人教A版高中数学必修二单元检测卷 第十章 概率

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概率 章节检测
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2022·河北唐山高一期末]从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是(　　)
A．至少有1个红球 B．至少有1个黑球
C．至多有1个黑球 D．至多有2个红球
2．[2022·江苏连云港高一期末]一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是(　　)
A．0.4 B．0.48 C．0.6 D．0.8
3．从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30 000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为(单位：cm)：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5 cm～170.5 cm之间的人数约为(　　)
A．18 000 B．15 000 C．12 000 D．10 000

4．[2022·河北承德高一期末]甲、乙两位同学暑假计划从吉林省去河北省旅游，他们所搭乘动车的“3＋2”座位车厢如图所示，若这两位同学买到了同一排的座位，则他们的座位正好相邻的概率为(　　)
A． B．
C． D．
5．[2022·山东聊城高一期末]甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为(　　)
A．0.94 B．0.90 C．0.56 D．0.38

8
1
6
3
5
7
4
9
2
6.[2022·福建龙岩·高一期末]刘徽是魏晋时代著名数学家，他给出的(2k＋1)阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把1，2，…，n2排成n×n的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等．如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有4或6的概率是(　　)
A． B． C． D．
7．[2022·山东滨州高一期中]袋子中有四张卡片，分别写有“学、习、强、国”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“学、习、强、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

232
321
210
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
由此可以估计事件A发生的概率为(　　)
A. B． C． D．
8．[2022·山东烟台高一期末]设A，B是一个随机试验中的两个事件，则(　　)
A.P(A∪B)＝P(A)＋P(B) B．P(A)＋P(B)≤1
C.P(A∩B)＝P(A)P(B) D．若A⊆B，则P(A)≤P(B)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．[2022·山东聊城高一期末]下列说法中，正确的是(　　)
A.对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么P(A) B.在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率fn(A)具有随机性
C.随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)
D.从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件A＝{取出的两个球均为红球}，B＝{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立
10．[2022·江苏苏州外国语学校高一期末]某校高一年级开设了甲、乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件Ω1＝“只选择甲兴趣班”，Ω2＝“至少选择一个兴趣班”，Ω3＝“至多选择一个兴趣班”，Ω4＝“一个兴趣班都不选”，则(　　)
A.Ω1与Ω3是互斥事件 B．Ω2与Ω4既是互斥事件也是对立事件
C.Ω2与Ω3不是互斥事件 D．Ω3与Ω4是互斥事件
11．[2022·山东新泰高一期中]甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是(　　)
A.两人都中靶的概率为 0.72 B．至少一人中靶的概率为 0.88
C.至多一人中靶的概率为 0.26 D．恰好有一人脱靶的概率为 0.26
12．[2022·湖南常德高一期末]下列四个命题中错误的是(　　)
A.若事件A，B相互独立，则满足P(AB)＝P(A)P(B)
B.若事件A，B，C两两独立，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
C.若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．[2022·湖南张家界高一期末]某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：

命中环数
6
7
8
9
10
频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
视频率为概率，如果这名运动员只射击一次，则他命中的环数小于9环的概率为________．
14．[2022·福建泉州高一期中]已知两个事件A和B互斥，记事件是事件B的对立事件，且P(A)＝0.3，P()＝0.6，则P(A∪B)＝________．
15．[2022·河北保定高一期末]袋中有除颜色外完全相同的球共4个，其中红球3个，黃球1个，从袋中任意取出2个球，则取出的2个球都是红球的概率为________．
16．[2022·山东青岛高一期末]某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为，，，，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为________；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)某射击队统计了甲、乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如下表：

射击次数
10
20
50
100
200
500
甲击中10环的次数
9
17
44
92
179
450
甲击中10环的频率






乙击中10环的次数
8
19
44
93
177
453
乙击中10环的频率






(1)分别计算出甲、乙两名运动员击中10环的频率，补全表格；
(2)根据(1)中的数据估计两名运动员击中10环的概率．







18．(12分)某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：

获奖人数
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．





19．(12分)[2022·广东湛江高一期末]移动支付为人民群众的生活带来了极大的方便．为了解某地区居民移动支付的使用情况，随机调查了该地区100名居民在一星期内使用移动支付的相关情况，列表如下：

支付次数x
0≤x≤15
15 30 45 x>60
人数
a
30
25
b
10
已知这100名居民中一星期内使用移动支付次数超过30次的占55%.
(1)求a，b的值；
(2)估计该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率．






