人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征精品达标测试

专题32 离散型随机变量的数字特征

一、单选题

1．（2020·尤溪县第五中学高一期末）若一组数据，，，…，的平均数为2，方差为3，则，，，…，的平均数和方差分别是（    ）

A．9，11 B．4，11 C．9，12 D．4，17

【答案】C

【解析】

由题，则，.

故选：C

2．（2020·海林市朝鲜族中学高二期末（理））若随机变量的分布列如下表，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

3．（2020·浙江宁波高二期末）已知随机变量的取值为.若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意，设，则，

又，解得，

所以，，

则，

所以.

故选：C.

4．（2020·广东东莞高二期末）随机变量的分布列如下表所示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由随机变量的分布列的性质，可得，解得，

则，

所以.

故选：D.

5．（2020·渝中重庆巴蜀中学高二期末）随机变量X的取值范围为0，1，2，若，则D（X）＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设，，

由题意，，且，

解得，，

，

故选：C．

6．（2020·浙江西湖学军中学高三其他）设，随机变量的分布如下表所示，则当在内增大时，（    ）

A．先减少后增大 B．先增大后减少

C．先减小后增大 D．先增大后减小

【答案】D

【解析】

由期望公式，得，在内一直增大.

由方差公式，得.为开口向下，对称轴的抛物线,在内，先增大后减少,

故当在内增大时先增大后减少.

故选:D.

7．（2020·西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））设，则随机变量的分布列是：

则当在内增大时（  ）

A．增大 B．减小

C．先增大后减小 D．先减小后增大

【答案】D

【解析】

方法1：由分布列得，则

，则当在内增大时，先减小后增大.

方法2：则

故选D.

8．（2020·浙江海曙效实中学高三其他）盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为，则（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】C

【解析】

，，

∵，∴ .

∵，，，

∴，

故选：C.

二、多选题

9．（2020·江苏海陵泰州中学高二月考）若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（    ）

A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4

C．D（3X+2）＝4 D．

【答案】AB

【解析】

随机变量X服从两点分布，其中，

∴P（X＝1），

E（X），

D（X）＝（0）2（1）2，

在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正确；

在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，故B正确；

在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，故C错误；

在D中，D（X），故D错误.

故选：AB.

10．（2020·海南海口高三其他）小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：

则下列说法正确的是（    ）

A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件

B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一

D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

【答案】BD

【解析】

对于选项，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；

对于选项，线路一所需的平均时间为分钟，

线路二所需的平均时间为分钟，

所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；

对于选项，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；

对于选项，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为，和三种情况，概率为，所以选项D正确．

故选：BD.

11．（2020·山东潍坊高二期中）设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

由离散型随机变量的分布列的性质得：

，

则，

，

即，

因为离散型随机变量满足，

.

故结果正确的有AC.

故选：AC.

12．（2020·福建城厢莆田一中高二期中）（多选）设，随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（    ）

A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小

C． D．的值最大

【答案】BC

【解析】

由题意，由于，所以随着的增大而减小，A错，B正确；

又，所以C正确；时，，而，D错．

故选：BC．

三、填空题

13．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高三其他（理））已知随机变量的分布列为

若，则______．

【答案】

【解析】

由概率分布列知．

．

公式：．

14．（2020·江西高一期末）数据，，…，的均值为，方差为2，现增加一个数据后方差不变，则的可能取值为______．

【答案】或

【解析】

由题意，

故，

由，

得：，解得：，

故答案为：或．

15．（2020·重庆高三其他（理））甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、乙完成任务的概率分别为0.7，0.8，且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人数为，则______.

【答案】1.5（或）

【解析】

的可能取值为0，1，2，且，

，，

故.

故答案为：1.5（或）.

16．（2020·浙江嵊州高三三模）已知，，随机变量的分布列是：

若，则________，________.

【答案】       

【解析】

由题意可得，解得，

因此，.

故答案为：；.、

四、解答题

17．（2019·全国高二课时练习）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列为

(1)求a,b的值.

(2)计算ξ,η的均值与方差,并以此分析甲、乙的技术状况.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,

所以a=0.3.

同理0.3+b+0.3=1,b=0.4.

(2)Eξ=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,

Eη=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,

Dξ=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,

Dη=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.

由于Eξ>Eη,说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但Dξ>Dη,说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.

18．（2020·大连市普兰店区第一中学高二月考）某人投弹击中目标的概率为.

（1）求投弹一次，击中次数的均值和方差；

（2）求重复投弹次，击中次数的均值和方差.

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）由题意可知服从两点分布

因为，，

所以，.

所以，

（2）由题意可知击中次数服从二项分布，即

所以，，

.

19．（2018·江西九江高二期末（理））某运动员射击一次所得环数的分布列如下：

现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．

（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；

（2）求的分布列和数学期望．

【答案】（1）0.36；（2）见解析，9.2

【解析】

（1）两次都命中8环的概率为

两次都命中9环的概率为

两次都命中10环的概率为

设该运动员两次命中的环数相同的概率为

（2）的可能取值为8，9，10

，

，

，

的分布列为

20．甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．已知甲，乙两人审核过关的概率分别为，审核过关后，甲、乙两人文化测试合格的概率分别为

（1）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；

（2）设表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求的数学期望.

【答案】(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为；

(2)的数学期望为.

【解析】

(1)设“甲，乙两人至少有一人通过审核”，则

………………6分

(2)

…………12分

答：(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为；

(2)的数学期望为.

21.（2020·全国高三（理））在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.

（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.

（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.

【答案】（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲

【解析】

（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，

其中，  

的所有可能取值为，则

，

，

，

．

的分布列为： ，，，．

所以，

所以，的数学期望为．

（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，

选手选择方案乙通过测试的概率为

，

因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．

22．袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：.

(1)随机变量的概率分布列；

(2)随机变量的数学期望与方差.

【答案】(1)见解析；（2），.

【解析】

 (1)随机变量可取的值为．

；

得随机变量的概率分布列为：

(2)随机变量的数学期望为：；

随机变量的方差为：