高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念备课ppt课件

5.2.2 同角三角函数的基本关系（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由同角三角函数的基本关系求解

【详解】由题意得，则，

故选：D

2．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据同角三角函数的关系求解即可.

【详解】由题意，.

故选：D

3．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用齐次化可求三角函数式的值.

【详解】，

故选：C．

4．（2022·全国·高一课时练习）数学家高斯在19岁时，解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题，并认为这是他最得意的作品之一.设是圆内接正十七边形的一个内角，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正17边形，从而得到一个内角，再由象限角的三角函数值的正负判断即可.

【详解】正十七边形内角和为，故.

因为，所以，故A错误.

因为，所以，故，，，故C正确，B，D均错误.

故选：C.

5．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（    ）

A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT

C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT

【答案】D

【分析】根据题图及三角函数线的定义判断角的正弦线､余弦线､正切线.

【详解】由题图知：圆O为单位圆，则，

且，

故角的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT.

故选：D

6．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据同角间的三角函数关系式求解．

【详解】因为，且，所以，

．

故选：C．

7．（2022·辽宁大连·高一期末）若，且为第四象限角，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】由于，且为第四象限角，

所以，

.

故选：D

8．（2022·江西省万载中学高一期中）设，如果且，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数在各象限符号判断．

【详解】，

，则，所以，

，则，所以．

故选：D．

9．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用算出，然后利用平方差公式对进行化简即可得到答案

【详解】解：因为，且，所以，

所以，

故选：A

10．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题设条件和平方关系求出的值，从而可求的值.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

整理得，解得或，

由，得，，所以，

所以，所以．

故选：B.

11．（2022·全国·高一课时练习）化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据同角三角函数的关系化简即可.

【详解】．

故选：D

二、多选题

12．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列三角函数值中符号为负的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.

【详解】因为，所以角是第二象限角，所以；因为，角是第二象限角，所以；因为，所以角是第二象限角，所以；；

故选：BCD．

三、填空题

13．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知A为三角形内角且，则________.

【答案】##0.6

【分析】根据正切值的正负确定A为锐角，再根据同角三角函数关系求出正弦.

【详解】根据，且A为三角形内角，

所以为锐角，

由题意得：，

解得：，

故答案为：.

14．（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．

【答案】

【分析】根据平方可得，结合立方差公式即可代入求值.

【详解】因为，平方得，所以，

所以．

故答案为：

15．（2022·陕西汉中·高一期末）若为第二象限角，且，则tan＝___．

【答案】－

【分析】由平方关系求出，再由商数关系求得．

【详解】因为为第二象限角，且，所以，

所以．

故答案为：．

16．（2022·全国·高一专题练习）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则 _____.

【答案】

【分析】根据三角函数的定义可得 ，进而弦化切即可求解.

【详解】角的始边为轴非负半轴，终边经过点，

则，

故答案为：

17．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期末）已知，则角位于第________象限．

【答案】二或三

【分析】根据三角函数在四个象限的符号即可判断

【详解】当为第一象限角时，，，；

当为第二象限角时，，，

当为第三象限角时，，，

当为第四象限角时，，，

综上，若，则位于第二或第三象限

故答案为：二或三

18．（2022·江西新余·高一期末）已知，则_____________

【答案】

【分析】分子，分母同除以，再把的值代入即可求解

【详解】

故答案为：

19．（2022·全国·高一课时练习）已知，则___________.

【答案】##

【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，解得即可；

【详解】解：因为，所以，解得；

故答案为：

20．（2022·上海市文建中学高一期中）已知，，则___________.

【答案】

【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】解：因为，，

所以，

所以.

故答案为：

四、解答题

21．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）化简

(1)

(2)

(3)

【答案】(1)1；

(2)1；

(3)0.

【分析】根据同角关系式化简即得.

（1）

；

（2）

；

（3）

.

22．（2022·全国·高一课时练习）求证：．

【答案】证明见解析

【分析】利用配方法和平方关系可证该恒等式.

【详解】左边

右边，

∴原等式成立．

23．（2022·全国·高一课时练习）化简：．

【答案】

【分析】利用“1”的代换及配方法可化简三角函数关系式.

【详解】

．

24．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程的两个根为，，，求：

(1)的值；

(2)方程的两根及此时的值．

【答案】(1)

(2)两根分别为，，或

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简，再根据韦达定理求值即可；

（2）利用解出，再解一元二次方程即可.

（1）

.

（2）

由（1）得，

所以，解得，

所以方程的两根为，

又因为，

所以，此时；或，此时．

【能力提升】

一、单选题

1．（2022·全国·高一课时练习）已知，则＝（    ）

A． B．2 C． D．6

【答案】A

【分析】巧用1将所求化为齐次式，然后根据基本关系将弦化切，再代入计算可得.

【详解】因为

所以

故选：A

2．（2022·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，再利用平方关系和商数关系求解.

【详解】解：由得，∴或，

因为，，所以.

