高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数教课内容课件ppt

课后素养落实(十四)　二倍角的三角函数

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．sin 10°sin 50°sin 70°＝(　　)

A．  B．  C．  D．

C　[sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°＝＝＝．]

2．已知sin ＝cos ，则cos 2α＝(　　)

A．1  B．－1  C．  D．0

D　[因为sin ＝cos ，所以cos α－sin α＝cos α－sin α，即sin α＝－cos α，所以tan α＝＝－1，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0，故选D． ]

3．设cos 2θ＝，则cos4θ＋sin4θ＝(　　)

A．  B．  C．  D．

C　[cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)

＝＋cos22θ＝＋×＝．]

4．若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝(　　)

A．  B．  C．  D．

A　[由tan θ＋＝＋＝＝4，

得sin θcos θ＝，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×＝．]

5．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α＝(　　)

A．  B．1  C．  D．

D　[∵sin2α＋cos 2α＝，

∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，

∴cos2α＝．

又α∈，

∴cos α＝，sin α＝．∴tan α＝．]

二、填空题

6．已知tan＝，tan＝－，则tan(α＋β)＝________．

　[∵tan＝tan

＝

＝＝，

∴tan(α＋β)＝＝＝．]

7．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．

　[∵α为锐角，

∴α＋∈，

又∵cos＝，

∴sin＝，

∴sin＝2sincos＝，

cos＝2cos2－1＝，

∴sin

＝sin

＝sincos －cossin

＝×－×＝．]

8．若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝________．

　[由2sin2θ＋sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋sin 2θ＝－，得cos 2θ－sin 2θ＝，

2cos＝，即cos＝，

又θ∈，

所以2θ＋∈，

则tan＝，

所以tan＝tan

＝＝．]

三、解答题

9．已知sin α＋cos α＝，0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．

[解]　∵sin α＋cos α＝，

∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，

∴sin 2α＝－且sin αcos α＝－<0．

∵0<α<π，sin α>0，

∴cos α<0．

∴sin α－cos α>0．

∴sin α－cos α＝＝

＝．

∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)＝×＝－．

tan 2α＝＝．

10．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．

(1)求a，θ的值；

(2)若f ＝－，α∈，求sin的值．

[解]　(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝，所以f(x)＝－sin 2x(a＋2cos2x)，

由f ＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1．

(2)由(1)得，f(x)＝－sin 4x，

因为f ＝－sin α＝－，即sin α＝，

又α∈，从而cos α＝－，

所以有sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝．

11．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)

A．8  B．4  C．2  D．1

C　[因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°．

所以＝＝＝＝＝2．故选C．]

12．(多选题)下列各式中，值为的是(　　)

A．2sin15°cos15°　   B．

C．1－2sin215°　   D．

BCD　[2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；

＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝；

1－2sin2 15°＝cos 30°＝；

＝·＝tan 30°＝．

故选BCD．]

13．化简：－sin 10°＝___________．

　[原式＝－sin 10°

＝－sin 10°×

＝

＝

＝＝．]

14．已知cos＝，则sin＝________，sin 2α＝________．

　－　[sin＝cos＝，

sin 2α＝－cos＝2sin2－1＝2×－1

＝－．]

15．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．

[解]　∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，

∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30 m．

又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，

∴∠CAD＝2θ，

∴AD＝CD＝10 m．

∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10sin 4θ(m)，

在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，

∴10sin 4θ＝30sin 2θ，

即20sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，

∴cos 2θ＝，

又2θ∈，

∴2θ＝，∴θ＝，

∴AE＝30sin＝15(m)，

∴θ＝，建筑物AE的高为15 m．