6的圆面,球心O到这个圆面的距离为4,则这个球的体积为(　　)

A. B. C. D.

8.球O的一个截面圆的圆心为M,圆M的半径为,OM的长度为球O的半径的一半,求球O的表面积.

题组三　球的切、接问题

9.(2020江苏南京高一期中)正方体的表面积与其外接球的表面积之比为(　　)

A.1∶2 B.2∶π C.π∶2 D.1∶3

10.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(　　)

A.π B. C. D.

11.(2019北师大附中高一期末)长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,求这个球的表面积.

能力提升练

题组一　球的表面积和体积

1.()已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为　　(　　)

A.16π B.20π C.24π D.32π

2.()等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是(　　)

A.S正方体>S球 B.S正方体<S球

C.S正方体=S球 D.无法确定

3.(2020江西抚州高一期末,)如图,用一边长为的正方形硬纸,沿各边中点连线所在直线垂直折起4个小直角三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为　(　　)

A.+ B.

C.+ D.+

4.()圆柱形玻璃容器内盛有高度为8  cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是　　　　cm. 

5.()如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为旋转轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积.(其中∠BAC=30°)

题组二　球的截面问题

6.(2020河北衡水武邑中学二模,)球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,点M为棱DD1的中点,则平面ACM截球O所得截面圆的面积为(　　)

A. B.π C. D.

7.(2020安徽高考模拟,)已知A,B,C三点在球O的表面上,AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC的距离等于球半径的,求球O的表面积.

题组三　球的切、接问题

8.(2020陕西榆林高三模拟,)已知正四面体ABCD的外接球体积为8π,则这个四面体的表面积为(　　)

A.18 B.16 C.14 D.12

9.(2020湖南长沙雅礼中学高一期中,)若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球表面积之比为(　　)

A.3∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.6∶1

10.()有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.

6.3　球的表面积和体积

基础过关练

1.C　由题可得,以OB所在直线为轴旋转一周所得的几何体是一个半球,其中半球的半径r=1,故半球的表面积为2πr2+πr2=2π+π=3π.故选C.

2.B　设球的半径为R,则由已知得πR3=,解得R=2.故球的表面积为4πR2=16π.

3.C　设过球心的圆面的半径为R,则球的半径为R.由2πR=C,得R=,∴球的表面积S=4πR2=.故选C.

4.答案　1∶8∶27

解析　设三个球的半径分别为R1,R2,R3,体积分别为V1,V2,V3,∵三个球的表面积之比为1∶4∶9,

∴4π∶4π∶4π=1∶4∶9,

即∶∶=1∶4∶9,

∴R1∶R2∶R3=1∶2∶3,

∴∶∶=1∶8∶27,

∴V1∶V2∶V3=π∶π∶π=∶∶=1∶8∶27.

5.解析　(1)因为半球的直径是6  cm,所以半径R=3  cm,所以两个半球的体积之和为V球=πR3=36π(cm3).

又V圆柱=πR2×2=18π(cm3),

所以这种“浮球”的体积V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3).

(2)根据题意,上、下两个半球的表面积之和是S球=4πR2=36π(cm2),

又S圆柱侧=2πR×2=12π(cm2),

所以1个“浮球”的表面积S=S球+S圆柱侧=36π+12π=48π(cm2).

所以2 500个“浮球”的表面积为2 500S=2 500×48π=120 000π(cm2)=12π(m2).

所以共需胶100×12π=1 200π(克).

6.C　设球的半径为R,则截面圆的半径为,∴截面圆的面积S=π()2=(R2-1)π=π,∴R2=2.

∴球的表面积为4πR2=8π.故选C.

7.C　如图,设截面圆的圆心为O',由题意可知,圆面的直径为6,则O'A=3,

又OO'=4,∴球的半径R=OA=5,

∴球的体积V=πR3=,故选C.

8.解析　如图所示,由题意知AM=.

