高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.3 球的表面积和体积导学案

5.6.3　球的表面积和体积

1.球的相关概念

(1)球的大圆

球面被经过________的平面截得的圆称为球的大圆．

(2)球的小圆

球面被不经过________的平面截得的圆称为球的小圆．

(3)直线与球相切

直线与球有唯一________时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点．

(4)切线长

过球外一点的所有切线的切线长都________.

2.球的表面积和体积公式

S球面＝________，V球＝________.其中R为球的半径.

　答案：1.(1)球心　(2)球心　(3)交点　(4)相等

2.4πR2　

研习1   球的体积与表面积

[典例1]　球的体积是，则此球的表面积是(　　)

A．12π　　　　B．16π　　　　C．　　　　D．

[自主记]

[答案]　B

[解析]　设球的半径为R，则由已知，得

πR3＝，解得R＝2.

故球的表面积S表＝4πR2＝16π.

[巧归纳]　求球的体积与表面积的方法

(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．

(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.

研习2  球的截面问题

[典例2]　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　)

A． cm3     B． cm3

C． cm3     D． cm3

[自主记]

[答案]　A

[解析]　如图，作出球的一个截面，

则MC＝8－6＝2(cm)，

BM＝AB＝×8＝4(cm)．

设球的半径为R cm，

则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，解得R＝5.

∴V球＝π×53＝(cm3).

[巧归纳]　球的截面问题的解题技巧

(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．

(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.

研习3  球的组合体问题

 [典例3]　设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A．3πa2   B．6πa2 

C．12πa2   D．24πa2

[答案]　B

[解析]　作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝a，则球的半径R＝＝a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.

[延伸探究]将本例中“长方体”改为“棱长为a的正四面体”，则球的表面积如何求？

[自主记]

解：如图，过A作AE⊥平面BCD，则E为△BCD的中心，连接BE.

∵棱长为a，∴BE＝a×＝a.

∴Rt△ABE中，AE＝＝a.设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，

∴R＝a，

∴S球＝4π×2＝πa2.

[巧归纳]　1.正方体的内切球

球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.

2.长方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝，如图②.

3.正四面体的外接球

正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.

1.棱长为2的正方体的外接球的表面积是(　　)

A．8π   B．4π

C．12π   D．16π

答案：C　

解析：正方体的体对角线长为2，即2R＝2，

∴R＝，S＝4πR2＝12π.

2.两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为(　　)

A．2   B．

C．   D．

答案：C　

解析：设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝πR3＝2×π×13，得R＝.

3.正方体的内切球与其外接球的体积比为(　　)

A．1∶   B．1∶3

C．1∶3   D．1∶9

答案：C　

解析：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的体积比为1∶3.

4.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)

A．   B．

C．   D．

答案：A　

解析：由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，则半径为1，其体积是×π×13＝.

5.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．

解：当截面在球心的同侧时，如图①所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.

设球的半径为R，

∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.

同理，得O1A＝20 cm.

设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm.

在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①

在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②

联立①②可得x＝15，R＝25.

∴S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，

故球的表面积为2 500π cm2.

当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B．

设球的半径为R，

∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.

∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm.

设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.

在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.

在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.

∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．

综上所述，球的表面积为2 500π cm2.

 [误区警示]　轴截面未找准而致误

[示例]　已知球的内接正方体体积为V，求球的表面积．

[错解]　如图①所示，作圆的内接正方形表示正方体截面．设正方体棱长为x，球半径为R，

则有解得R＝.

∴ S球＝4πR2＝2π.

即球的表面积为2π.

①　　　　　　　　　　　②

[错因分析]　过球内接正方体的一个对角面作球的大圆截面，得到的是一个宽为x，长为x，对角线为x(如图②)的矩形，故错解所做的大圆截面是错误的．

[正解]　将错解中的方程②改成x＝2R，

得到S球＝3π.

[题后反思]　1.解答几何体表面积和体积的问题时要灵活运用方程思想，通过轴截面将量与量间的关系用代数方程的形式得以联系．

2．解题时要仔细分析题目条件，找出有关量之间的关系，并选择一个与其他量联系最广的量，并用它表示出其他的量．