北师大版高中数学必修第二册第6章6-2柱、锥、台的体积作业含答案

6.2　柱、锥、台的体积

课后训练巩固提升

1.已知直角三角形两直角边AB=3,AC=4,以AB所在直线为旋转轴,旋转一周所得的几何体的体积为(　　).

A.12π B.16π C.20π D.24π

解析:旋转后的几何体为以AC=4为底面半径,高为3的圆锥,

则V圆锥=πr2h=π×42×3=16π.

答案:B

2.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为(　　).

A.6 B. 

C.2 D.2

解析:由正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,可得高h=2,又因为底面积S=,

所以体积V正六棱锥=Sh=×2=.

答案:B

3.体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得的这个圆台的圆锥的体积是(　　).

A.54 B.54π C.58 D.58π

解析:设上底面半径为r,则由题意可得下底面半径为3r,设圆台高为h1,

则πh1(r2+9r2+3r·r)=52,

∴πr2h1=12.设原圆锥的高为h,则由相似知识得,∴h=h1.

∴V原圆锥=π(3r)2×h=3πr2×h1=×12=54.

答案:A

4.在Rt△ABC中,D为斜边AB上一点,△ACD与△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到的几何体的体积分别为V1,V2,若,则=(　　).

A. B. C. D.

解析:令=λ,BC=a,AC=b,

作ED∥BC,交AC于点E,则=λ,ED=λa,EC=b-λb,AE=λb,

所以V2=πa2·b,V1=πλ2a2·λb+πλ2a2(b-λb)=πλ2a2·b,

所以=λ2=,所以λ=,故选D.

答案:D

5.一正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8,体积为14 cm3,则该棱台的高为　　　　　. 

解析:由题意可设该正四棱台的斜高与上、下底面边长分别为5x,2x,8x,

则高h==4x.

由棱台的体积公式,得·4x·(4x2+16x2+64x2)=14,解得x=,故h=2cm.

答案:2 cm

6.已知圆锥的轴截面是一个顶角为,腰长为2的等腰三角形,则该圆锥的体积为　　　　　. 

解析:因为圆锥的轴截面是一个顶角为,腰长为2的等腰三角形,

所以此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高

h=2cos=1,圆锥底面圆半径r=,所以该圆锥的体积V=πr2h=π××1=π.

答案:π

7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,Q是棱CC1上的动点.

(第7题)

(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;

(2)求三棱锥B1-DBQ的体积;

(3)若Q是棱CC1的中点,记过A,P,Q三点的平面截正方体所得截面的面积为S,求S.

解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点.理由如下:如答图,延长D1Q,DC交于点O,则QC为△DD1O的中位线,

(第7题答图)

所以C为DO的中点.延长AP,DC交于点O',则PC为△ADO'的中位线,所以C为DO'的中点.所以点O与点O'重合.所以直线D1Q,DC,AP交于一点.

(2)×2=.

(3)如答图,连接AD1,PQ,由(1)知,D1Q,AP交于一点,故点D1,Q,A,P确定一个平面.因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1,且平面APQD1分别与两平面相交,交线为AD1,PQ,所以AD1∥PQ,

所以梯形APQD1为所求截面,梯形APQD1的高为,

故S=+2)×.