2021学年第六章 立体几何初步6 简单几何体的再认识6.3 球的表面积和体积课堂检测

6.6.3　球的表面积和体积

1.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是(　　)

A.①③ B.①② C.②④ D.②③

【答案】A

2.已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6，则该棱柱外接球的表面积为(　　)

A.21π B.42π 

C.84π D.84

【解析】如

图，M，N为上下底面正三角形的中心，O为MN的中点，即外接球球心.因为正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6，AM==2，OM=3，球半径R=OA=，该棱柱外接球的表面积为S=4π×()2=84π.

【答案】C

3.两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为　　　　　. 

【解析】设大球与小球半径分别为R，r，

则所以

所以体积和为πR3+πr3=.

【答案】

4.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为　　　　　. 

【解析】设球的半径为R，正方体棱长为a，则V球=πR3=π，得到R=，正方体体对角线的长为a=2R，则a=，所以正方体的棱长为.

【答案】

5.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，若图中r=1，l=3，试求该组合体的表面积和体积.

解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.

1.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为(　　)

A.2+4(cm2) B.8+16(cm2)

C.4+8(cm2) D.16+32(cm2)

【解析】设正四棱柱的高为h，则由题意及球的性质可得，=2R=4，所以h=2(cm)，所以该棱柱的表面积为2×22+4×2×2=8+16(cm2)，故选B.

【答案】B

2.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是(　　)

A.1 cm B.2 cm

C.3 cm D.4 cm

【解析】设球半径为r，则由3V球+V水=V柱，可得3×πr3+πr2×6=πr2×6r，解得r=3.

【答案】C

3.(2019浙江温州期末)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比为　　　　　，圆柱的表面积与球的表面积之比为　　　　　. 

【解析】由题意，圆柱底面半径r=球的半径R，圆柱的高h=2R，则V球=πR3，V柱=πr2h=π·R2·2R=2πR3，

所以.

S球=4πR2，S柱=2πr2+2πrh=2πR2+2πR·2R=6πR2.所以.

【答案】

4.(2020黑龙江齐齐哈尔模拟)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为4 cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕，折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥.当AB=2 cm时，该四棱锥的表面积为　　　　　;该四棱锥的外接球的表面积为　　　　　. 

【解析】连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为2，则OI=1，IE=3，AE=，设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则OC=，OP==2，则R2=(2-R)2+()2，解得R=，外接球的表面积S=4π×π cm2，该四棱锥的表面积为4××2×3+2×2=16 cm2.

【答案】16 cm2　π cm2