数学必修 第二册第11章 解三角形11.1 余弦定理课文配套课件ppt

11.1　余弦定理

知识点1　余弦定理

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

即a2＝b2＋c2－2bccos A，

b2＝c2＋a2－2cacos B，

c2＝a2＋b2－2abcos C．

1．根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C．              ①

试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？

[提示]　当a＝b＝c时，C＝60°，

a2＋b2－2abcos C＝c2＋c2－2c·ccos 60°＝c2，

即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcos C．

1．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则a＝________．

1　　[a＝＝1．]

知识点2　余弦定理的变形

(1)余弦定理的变形

cos A＝，

cos B＝，

cos C＝．

(2)余弦定理与勾股定理的关系

在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．

2．勾股定理和余弦定理有何联系与区别？

[提示]　二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．

2．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，则B＝________．

60°　[∵cos B＝＝＝，∴B＝60°．]

3．在△ABC中，若b2＋c2－a2<0，则△ABC必为________三角形．

钝角　[∵cos A＝<0，

∴A∈(90°，180°)．

∴△ABC为钝角三角形．]

知识点3　解三角形

(1)一般地，我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．

(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．

4．在△ABC中，若a＝5，c＝4，cos A＝，则b＝________．

6　[由余弦定理可知

25＝b2＋16－2×4bcos A，

即b2－b－9＝0，

解得b＝6(舍负)．]

类型1　已知两边与一角解三角形

【例1】　(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________ cm；

(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________．

(1)60　(2)4或5　[(1)由余弦定理得：

a＝ ＝60(cm)．

(2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，

所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．]

1．已知两边和夹角求第三边，直接利用余弦定理计算，已知两边和其中一边所对的角，求第三边，利用余弦定理列方程求解．

2．已知三角形的两边及一角解三角形的方法， 先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角．

[跟进训练]

1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．

[解]　根据余弦定理得，

b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，∴b＝2．

又∵cos A＝＝＝，

∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°．

类型2　已知三边解三角形

【例2】　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C．

[解]　根据余弦定理，cos A＝

＝＝．

∵A∈(0，π)，

∴A＝．

cos C＝

＝＝，

∵C∈(0，π)，∴C＝．

∴B＝π－A－C＝π－－＝，

∴A＝，B＝，C＝．

1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．

2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．

[跟进训练]

2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．

[解]　已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，

令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，

由余弦定理的推论，得cos A＝

＝＝．

∵0°<A<180°，∴A＝45°．

cos B＝

＝＝，

∵0°<B<180°，∴B＝60°．

∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°．

∴A＝45°，B＝60°，C＝75°．

类型3　余弦定理的综合应用

【例3】　(对接教材P87例5)在△ABC中，若(a－ccos B)·b＝(b－ccos A)·a，判断△ABC的形状．

从余弦定理的变形入手，化角为边，便可以得到a，b，c的关系，进而可判断三角形的形状.

[解]　∵(a－ccos B)·b＝(b－ccos A)·a，

∴由余弦定理可得：

·b＝·a，

整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，

即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，

∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2．

∴a2＋b2＝c2或a＝b．

故△ABC为直角三角形或等腰三角形．

判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

[跟进训练]

3．在△ABC中，b＝ccos A，则△ABC一定为(　　)

A．等边三角形

B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

C　[由b＝ccos A和余弦定理可知b＝c·，即a2＋b2＝c2，

∴△ABC一定是直角三角形，故选C．]

1．在△ABC中，a2＝b2＋c2－bc，则A＝(　　)

A．  B．  C．  D．

B　[∵a2＝b2＋c2－bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，

∴2bccos A＝bc，

∴cos A＝，

又A∈(0，π)，

∴A＝，故选B．]

2．在△ABC中，若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形  B．钝角三角形

C．直角三角形  D．不能确定

A　[∵a＝4，b＝5，c＝6，∴a2＋b2－c2＝16＋25－36>0，即最大角的余弦cos C>0，故△ABC为锐角三角形，故选A．]

3．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)

A．  B．  C．  D．

B　[由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos C＝＝＝，所以C＝，故选B．]

4．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________．

2　[根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝2．]

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝a，则cos A＝________．

　[由B＝C，2b＝a，可得b＝c＝a，

所以cos A＝＝＝．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．用余弦定理可以解决哪几种解三角形的题型？

[提示]　(1)已知三边解三角形；

(2)已知两边及一角解三角形．

2．余弦定理常见的变形有哪些？

[提示]　如(1)a2＋b2－c2＝2abcos C；

(2)a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos A；

(3)cos A＝．

3．如何利用余弦定理判断三角形的形状？

[提示]　(1)若已知三边a，b，c的长，可以利用限制最大角的方式判断，如若a>b>c，则

b2＋c2－a2>0，则△ABC为锐角三角形；

b2＋c2－a2＝0，则△ABC为直角三角形；

b2＋c2－a2<0，则△ABC为钝角三角形．

(2)若已知等量关系，可以借助余弦定理及其变形，化角为边处理．