设球O的半径为R,则OM=R,OA=R.在Rt△OMA中,有R2+3=R2,解得R=2,所以球O的表面积为4π×22=16π.

9.B　设正方体的棱长为1,正方体外接球的半径为R,则由正方体的体对角线就是外接球的直径,可知2R=,即R=,所以外接球的表面积为4πR2=3π.

所以正方体的表面积与其外接球的表面积之比为6∶3π=2∶π.

10.B　设圆柱的底面半径为r,则r2+=12,解得r=,

∴V圆柱=π××1=,故选B.

11.解析　长方体的体对角线是长方体外接球的直径,设球的半径为R,则(2R)2=32+42+52=50,可得R2=,所以球的表面积为4πR2=50π.

能力提升练

1.A　设正四棱锥的高为h,底面边长为a,则h=3,由V=a2h=6,得a=,则底面正方形的对角线长为2.由题意知,球心在正四棱锥的高上,设球的半径为r,则(3-r)2+()2=r2,解得r=2,故S球=4πr2=16π.故选A.

2.A　设正方体的棱长为a,球的半径为R.

由题意得V=πR3=a3,所以a=,R=.所以S正方体=6a2=,S球=4πR2=,所以S正方体>S球.

3.D　由题意,可得蛋巢的底面是边长为1的正方形,则经过4个小直角三角形的顶点截鸡蛋(球)所得的截面圆的直径为1.因为鸡蛋的体积为 ,所以鸡蛋的半径为1,所以球心到截面圆的距离为=,因为垂直折起的4个小直角三角形的高为,所以鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为+1+=+.故选D.

4.答案　4

解析　设球的半径为r  cm,则由题意可得3V球+V水=V圆柱,即3×πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4.故球的半径是4  cm.

5.解析　所得几何体如图所示,

过点C作CO1⊥AB于点O1.

在半圆中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,

∴AC=R,BC=R,CO1=R,

∴=π×R×R=πR2,

=π×R×R=πR2,

又S球=4πR2,

∴S几何体表=S球++

=4πR2+πR2+πR2=πR2.

故所得几何体的表面积为πR2.

6.D　易知球O的半径为1,设球心到截面的距离为d,截面圆的半径为r,连接OA,OC,OM,则VO-ACM=VM-AOC,即S△ACM·d=S△AOC,易得S△ACM=,S△AOC=,

∴d=.又d2+r2=1,∴r=,

∴截面圆的面积为π×=.故选D.

7.解析　设球的半径为R,O'为△ABC的外心,其外接圆的半径为r,则r=,

∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的,∴R2-R2=,解得R2=.

∴球的表面积S=4πR2=4π×=6π.

8.B　将正四面体ABCD放在一个正方体内,如图所示,

设正方体的棱长为a,正四面体ABCD的外接球的半径为R,

则 =8π,解得R=.因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球,所以a=2R=2,所以a=2.而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长,所以正四面体ABCD的棱长为a=×2=4,因此这个正四面体的表面积为4××42=16.故选B.

9.C　设正三棱柱底面正三角形的边长为a,则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半径,则内切球的半径r内=a,正三棱柱的高h=2r内=a.

设正三角形的外接圆半径为R,易得R=a,所以外接球的半径r外===a.

所以它的外接球与内切球表面积之比为∶=5∶1.

10.解析　设正方体的棱长为a,这三个球的半径分别为r1,r2,r3,三个球的表面积分别为S1,S2,S3.

(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过四个切点及球心作截面,如图①所示,有2r1=a,

所以r1=,

所以S1=4π=πa2.

(2)球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点,取正方体的对角面,

如图②所示,有2r2=a,

所以r2=a,

所以S2=4π=2πa2.

(3)正方体的各个顶点在球面上,

取正方体的对角面,

如图③所示,有2r3=a,

所以r3=a,

所以S3=4π=3πa2.

综上可得,S1∶S2∶S3=1∶2∶3.

图①

图②

图③