由及得，∴，

所以．

故选：A

二、多选题

3．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】已知式平方求得，从而可确定的范围，然后求得，再与已知结合求得，由商数关系得，从而可判断各选项．

【详解】因为①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正确．，所以②，故D正确．由①②，得，，故B正确．，故C错误．

故选：ABD．

4．（2022·江苏·吴县中学高一期中）已知为整数，若函数在上有零点，则满足题意的可以是下列哪些数（　　）

A．0 B．2 C．4 D．6

【答案】ABC

【分析】设，则函数在上有零点等价于方程在上有解，即可根据二次函数的性质求出的范围．

【详解】因为,设，，

则，即，

亦即．

故选：ABC．

5．（2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）（多选题）已知，则下列式子成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】对原式进行切化弦，整理可得：，结合因式分解代数式变形可得选项.

【详解】∵， ，

整理得，

∴，

即，

即，∴C、D正确.

故选：CD

【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.

三、填空题

6．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）若，，且，则的最大值为______．

【答案】

【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得，再利用基本不等式即可得出答案.

【详解】解：由，

得，

因为，所以，

则，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最大值为.

故答案为：.

7．（2022·浙江·温州中学高一期中）若实数，满足，则的最大值为______.

【答案】

【分析】根据条件，采用三角换元法，令，代入要求的式子化简整理成关于的二次函数即可求解.

【详解】因为实数，满足，令，

则

当时，取最大值，

故答案为：.

8．（2022·湖南·湘阴县教育科学研究室高一期末）在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作.若，则 __.

【答案】

【分析】由可得出，根据题意得出，结合可得出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用商数关系可求出的值.

【详解】，则，由正余混弦的定义可得.

则有，解得，因此，.

故答案为：

9．（2022·全国·高一专题练习）已知，且，则____.

【答案】##1.4

【分析】利用完全平方公式，建立、与和的等量关系，并利用所求值确定，的符号，从而可求.

【详解】解：，

两边平方，可得，可得，

，

可得，，可得，

．

故答案为：.

10．（2022·湖北·安陆第一高中高一阶段练习）已知角的终边经过点，的值是____________．

【答案】

【分析】先利用三角函数的定义求出，再进行弦化切，代入求解.

【详解】因为角的终边经过点，所以.

所以.

故答案为：

11．（2022·江苏·高一专题练习）设、是非零实数，，若，则________

【答案】

【分析】由已知化简可得，，代入已知式子可得，即可求解.

【详解】

化简得，

即，

∴，

∴.

故答案为:

【点睛】本题考查三角指数幂的运算，合理利用已知条件，以及平方关系是解题的关键，属于较难题.

四、解答题

12．（2022·全国·高一课时练习）已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求.

（2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值.

（1）

解法一：∵，，

∴，

分子分母同时除以，得，

即，解得．

解法二：∵，∴，

即，∴

∴．

（2）

∵，∴．

13．（2022·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；

（2）已知，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求出，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出，，得到，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.

【详解】（1）由知

  原式=

（2）    

又         

原式===

14．（2022·江西南昌·高一期末）人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点，，曼哈顿距离.

余弦相似度：.

余弦距离：.

(1)若，，求A，B之间的和余弦距离；

(2)已知，，，若，，求的值.

【答案】(1)，余弦距离等于

(2)

【分析】（1）根据曼哈顿距离的计算公式即可求得，利用余弦距离的公式可求得A，B之间的余弦距离；

（2）根据已知结合定义中所给公式可得,以及，两式整理即可求得答案.

（1）

，

，所以余弦距等于；

（2）

由得

,

同理：由得，

故，

即，

则.

15．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）已知，求以下各式的值．

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）化简原式为即得解；

（2）化简原式为即得解.

【详解】（1）解：.

（2）解：.

16．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知，.

(1)求的值.

(2)求的值.

(3)求的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；

（2）由（1），可得，则，从而可得出答案；

（3）根据结合正余弦得符号去掉根号，化简，从而可求出答案.

(1)

解：因为，

所以，

所以；

(2)

解：因为，，

所以，

所以；

(3)

解：由（2）得，

则

.

17．（2022·江西·九江一中高一期中）已知函数.

（1）若，恒成立，求的取值范围；

（2）若，是否存在实数，使得，都成立？请说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据的奇偶性和单调性，将函数值的比较变为自变量的比较，得到恒成立，利用参变分离，得到的取值范围；（2）假设存在，整理和，设，，

得到，按照和进行分类讨论，从而证明不存在所需的.

【详解】（1），为上的奇函数，单调递减，

所以恒成立，

可得

所以恒成立

即恒成立，

当时，该不等式恒成立，

当时，，

设，则

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以.

（2）

所以，

假设存在实数，使得和都成立，

设，，

则，

，

若，则，解得，或，，均不是有理数，

若，则，其中，而，所以不成立，

综上所述，故不存在实数，使得，都成立.

【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，诱导公式，同角三角函数关系，研究是否为有理数的问题，涉及分类讨论的思想，属于难题.

18．（2022·全国·高一课时练习）求证：

【答案】详见解析

【证明】方法一

左边

右边，

原式成立．

方法二∵，

，

∴，

原式成立．

【分析】方法一：从等式左边推出右边,通分化简,再有，整理化简即可得到等式右边,得证.方法二：由恒等式，得 ，然后运用等比定理即可证明.

【详解】证明：

方法一

左边

右边，

原式成立.

方法二

∵，

，

∴，

原式成立.

【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系进行恒等式的证明;其中法一是证明的关键,法二恒等式的合理利用是证明的关键;本题属于难题.