初中数学北师大版八年级上册7 二次根式同步达标检测题

这是一份初中数学北师大版八年级上册7 二次根式同步达标检测题，文件包含专题24二次根式知识解读解析版docx、专题24二次根式知识解读原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

专题2.4 二次根式（知识解读）
【学习目标】
1. 了解二次根式的概念
2. 理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围
3. 掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简
4. 掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简。
5.掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法
6.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算
7.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算


【知识点梳理】
考点1 二次根式
1. 二次根式的概念
一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．
二次根式满足条件：
（1） 必须含有二次根号
（2） 被开方数必须是非负数
如都是二次根式。








考点2 二次根式的性质
1.的性质
符号语言

文字语言
一个非负数的算数平方根是非负数
提示
有最小值，为0

2.的性质

符号语言


应用
（1） 正用：

（2） 逆用：若a≥0，则

提示
逆用可以再实数范围内分解因式：如
3.的性质


符号语言
a（a＞0）
0（a=0)
-a(a＜0）

文字语言
任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
应用
（1） 正用：
（2） 逆用：








考点3最简二次根式
1. 最简二次根式的概念
（1） 被开方数不含分母
（2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式


2. 化简二次根式的一般方法
方法
举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方






化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数

若被开方数中含有小数，先将小数化成分数

若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算

(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解

（x≥0，y≥0）

3. 分母有理化
（1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。
考点4 二次根式的乘法法则
1. 二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
（1）
（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
考点5 二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
（1） a≥0，b＞0时，才有意义；
（2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数
2.二次根式的除法法则的推广


考点6 同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
1. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如

考点7 二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。

考点8 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【典例分析】
【考点1 二次根式意义】
【典例1-1】（2021秋•雨花区期末）二次根式有意义，那么（　　）
A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x≥﹣1 D．x≥1
【答案】D
【解答】解：由题意得：
x﹣1≥0，
∴x≥1，
故选：D．
【典例1-2】（2021秋•汝阳县期末）二次根式有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】B
【解答】解：根据题意得：x﹣2＞0，
解得，x＞2．
故选：B．
【典例1-3】（2021秋•东莞市期末）若式子有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x≥2 B．x≠3 C．x≤2或x≠3 D．x≥2且x≠3
【答案】D
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，
解得：x≥2，且x≠3，
故选：D．
【变式1-1】（2021秋•德惠市期中）若二次根式有意义，则下列各数符合要求的是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．4
【答案】B
【解答】解：∵7﹣x≥0，
∴x≤7，
故选：D．
【变式1-2】（2021秋•海口期中）若代数式有意义，a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2 D．a≥﹣2且a≠0
【答案】D
【解答】解：由题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥﹣2且a≠0，
故选：D．
【变式1-3】（2021春•恩施市期末）成立的条件是（　　）
A．﹣1≤a≤1 B．a≤﹣1 C．a≥1 D．﹣1＜a＜1
【答案】A
【解答】解：由题意可得：，
解得：﹣1≤a≤1．
故选：A
【典例2】（2021秋•射洪市期中）已知，则的算术平方根是（　　）
A． B． C．±2 D．2
【答案】D
【解答】解：由题意得：b﹣8≥0，8﹣b≥0，
解得：b＝8，
则a＝2，
∴＝＝4，
∵4的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2，
故选：D．
【变式2-1】（2021秋•青羊区期末）如果y＝+﹣2，那么xy的值是 　 　．
【答案】
【解答】解：由题意得：5﹣x≥0，x﹣5≥0，
则x＝5，
∴y＝﹣2，
∴xy＝，
故答案为：．
【变式2-2】（2017春•武城县校级月考）若y＝2++2，则y﹣x＝　 　．
【答案】-3
【解答】解：由题意得：，
解得：x＝5，
则y＝2，
y﹣x＝﹣3，
故答案为：﹣3
【考点2 二次根式的性质】
【典例3】计算：