20．(12分)为适应新冠肺炎疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识．现需要在2名女生、3名男生中任选2人担任防疫宣讲主持人，每位同学当选的机会是相同的．
(1)求当选的2名同学中恰有1名女生的概率；
(2)求当选的2名同学中至少有1名男生的概率．






21.(12分)[2022·河北承德高一期末]甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时乙获胜的概率；
(2)求甲获胜的概率．







22．[2022·福建厦门高一期末]某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分，若两轮总积分不低于60分则晋级复赛．
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响．
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？







答案：
1．解析：由对立事件的定义， “至少有2个黑球” 与“至多有1个黑球”对立，故选C.
答案：C
2．解析：目标受损但未击毁的概率是1－0.2－0.4＝0.4.故选A.
答案：A
3．解析：在随机抽取的10人中，身高在155.5 cm～170.5 cm之间的人数为4人，
所以从所有志愿者中任抽取一人身高在155.5 cm～170.5 cm的概率为＝，所以从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30 000人中随机抽取一人身高在155.5 cm～170.5 cm之间的人数约为30 000×＝12 000(人).
故选C.
答案：C
4．解析：设事件M为“他们的座位正好相邻”，
甲乙二人买到同一排A，B，C，D，F5个座位中的两个形成的样本空间为Ω，
则Ω＝{AB，AC，AD，AF，BC，BD，BF，CD，CF，DF}，共包含10个样本点，
其中事件M＝{AB，BC，DF}，包含3个样本点，则有P(M)＝，
所以他们的座位正好相邻的概率为.故选D.
答案：D
5．解析：由题意，该靶子不被击中的概率为(1－0.8)×(1－0.7)＝0.06，故该靶子被击中的概率为1－0.06＝0.94故选A.
答案：A
6．解析：随机抽取和为15的三个数包含的基本事件为(8，1，6)，(3，5，7)，(4，9，2)，(8，3，4)，(1，5，9)，(6，7，2)，(8，5，2)，(4，5，6)共8个，
其中含有4或6的基本事件有(8，1，6)，(4，9，2)，(8，3，4)，(6，7，2)，(4，5，6)共5个，则含有4或6的概率是.故选C.
答案：C
7．解析：18组随机数中，事件A发生的随机数有：
210，021，001，130，031，103，共6个，
∴估计事件A发生的概率为p＝＝.故选C.
答案：C
8．解析：对于A：若A，B是一个随机试验中的两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，故A错误；
对于B：若P(A)>，P(B)>，则P(A)＋P(B)>1，故B错误；
对于C：当A、B独立时，P(A∩B)＝P(A)P(B)，当A、B不独立时，则不成立，故C错误；
对于D：若A⊆B，则P(A)≤P(B)，故D正确．故选D.
答案：D
9．解析：A：若A⊆B，则P(A)≤P(B)，错误；
对于有限n次随机试验，事件A发生的频率是随机的，而随试验次数n趋向无穷大，随机事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，B、C正确；
D：基本事件有{取出的两个球均为红球}、{取出的两个球颜色不同}、{取出的两个球均为白球}，故事件A、B不对立，但互斥，正确．故选BCD.
答案：BCD
10．解析：事件Ω1＝“只选择甲兴趣班”；Ω2＝“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；Ω3＝“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；Ω4＝“一个兴趣班都不选”；
所以，Ω1与Ω3不是互斥事件，故A错误；
Ω2与Ω4既是互斥事件也是对立事件，故B正确；
Ω2与Ω3不是互斥事件，故C正确；
Ω3与Ω4不是互斥事件，故D错误．故选BC.
答案：BC
11．解析：设事件A为：“甲中靶”，设事件B为：“乙中靶”，这两个事件相互独立．
A选项：都中靶的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72，故A项对；
B选项：至少一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶，
故至少一人中靶的概率为1－P()＝1－P()P()＝1－0.2×0.1＝0.98，故B项不对；
C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶，至多一人中靶的概率为1－P(AB)＝0.28，故C错；
D选项：恰好有一人脱靶的概率为P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26，故D对．故选AD.
答案：AD
12．解析：若事件A，B相互独立，则满足P(AB)＝P(A)P(B)，A说法正确；
举例说明：投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子的点数为奇数，
事件B：第二个骰子点数为奇数，
事件C：两个骰子的点数之和为奇数，
于是有P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(AB)＝P(BC)＝P(AC)＝，
P(ABC)＝0，可以看出事件A，B，C两两独立，但A，B，C不相互独立，所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，B说法错误；
举例说明：投掷一个骰子三次，记事件A：第一次骰子的点数为1，
事件B：第二次骰子点数为2，
事件C：第三次骰子点数为3，
则P(A)＝P(B)＝P(C)＝，
事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)≠1，C说法错误；
举例说明：记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，
事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，
则P(A)＝P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件，
D说法错误．故选BCD.
答案：BCD
13．解析：由题意，小于9环的概率为0.1＋0.2＋0.3＝0.6.
答案：0.6
14．解析：P()＝0.6得P(B)＝0.4，且事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.
答案：0.7
15．解析：将3个红球分别标记为a、b、c，1个黑球记为A，
从这4个球中任取2个球，所有的基本事件有：ab、ac、aA、bc、bA、cA，共6种，
其中，事件“取出的2个球都是红球”所包含的基本事件有：ab、ac、bc，共3种，
故所求概率为P＝＝.
答案：
16．解析：该参赛者能进入第二轮答题的概率为P1＝×××＝ ，
该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率：
P2＝×(×××＋×××＋×××＋×××＋×××)＝.
答案：　
17．解析：(1)两名运动员击中10环的频率如下表：

