北师大版 (2019)必修 第二册4.2 平面与平面平行巩固练习

4.2　平面与平面平行

课后训练巩固提升

1.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,下列推理正确的是(　　).

A.若α与β相交,a⊂α,b⊂β,则a与b一定相交

B.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β

C.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β

D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b

解析:A错误,a与b,可能平行可能相交也可能是异面直线;由平面与平面平行的判定定理,知B,C错误;由平面与平面平行的性质定理,知D正确.

答案:D

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是(　　).

A.AD1∥平面EFGH

B.BD1∥GH

C.BD∥EF

D.平面EFGH∥平面A1BCD1

解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点.

对于A,若AD1∥平面EFGH,因为AD1∥BC1,所以BC1应在平面EFGH内或BC1∥平面EFGH,但BC1与FG相交,

故AD1不平行于平面EFGH,故A错误;

对于B,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,

故BD1不可能平行于GH,故B错误;

对于C,BD∩A1B=B,A1B∥EF,

故BD与EF不可能平行,故C错误;

对于D,EF∥A1B,从而A1B∥平面EFGH,同理可证,BC∥平面EFGH,又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BCD1,BC⊂平面A1BCD1,

所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.

答案:D

3.(多选题)已知直线a,b与平面β,γ,下列说法不正确的有(　　).

A.若a∥β,a⊂γ,β∩γ=b,则a∥b

B.若a∥β,b∥β,则a∥b

C.若a与b为异面直线,且a∥β,a∥γ,b∥β,b∥γ,则β∥γ

D.若a∥b,b∥γ,则a∥γ

解析:对于A,a∥β,a⊂γ,β∩γ=b,则a∥b,故A正确.

对于B,a∥β,b∥β,则a,b可以平行、相交或异面,故B错误.

对于C,a与b为异面直线,且a∥β,a∥γ,b∥β,b∥γ,则β∥γ,故C正确.

对于D,若a∥b,b∥γ,则a∥γ或a⊂γ,故D错误.

故选BD.

答案:BD

4.如图,在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为线段A1B,B1C上的动点,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有(　　).

(第4题)

A.1条 B.2条 

C.3条 D.无数条

解析:如答图,任取线段A1B上一点M,过点M作MH∥AA1,交AB于点H,过点H作HG∥AC交BC于点G,过点G作CC1的平行线,与CB1一定有交点N,连接MN,

(第4题答图)

因为MH∥AA1,NG∥CC1,AA1∥CC1,

所以MH∥NG,

从而点M,H,G,N确定一个平面MHGN,

则平面MHGN∥平面ACC1A1,从而MN∥平面ACC1A1,故这样的MN有无数条.

答案:D

5.已知α∥β,AC⊂α,BD⊂β,AB=6,AB∥CD,则CD=　　　　　. 

解析:如答图,∵AB∥CD,

(第5题答图)

∴A,B,C,D四点共面.

又α∥β,α∩平面ABDC=AC,β∩平面ABDC=BD,∴AC∥BD.

∴四边形ABDC为平行四边形,∴AB=CD=6.

答案:6

6.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱C1C,C1D1,D1D,DC的中点,点M在四边形EFGH上及其内部运动,则点M只需满足条件　　　　　时,就有MN∥平面B1BDD1,其中N是BC的中点.(填上一个正确的条件即可,不必考虑全部可能的情况) 

(第6题)

解析:连接FH,HN,FN(图略).因为平面FHN∥平面B1BDD1,若M∈FH,则MN⊂平面FHN,所以MN∥平面B1BDD1.

答案:M∈FH

7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=120°,AB=AC=AA1=1,D为B1C1的中点,点E,F,G分别在线段AB,AC,AD上,且BE=CF=AG.

(第7题)

(1)求证:EF∥平面BCC1B1.

(2)是否存在满足题意的点E,F,G,使得平面EFG∥平面BCC1B1?若存在,说明理由并求出此时线段EF的长度;若不存在,说明原因.

(1)证明因为BE=CF,AB=AC,

所以AE=AF.

所以AE∶EB=AF∶FC.

因为点A,B,C,E,F共面,

所以EF∥BC.

又因为BC⊂平面BCC1B1,EF⊄平面BCC1B1,

所以EF∥平面BCC1B1.

(2)解存在满足题意的点E,F,G,使得平面EFG∥平面BCC1B1.理由如下:如答图,连接CD,A1D.

(第7题答图)

因为平面EFG∥平面BCC1B1,平面ACD∩平面BCC1B1=CD,平面ACD∩平面EFG=GF,

所以GF∥CD,反之,若GF∥CD,

因为GF⊄平面BCC1B1,CD⊂平面BCC1B1,

所以GF∥平面BCC1B1.

由(1)知EF∥平面BCC1B1.

又因为EF∩GF=F,EF,GF⊂平面EFG,

所以平面EFG∥平面BCC1B1.

所以平面EFG∥平面BCC1B1等价于GF∥CD.

因为GF∥CD等价于,

由题意得BC=AB=,

A1D=A1C1=AC=,C1D=BC=,

AD=.

设BE=CF=AG=x(0≤x≤1),

则,

所以,

解得x=5-2∈[0,1],

故存在满足题意的点E,F,G,使得平面EFG∥平面BCC1B1,此时=2-4,

所以EF=BC·(2-4)=2-4.