（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
【答案】（1） （2）48 （3） 6（4） （5） （6）
【解答】（1） =
（2） =
（3） =
（4） =
（5）
（6） =
【变式3-1】（2021秋•青神县期末）化简： 得（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【答案】A
【解答】解：∵＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【变式3-2】（2021秋•滨江区校级期中）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、原式＝2，故此选项符合题意；
B、原式＝1，故此选项不符合题意；
C、原式＝2，故此选项不符合题意；
D、原式＝4，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式3-3】（2021秋•浦东新区期末）计算：＝　3﹣　．
【答案】3﹣
【解答】解：＝3﹣．
故答案为：3﹣．
【典例4】（2021秋•奉贤区校级期中）若，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．x＜
【答案】C
【解答】解：∵＝|3x﹣2|＝2﹣3x，
∴3x﹣2≤0，
∴x≤．
故选：C．
【变式4-1】（2021秋•青羊区校级期中）在实数范围内要使＝a﹣2成立，则a的取值范围是（　　）
A．a＝2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2
【答案】C
【解答】解：原式＝|a﹣2|＝a﹣2，
∴a﹣2≥0，
解得：a≥2，
故选：C．
【变式4-2】（2021春•利川市期末）已知实数a满足，则下列结论正确的是（　　）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a≥﹣3 D．a＞﹣3
【答案】A
【解答】解：∵实数a满足，
∴a+3≤0，
∴a≤﹣3，
故选：A．
【典例5】（2021春•木兰县期末）若x＜1，则化简+|4﹣x|的正确结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x
【答案】D
【解答】解：∵x＜1，
∴x﹣2＜﹣1＜0，﹣x＞﹣1，
∴4﹣x＞﹣1+4，
即4﹣x＞3＞0，
∴+|4﹣x|
＝|x﹣2|+4﹣x
＝﹣（x﹣2）+4﹣x
＝﹣x+2+4﹣x
＝6﹣2x．
故选：D．
【变式5-1】（2021秋•隆昌市校级期中）当1＜x＜4时，化简结果是（　　）
A．﹣3 B．3 C．2x﹣5 D．5
【答案】C
【解答】解：当1＜x＜4时，1﹣x＜0，x﹣4＜0，
∴
＝|1﹣x|﹣|x﹣4|
＝x﹣1+x﹣4
＝2x﹣5，
故选：C．
【变式5-2】（2021春•亳州期末）实数p在数轴上的位置如图所示，化简﹣等于（　　）

A．2 B．2p﹣4 C．4﹣2p D．4
【答案】B
【解答】解：由题知：1＜p＜2．
∴p﹣1＞0，p﹣3＜0．
∴，．
∴＝（p﹣1）﹣（3﹣p）＝p﹣1﹣3+p＝2p﹣4．
故选：B．
【变式5-3】（2021秋•安岳县校级月考）若2＜a＜3，则等于（　　）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
【答案】C
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．


【考点3 最简二次根式】
【典例6】把下列二次根式化成最简二次根式：

（1） （2） （3）
【答案】略
【解答】

【变式6-1】（2021秋•武侯区期末）下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A.＝，故A不符合题意；
B.＝2，故B不符合题意；
C.＝，故C不符合题意；
D.，是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【变式6-2】（2021春•饶平县校级期末）将二次根式化为最简二次根式为　 　．
【答案】．
【解答】解：＝＝＝，
故答案为：．
【考点4 二次根式的乘法运算】
【典例7】计算：
（1） ×； （2）4×；
（3）6×（﹣3）； （4）3×2．
【答案】（1）4 （2）4． （3）-72 （4）30．
【解答】解：（1）原式＝＝＝4．
（2）原式＝4＝4．
（3）原式＝6×（﹣3）×＝﹣18×4＝﹣72．
（4）原式＝3×2×＝30．
【变式7-1】计算：
（1）×3 （2）2×
【答案】（1） （2）；
【解答】（1）×3 ＝×2×3＝×3a＝；
（2）2×＝×＝；
【变式7-2】（2021•绵阳）计算×的结果是（　　）
A．6 B．6 C．6 D．6
【答案】D
【解答】解：×
＝
＝
＝6，
故选：D．
【典例8-1】计算：
（1）． （2）． （3）．
【答案】（1）66 （2）20 （3）
【解答】解（1）＝×＝11×6＝66．
（2）原式＝＝4×5＝20．
（3）原式＝×＝×＝．
【典例8-2】化为最简二次根式　 　．
【答案】10
【解答】解：＝＝×＝10．
故答案为：10．
【变式8-】计算：
（1） （2）
【答案】（1）96 （2）2x
【解答】解：（1）＝×＝6×16＝96；

