高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布精品同步训练题

专题33 二项分布与超几何分布

一、单选题

1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)

A．恰有1个是坏的

B．4个全是好的

C．恰有2个是好的

D．至多有2个是坏的

【答案】C

【解析】

对于选项A，概率为.对于选项B，概率为.对于选项C，概率为.对于选项D，包括没有坏的，有个坏的和个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.

2．（2020·天山 新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于（   ）

A． B．

C． D．1

【答案】C

【解析】

由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，

它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，

即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，

于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝

故选C

3．（2020·江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（    ）

A．至少有个深度贫困村 B．有个或个深度贫困村

C．有个或个深度贫困村 D．恰有个深度贫困村

【答案】B

【解析】

用表示这个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布，

故，

所以，

，

，

，

.

故选：B

4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

分析：根据超几何分布，可知共有 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。

详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，

由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时

当1个正品3个次品时

所以正品数比次品数少的概率为

所以选A

5．（2020·营口市第二高级中学高二期末）荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在荷叶上，则跳三次之后停在荷叶上的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p+2p=3p=1，

解得p=，即按照顺时针跳的概率为，则逆时针方向跳的概率为，

若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，

则满足3次逆时针或者3次顺时针，

①若先按逆时针开始从A→B，则对应的概率为××=，

②若先按顺时针开始从A→C，则对应的概率为××=，

则概率为+==，

故选：C.

6．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（理））已知随机变量服从二项分布，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

表示做了次独立实验，每次试验成功概率为，

则．选．

7．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,

,选择D答案．

8．（2020·山西运城 高二期末（理））经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】

由题意，随机变量，，

若取得最大值时，则:

则，解得，则．

故选：．

二、多选题

9．（2020·江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为0.5和0.4，且互不影响，现甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（    ）

A．目标恰好被命中一次的概率为0.5+0.4

B．目标恰好被命中两次的概率为0.5×0.4

C．目标被命中的概率为0.5×0.6+0.5×0.4

D．目标被命中的概率为1－0.5×0.6

【答案】BD

【解析】

由题意，甲、乙两人射击是否命中相互独立，

目标恰好被命中一次的概率为，即A错误；

目标恰好被命中两次的概率为，即B正确；

目标被命中包含恰好命中一次和恰好命中两次，即目标被命中的概率为，即C错误；

两人都没有命中的概率为，则目标被命中的概率又可以表示为，即D正确.

故选：BD.

10．（2020·江苏泰州 高一期末）下列叙述正确的是（    ）

A．某人射击1次，"射中7环”与"射中8环"是互斥事件

B．甲、乙两人各射击1次，"至少有1人射中目标“与"没有人射中目标"是对立事件

C．抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于

D．抛掷一枚硬币4次，恰出现2次正面向上的概率为

【答案】AB

【解析】

A.某人射击1次，“射中7环”和“射中8环”是两个不可能同时发生的事件，所以是互斥事件，故A正确；

B.甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”包含“1人射中，1人没有射中”和“2人都射中目标”，所以根据对立事件的定义可知，"至少有1人射中目标“与"没有人射中目标"是对立事件，故B正确；

C.抛掷一枚硬币，属于独立重复事件，每次出现正面向上的概率都是，每次出现反面向上的概率也是，故C不正确；

D.抛掷一枚硬币，恰出现2次正面向上的概率，故D不正确.

故选：AB

11．（2020·山东任城 济宁一中高二期中）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是(    )

A．这5个家庭均有小汽车的概率为

B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为

C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车

D．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为

【答案】ACD

【解析】

由题得小汽车的普及率为，

A. 这5个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题；

B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为,所以该命题是假命题；

C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；

D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为=,所以该命题是真命题.

故选：ACD.

12．（2020·江苏亭湖 盐城中学高二月考）设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

∵，

∴，.

∴.

故选：AD

三、填空题

13．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________.

【答案】

【解析】

满足超几何分布，所以.

故答案为：

14．（2019·哈尔滨市第一中学校高二期中（理））李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为__________.

【答案】

【解析】

设所选3题中李明能答对的题数为X,则X服从参数为的超几何分布，且，

故所求概率为，

故答案为：.