射击次数
10
20
50
100
200
500
甲击中10环的次数
9
17
44
92
179
450
甲击中10环的频率
0.9
0.85
0.88
0.92
0.895
0.9
乙击中10环的次数
8
19
44
93
177
453
乙击中10环的频率
0.8
0.95
0.88
0.93
0.885
0.906
(2)由(1)中的数据可知两名运动员击中10环的频率都集中在0.9附近，所以两人击中10环的概率均约为0.9.
18．解析：记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.
解得y＝0.2.
19．解析：(1)由题意，一星期内使用移动支付次数超过30次的人数为25＋b＋10人，
故＝55%，解得b＝20，
又a＋30＋25＋b＋10＝100，解得a＝15，
故a＝15，b＝20.
(2)由题可知，100名居民中一星期内使用移动支付次数超过45次的人数为30人，
故该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率为P＝＝.
20．解析：(1)将2名女生，3名男生分别用a，b；c，d，e表示，
则从5名同学中任选2名同学试验的样本空间为
Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，
共有10个样本点，
设事件A＝“当选的2名同学中恰有1名女生”，
则A＝{(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)}，样本点有6个，
∴P(A)＝＝.
即当选的2名同学中恰有1名女生的概率是.
(2)设事件B＝“当选的2名同学中至少有1名男生”，事件C＝“当选的2名同学中全部都是女生”，事件B，C为对立事件，
因为C＝{(a，b)}，∴P(C)＝，
∴P(B)＝1－P(C)＝1－＝.
即当选的2名同学中至少有1名男生的概率是.
21．解析：(1)设事件A为“第三局结束乙获胜”，
由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为.
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜).
故P(A)＝××＋××＝.
(2)设事件B为“甲获胜”．
若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率P1＝×＝.
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜).
此时的概率P2＝××＋××＝.
若第四局结束甲以积分(2分)获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：(胜，平，平，胜)，(平，胜，平，胜)，(平，平，胜，胜)，(胜，平，负，胜)，(胜，负，平，胜)，(平，胜，负，胜)，(负，胜，平，胜)，(平，负，胜，胜)，(负，平，胜，胜).
此时的概率P3＝××××3＋××××6＝.
若第四局结束甲以积分(1分)获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：(胜，平，平，平)，(平，胜，平，平)，(平，平，胜，平)，(平，平，平，胜).
此时的概率P4＝××××4＝，
故P(B)＝P1＋P2＋P3＋P4＝.
22．解析：(1)对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}共10种，
设小明只能答对4个问题的编号为：a，b，c，d，
则小明在第一轮得40分，有{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}共6种，
则小明在第一轮得40分的概率为＝；
(2)由(1)知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为1－＝，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分，
∴当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P1＝0.5×0.5×＝0.125；
P2＝×(0.4×0.6＋0.6×0.4)＝0.288；
当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P3＝0.5×0.5×0.5×0.5＝0.062 5；P4＝×0.4×0.4＝0.096；
当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P5＝×0.5×0.5＝0.125；P6＝×0.4×0.4＝0.064；
当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时，
小芳晋级复赛的概率分别为：
P7＝×0.5×0.5＝0.062 5；
∴小芳晋级复赛的概率为：P1＋P3＋P5＋P7＝0.125＋0.062 5＋0.125＋0.062 5＝0.375；
小明晋级复赛的概率为：P2＋P4＋P6＝0.288＋0.096＋0.064＝0.448；
∵0.448>0.375，
∴小明更容易晋级复赛．