人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词优秀课后练习题

1.5.1   全称量词与存在量词

 基  础  练                                                                               

     巩固新知    夯实基础

1.下列命题中，存在量词命题的个数是(　　)

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．0             B．1              C．2   D．3

2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是(　　)

A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2        B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2

C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2      D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2

3.下列全称量词命题中真命题的个数为(　　)

①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．1              B．2               C．3           D．4

4.（多选）下列命题是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的是(　　)

A.有一个x∈R,使得x2>3成立         B.对有些x∈R,x2>3成立

C.任选一个x∈R,都有x2>3成立       D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立

5.“存在集合A，使∅A”，对这个命题，下面说法中正确的是 (　　)

A.全称量词命题、真命题             B.全称量词命题、假命题

C.存在量词命题、真命题             D.存在量词命题、假命题

6.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（       ）

A． B． C． D．

7.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．

8.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．

(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；

(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；

(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；

(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．

 能  力  练                                                                                

综合应用   核心素养

9.下列存在量词命题是假命题的是(　　)

A．存在x∈Q，使2x－x3＝0

B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0

C．有的素数是偶数

D．有的有理数没有倒数

10.已知a>0，则“x0满足关于x的方程ax＝b”的充要条件是(　　)

A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0

B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0

C．∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0

D．∀x∈R，ax2－bx≤ax－bx0

11.已知函数y＝x2＋bx＋c，则“c<0”是“∃x0∈R，使x＋bx0＋c<0”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

12.若命题“∃x∈R,使得x2+2x-3m=0”为真命题,则实数m的取值范围是　　　　　. 

13.若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是______

14．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．

15.若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

16.已知命题p:∀x∈R,x2-2x+a≥0,命题q:∃x∈R,x2+x+2a-1=0,若p为真命题,q为假命题,求实数a的取值范围.

【参考答案】

1.B 解析：命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．

2.D 解析：全称量词命题含有量词“∀”,故排除A,B,又等式a2+b2+2ab=(a+b)2对全体实数都成立.故选D.

3.C 解析：①②③为真命题．

4.ABD

5.C解析：当A≠∅时，∅A，是存在量词命题，且为真命题.故选C.

6.AB 解析：若“，”为真命题，则，，∴，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是a的取值范围为的真子集．故选：AB．

7.(－∞，3] 解析：对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.

8.(1)∀x∈R，使x2＋x＋1>0；真命题．

(2)∀a，b∈R，使ax＋b＝0恰有一解；假命题．如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．

(3)∃x，y∈Z，使3x－2y＝10；真命题．

(4)∀x∈Q，使x2＋x＋1是有理数；真命题．

9.B解析：对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立．

10.C 解析：由于a>0，令函数y＝ax2－bx＝a2－，故此函数图象的开口向上，且当x＝时，取得最小值－，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝，故∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0，故选C.

11.A 解析：∃x0∈R，使x＋bx0＋c<0的充要条件是x＋bx0＋c<0有解，即b2－4c>0,4c<b2.所以当c<0时，一定有4c<b2，即∃x0∈R，使x＋bx0＋c<0.反之当∃x0∈R，使x＋bx0＋c<0时，只要4c<b2即可，不一定c<0.故选A.

12.m≥- 解析：由题意知Δ=4-4×(-3m)=4+12m≥0,解得m≥-.

13. 解析：因为命题“，”是真命题，所以不等式在上恒成立.由函数的图象是一条开口向上的抛物线可知，判别式即，所以实数的取值范围是.故答案为：.

14. {a|a<－1} 解析：依题意，得即∴a<－1.

15.解①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；

②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0时，a∈[－1,1].

16. 解：x2-2x+a=(x-1)2+a-1,若p是真命题,则a-1≥0,即a≥1.

若q为假命题,则Δ=1-4×(2a-1)=5-8a<0,

即a>.故a≥1.所以实数a的取值范围为a≥1.