15．（2020·四川省遂宁市第二中学校高三其他（理））3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________.

【答案】

【解析】

依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A，

则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件；女生得2分男生得4分，设为事件；女生得4分男生得2分，设为事件，

则：，

，

，

.

故答案为：

16．（2020·天津南开 高三一模）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数的期望为_____，乙射中的概率为_____．

【答案】       

【解析】

甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为，

则甲击中的次数，

∴甲三次射击命中次数的期望为，

乙第一次射击的命中率为，

第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，

如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为，

乙若射中，则不再继续射击，

则乙射中的概率为：．

故答案为：，．

四、解答题

17．（2020·辽宁沈阳 高二期中）甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

（1）求的值；

（2）求的数学期望．

【答案】(1) ,

(2)

【解析】

分析：（1）根据已知列方程组解之即得m,n的值. （2）先计算出a,b的值再求的数学期望．

详解：（1）由题意，得  

又，解得，

（2）由题意，  

所以

点睛：本题第1问，可能部分学生找方程比较困难，要注意观察已知的图表信息.表中说明三个都没有做对的概率是，所以.表中说明三个都做对的概率是，所以.

18．（2020·青海西宁 高二期末（理））在10件产品中,有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：

（1）取出的3件产品中一等品件数的分布列；

（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）题意知 的所有可能取值为 ，，，，且 服从参数为 ，， 的超几何分布，

因此 ．

所以 ； 

； 

 ；

．   

故 的分布列为 :

（2）设“取出的件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件，“恰好取出件一等品和件三等品”为事件，

“恰好取出件一等品”为事件，“恰好取出件一等品”为事件，

由于事件，，彼此互斥，且，

而，，，

所以取出的件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为：

．

19．（2020·通榆县第一中学校高二期末（理））某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．

（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；

（2）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，.

【解析】

（1）设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，

则：A，B都不达标；

故，

所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为；

（2）依题意两项技术指标都达标的概率为，

所以，

，，

，，

，

的概率分布为：

，

故的期望值为．

20．（2020·长春市第一中学高二期中（理））从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.

(1)求所选3人中恰有一名男生的概率

(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）从某小组的名女生和名男生中任选人，共有种，

所选人中恰有一名男生，有种，

故所选人中恰有一名男生的概率为；

（2）随机变量的可能取值有、、、，

，，，

.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

因此，随机变量的数学期望为.

21．（2020·全国高三其他（理））为了比较传统粮食与新型粮食的产量是否有差别，研究人员在若干亩土地上分别种植了传统粮食与新型粮食，并收集统计了的亩产量，所得数据如下图所示.已知传统粮食的产量约为760公斤/亩.

（1）通过计算比较传统粮食与新型粮食的平均亩产量的大小关系；

（2）以频率估计概率，若在4块不同的1亩的土地上播种新型粮食，记亩产量不低于785公斤的土地块数为，求的分布列以及数学期望.

【答案】（1）传统粮食的平均亩产量低于新型粮食的平均亩产量；（2）分布列见解析；期望为.

【解析】

（1）依题意，所求新型粮食的平均亩产量为

（公斤）；

因为，故传统粮食的平均亩产量低于新型粮食的平均亩产量；

（2）任取1块土地新型粮食不低于785公斤的概率为，

故，故

，

，

，

，

，

故的分布列为：

故.

22．（2020·湖南茶陵三中高三月考）全国中小学生的体质健康调研最新数据表明我国小学生近视眼发病率为22.78%，初中生为55.22%，高中生为70.34%．影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素．学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视．除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因．为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），如图：

（1）写出这组数据的众数和中位数；

（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．

①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；

②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率．若从该地区学生（人数较多）中任选3名，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．

【答案】（1）众数为4.6和4.7，中位数为4.75（2）①②见解析，

【解析】

（1）由题意知众数为4.6和4.7，

中位数为．

（2）①设事件，表示“所选3名学生中有名是‘好视力’”，设事件表示“至少有2名学生是好视力”．

则

②因为这16名学生中是“好视力”的频率为，所以该地区学生中是“好视力”的概率为．

由于该地区学生人数较多，故近似服从二项分布．

，

，

，

，

所以的分布列为

的数学期望为．