北师大版高中数学必修第二册第6章6-3球的表面积和体积课件

§6　简单几何体的再认识6.3　球的表面积和体积自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易 错 辨 析 自主预习·新知导学球的表面积与体积【问题思考】1.依据生活经验我们知道,不能将橘子皮展成平面,因为橘子皮近似于球面,这种曲面不能展成平面图形.我们知道圆柱、圆锥、圆台的侧面面积,可以利用它们在平面内的展开图求出,由于球面不能展成平面图形,那么,人们又是怎样计算球面的面积的呢?古人在计算圆周率时,一般是用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.理论上,只要取得圆内接正多边形的边数越多,圆周率越精确,直到无穷.这种思想就是朴素的极限思想.(1)运用上述思想能否计算球的表面积和体积?(2)求球的表面积和体积需要什么条件?(3)设球的半径为R,则它的体积V= πR3,表面积S=4πR2.观察这两个公式,它们都有什么特点?提示:(1)能.(2)已知球的半径即可.(3)这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R唯一确定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次函数,并且表面积为半径为R的圆的面积的4倍.2.球的表面积与体积公式表6-6-43.已知球的表面积是16π,则该球的体积为　　　　　. 解析:设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2, 合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三【例1】 (1)已知球的表面积为64π,求它的体积; 反思感悟 1.一个关键抓住球的表面积公式S球面=4πR2,球的体积公式V球= πR3是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.2.两个结论(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方;(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方.【例2】 如图6-6-5,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,若不计容器厚度,则球的体积为(　　)答案:A 反思感悟 球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.(2)解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.【例3】 (1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切,则该球的体积为　　　　　. (2)正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是　　　　　. 1.(变换条件)若将例3第(2)题的条件“正方体的顶点都在同一个球面上”变为“圆柱内接于球,圆柱的底面半径r=3,高h=8”,求球的表面积.解:设球的半径为R.依题意,圆柱的轴截面四边形内接于球的大圆.因此,球的表面积S表=4πR2=4π×52=100π. 2.(变换条件,改变结论)若将例3第(2)题的条件“正方体的表面积是a2,它的顶点都在球面上”变为“长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 ,它的八个顶点都在同一个球面上”,求这个球的体积.解:设球的半径为R,则长方体的体对角线长为2R,反思感悟 1.处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在几何体的特殊位置,比如中心、对角线的中点等.2.解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来解决.易 错 辨 析球的平行截面问题因思维不严密致误【典例】 一个球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2和400π cm2,求球的表面积.错解:如图6-6-6,由题意知π·CA2=49π,∴CA=7 cm.又π·BD2=400π,∴BD=20 cm.设OD=x cm,球的半径为R cm,则有(CD+DO)2+CA2=R2=OD2+DB2,即(9+x)2+72=x2+202,∴x=15,R=25.∴S球面=4πR2=2 500π cm2.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述解法的错误在于考虑不周,由于球心可能在两个截面的同一侧,也可能在两个截面之间,因此解决此题要分类讨论.正解:①当截面在球心的同侧时,如图6-6-7(球的轴截面),AO1∥BO2,O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2,设球的半径为R.由题意知π·O2B2=49π,∴O2B=7 cm.同理,π·O1A2=400π,∴O1A=20 cm.设OO1=x cm,则OO2=(x+9)cm.在Rt△OO1A中,R2=x2+202,在Rt△OO2B中,R2=(x+9)2+72,∴x2+202=72+(x+9)2,解得x=15.∴R2=x2+202=252,解得R=25 cm.∴S球面=4πR2=2 500π(cm2),即球的表面积为2 500π cm2.②当截面在球心的异侧时,如图6-6-8(球的轴截面),O1A∥O2B,O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥O2B,设球的半径为R.由题意知π·O2B2=49π,∴O2B=7 cm.同理,π·O1A2=400π,∴O1A=20 cm.设O1O=x cm,则OO2=(9-x)cm.在Rt△OO1A中,R2=x2+400,在Rt△OO2B中,R2=(9-x)2+49,∴x2+400=(9-x)2+49,解得x=-15,不符合题意,舍去.综上所述,球的表面积为2 500π cm2.防范措施 球是比较特殊的旋转体,球的任何一个截面都是圆,在解决关于截面的问题时,要防止出现错误,一定先作出截面示意图,分析出可能出现的不同情况,准确合理地选择公式.