高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步5 垂直关系5.2 平面与平面垂直课时作业

5.2　平面与平面垂直

课后训练巩固提升

1.在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是(　　).

A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β

B.AO⊥l,BO⊥l

C.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂β

D.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β

答案:D

2.(多选题)已知α,β是两个不同的平面,l是一条直线,则下列说法正确的是(　　).

A.若α∥β,l∥β,则l∥α B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β

C.若l⊥α,l∥β,则α⊥β D.若α⊥β,l∥β,则l⊥α

答案:BC

3.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是(　　).

(第3题)

A.EF⊥平面α 

B.EF⊥平面β

C.PQ⊥GE 

D.PQ⊥FH

解析:因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH,故选B.

答案:B

4.(多选题)如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,M为PB的中点,下列结论正确的是(　　).

(第4题)

A.MO∥平面PAC

B.PA∥平面MOB

C.OC⊥平面PAC

D.平面PAC⊥平面PBC

解析:因为AB为圆O的直径,M为PB的中点,所以OM∥PA.又OM⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以MO∥平面PAC.故A正确.因为PA⊂平面PAB,所以PA⊂平面MOB,故B错误.因为点C在圆O的圆周上,所以AC⊥BC,故OC不与AC垂直,所以OC不可能与平面PAC垂直,故C错误.因为直线PA垂直于圆O所在的平面,所以PA⊥BC.又AC⊥BC,AC∩PA=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC,又BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故D正确.

答案:AD

5.已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=,BC=2,则二面角D-BC-A的大小为　　　　　. 

解析:如答图,由题意知AB=AC=BD=CD=,BC=AD=2.

(第5题答图)

取BC的中点E,连接DE,AE,

则AE⊥BC,DE⊥BC,

所以∠DEA即为所求二面角的平面角.

易得AE=DE=,又AD=2,所以AD2=AE2+DE2.所以∠DEA=90°.

答案:90°

6.如图,在四棱锥P?ABCD中,PA⊥底面ABCD且底面各边都相等,M是PC上一点,当点M满足　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 

(第6题)

解析:连接AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.因为四边形ABCD的各边相等,所以AC⊥BD.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,即BD⊥PC.要使平面MBD⊥平面PCD,只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可,所以可填DM⊥PC(或BM⊥PC).

答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)

7.如图,在直二面角α-l-β中,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为　　　　　. 

(第7题)

解析:如答图,连接BC.

(第7题答图)

∵二角面α-l-β为直二面角,AC⊂α,且AC⊥l,∴AC⊥β.

又BC⊂β,∴AC⊥BC.

∴BC2=AB2-AC2=3,

又BD⊥CD,

∴CD=.

答案:

8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断平面A1C1B与平面BB1D1D是否垂直,并说明你的理由.

(第8题)

解:平面A1C1B⊥平面BB1D1D.

理由如下:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,BB1⊥平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.

又B1D1∩BB1=B1,∴A1C1⊥平面BB1D1D.

又A1C1⊂平面A1C1B,∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D.