高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.3 球的表面积和体积导学案

6．3　球的表面积和体积

知识点1　球的截面

用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆，有以下性质：

(1)若平面α过球心O，则截线是以O为圆心的球的大圆．

(2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则O′P＝，即此时截线是以O′为圆心，以r＝为半径的球的小圆．

知识点2　球的切线

(1)定义：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点．

(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径；

②过球外一点的所有切线的切线长都相等．

1.半径为R的球O的切线AP的切点为P，AP、R和AO三者之间有什么关系？

提示：AO2＝AP2＋R2

知识点3　球的表面积与体积公式

2.球的表面积和球的大圆的面积之间有什么关系？

提示：球的表面积等于它的大圆面积的4倍．

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4. (　　)

(2)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面． (　　)

(3)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径． (　　)

提示：(1)错误．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶8.

(2)正确．

(3)正确．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2.表面积为8π的球的半径是________．

[答案]　

类型1　球的表面积和体积

【例1】　直径长为6的球的表面积和体积分别是(　　)

A．36π，144π　 B．36π，36π

C．144π，36π     D．144π，144π

B　[球的半径长为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π.故选B.]

(1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．

(2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径．

1．球的体积是，则此球的表面积是(　　)

A．12π     B．16π

C．     D．

B　[设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2.故球的表面积S表＝4πR2＝16π.]

类型2　球的截面问题

【例2】　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　)

A． cm3

B． cm3

C． cm3

D． cm3

A　[如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm).设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5.∴V球＝π×53＝π(cm3).]

球截面问题的解题技巧

(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．

(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.

2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是(　　)

A． cm3     B． cm3

C． cm3     D． cm3

C　[根据球的截面的性质，得球的半径R＝＝5(cm)，所以V球＝πR3＝(cm3).]

类型3　与球有关的切、接问题

【例3】　(教材北师版P243例6、7改编)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为(　　)

A．     B．2

C．13     D．3

1.若一个球内切于某个多面体的面，如何求出球的半径？

[提示]　若一个球内切于某个几何体，则连接切点和球心的直线垂直于这个多面体的面，构造直角三角形，即可求出球的半径．

2.若一个球外接于某个多面体，如何求出球的半径？

[提示]　若一个球外接于某个多面体，则连接球心和多面体的顶点就是球的半径，一般是找到截面，把问题平面化求解．

3.→

C　[因为三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直．

△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，因为AB＝3，AC＝4，BC＝5，BC1＝＝13，所以球的直径为13.]

空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解(其R为球的半径).

3．棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．

[解]　把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝x.

由题知2R＝x＝a.

∴S球＝4πR2＝a2π＝a2π.

1．若球的大圆的周长是C，则这个球的表面积是(　　)

A．    B．    C．    D．2πC2

C　[由2πR＝C，得R＝，

∴S球面＝4πR2＝.]

2．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)

A．R    B．2R    C．3R    D．4R

D　[设圆柱的高为h，则πR2h＝3×πR3，得h＝4R.]

3．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　)

A．π     B．    C．4π     D．32π

C　[设正方体的棱长为a，

由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.

设正方体外接球的半径为R，则a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.]

4．若一个球的直径是10 cm，则它的体积为________cm3.

π　[由题意知其半径为R＝＝5(cm)，故其体积为V＝πR3＝×π×53＝π(cm3).]

5．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍．

8　4　[球的半径为R时，球的体积为V1＝πR3，表面积为S1＝4πR2，半径增加为2R后，球的体积为V2＝π(2R)3＝πR3，表面积为S2＝4π(2R)2＝16πR2.

所以＝＝8，＝＝4，

即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍．]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何求解与球有关的问题？

[提示]　(1)球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决．

(2)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．

2.处理与球有关的问题时，应注意哪些问题？

[提示]　处理与球有关的问题应注意下面几点：

(1)截面问题．R2＝d2＋r2(d为球心到截面的距离，r是截面圆的半径).

(2)接、切问题．确定球心的位置，球心到接、切点的距离等于球的半径．

(3)轴截面问题．球是旋转体，轴截面通常是解决问题的平台．