高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.3 球的表面积和体积教案配套课件ppt

6.3　球的表面积和体积

课后篇巩固提升

基础达标练

1.如图,各棱长都相等的三棱锥内接于一个球,则经过球心的一个截面图形可能是(　　)

A.①③ B.①② C.②④ D.②③

答案A

2.已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为(　　)

A.21π B.42π 

C.84π D.84

解析如

图,M,N为上下底面正三角形的中心,O为MN的中点,即外接球球心.因为正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,AM==2,OM=3,球半径R=OA=,该棱柱外接球的表面积为S=4π×()2=84π.

答案C

3.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为　　　　　. 

解析设大球与小球半径分别为R,r,

则所以

所以体积和为πR3+πr3=.

答案

4.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为　　　　　. 

解析设球的半径为R,正方体棱长为a,则V球=πR3=π,得到R=,正方体体对角线的长为a=2R,则a=,所以正方体的棱长为.

答案

5.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.

解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.

能力提升练

1.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2 cm,那么该棱柱的表面积为(　　)

A.2+4(cm2) B.8+16(cm2)

C.4+8(cm2) D.16+32(cm2)

解析设正四棱柱的高为h,则由题意及球的性质可得,=2R=4,所以h=2(cm),所以该棱柱的表面积为2×22+4×2×2=8+16(cm2),故选B.

答案B

2.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,如图所示.则球的半径是(　　)

A.1 cm B.2 cm

C.3 cm D.4 cm

解析设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,可得3×πr3+πr2×6=πr2×6r,解得r=3.

答案C

3.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,则圆柱的体积与球的体积之比为　　　　　,圆柱的表面积与球的表面积之比为　　　　　. 

解析由题意,圆柱底面半径r=球的半径R,圆柱的高h=2R,则V球=πR3,V柱=πr2h=π·R2·2R=2πR3,

所以.

S球=4πR2,S柱=2πr2+2πrh=2πR2+2πR·2R=6πR2.所以.

答案

4.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为4 cm,该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E,F,G,H为圆O上的点,△ABE,△BCF,△CDG,△ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕,折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH,使得E,F,G,H重合,得到一个四棱锥.当AB=2 cm时,该四棱锥的表面积为　　　　　;该四棱锥的外接球的表面积为　　　　　. 

解析连接OE交AB于点I,设E,F,G,H重合于点P,正方形的边长为2,则OI=1,IE=3,AE=,设该四棱锥的外接球的球心为Q,半径为R,则OC=,OP==2,则R2=(2-R)2+()2,解得R=,外接球的表面积S=4π×π cm2,该四棱锥的表面积为4××2×3+2×2=16 cm2.

答案16 cm2　π cm2

素养培优练

 有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.

解设正方体棱长为a,三个球的半径依次为R1,R2,R3,则有2R1=a,R1=a=2R2,R2=a,a=2R3,R3=a,

所以R1∶R2∶R3=1∶.

所以S1∶S2∶S3==1∶2∶3.

即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.