（2）＝2x；
【变式8-2】（2021秋•济南期末）将二次根式化为最简二次根式　　．
【答案】2
【解答】解：，
故答案为：2．
【考点5 二次根式的除法运算】
【典例9-1】计算：
（1）； （2）4÷2． （3）
（4）．
【答案】（1）5 （2） （3） （4）6a．
【解答】（1）＝＝＝5；
（2）4÷2＝＝2＝．
（3）原式＝＝
（4）原式＝2××2＝＝6a．
【典例9-2】化简：

（1） （2） （3）
【答案】（1）2． （2）； （3）
【解答】（1）原式＝6×＝2．
（2）＝＝；
（3）

【变式9-1】（2021秋•徐汇区校级月考）计算：÷＝　　．
【答案】2
【解答】解：原式＝，

【变式9-2】（2021秋•宝山区校级月考）计算：÷＝　　．
【答案】3
【解答】解：÷＝＝＝3．
故答案为：3．
故答案为：2．
【变式9-3】计算：
（1）÷ （2）÷ （3） （4）．
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解答】（1）原式＝×＝＝；
（2） ÷＝2×＝；
（3） ＝；
（4）＝＝．
【考点6 二次根式的加减法运算】
【典例10】计算：
（1）4． （2）
（3） +6﹣（）． （4）．
【答案】 （1） ．（2） +． （3）． （4）﹣．
【解答】解：（1）原式＝＝．
（2）原式＝3+2﹣6×﹣3×＝3+2﹣2﹣＝+．
（3）原式＝+2﹣（2﹣）＝+2﹣2+＝．
（4）原式＝•6+2•﹣4x•＝2+﹣4＝﹣．
【变式10-1】计算：（2021春•庆阳期末）计算：2﹣+．
【解答】解：原式＝6﹣4+5
＝7．
【变式10-2】（2021春•饶平县校级期末）+﹣．
【解答】解：原式＝3+2﹣4
＝3﹣2．
【变式10-3】计算：
（1）； （2）．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+＝2；
（2）原式＝•3+6×﹣x•＝2+3﹣＝4．

【考点7 二次根式的混合运算】
【典例11】计算：
（1）（+）÷； （2）（3+）（﹣）；
（3）（π﹣3.14）0﹣（）﹣2+﹣．
【答案】（1）5 （2） （3）
【解答】解：（1）（+）÷＝＝＝5；
（2）（3+）（﹣）＝﹣+﹣＝；
（3）（π﹣3.14）0﹣（）﹣2+﹣＝1﹣4+3﹣＝．
【变式11-1】计算：
（1）（﹣3）÷； （2）（7﹣4）（2﹣）．
【答案】（1）-5 （2）26﹣15
【解答】解：（1）（﹣3）÷
＝÷﹣3÷
＝﹣3
＝4﹣3×3
＝4﹣9
＝﹣5；
（2）（7﹣4）（2﹣）
＝14﹣7﹣8+12
＝26﹣15．
【变式11-2】（2021秋•芗城区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1） 2+3 （2）
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣2+3＝2+3；
（2）原式＝﹣﹣（﹣1）＝﹣﹣+1＝．
【典例12】计算：
（1）（2﹣1）2+（+1）（﹣1）． （2）（+）（﹣）+|﹣1|．
【答案】（1） 10﹣4． （2）．
【解答】（1）原式＝8﹣4+1+2﹣1＝10﹣4．
（2）原式＝3﹣2+﹣1＝．
【变式12】计算：
（1） （2）（﹣1）2
（3）（+）（﹣）﹣（+3）2．
【解答】解：（1）原式＝（2）2﹣（）2
＝20﹣3
＝17；
（2） 原式=2﹣2+1
=1+
（3）原式＝7﹣5﹣（3+6+18）
＝2﹣21﹣6
＝﹣19﹣6