人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词同步练习题

1.5.1   全称量词与存在量词

 基  础  练                                                                               

     巩固新知    夯实基础

1.下列命题是全称量词命题的个数是(　　)

①任意两个有理数之间都有另一个有理数;②有些无理数的平方也是无理数;③对顶角相等.

A.0 B.1 C.2 D.3

2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是(　　)

A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2        B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2

C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2      D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2

3.下列全称量词命题中真命题的个数为(　　)

①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．1  B．2  C．3  D．4

4.（多选）下列命题是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的是(　　)

A.有一个x∈R,使得x2>3成立         B.对有些x∈R,x2>3成立

C.任选一个x∈R,都有x2>3成立       D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立

5.“存在集合A，使∅A”，对这个命题，下面说法中正确的是 (　　)

A.全称量词命题、真命题             B.全称量词命题、假命题

C.存在量词命题、真命题             D.存在量词命题、假命题

6.若存在x∈R,使x2+2x+a<0,则实数a的取值范围是       .

A.a<1 B.a≤1 C.-1<a<1 D.-1<a≤1

7.对每一个x1∈R，x2∈R，且x1<x2，都有<是_______(填“全称”或“存在”)量词命题，是_______(填“真”或“假”)命题. 

8.用符号“∀”或“∃”表示下列命题,并判断真假:

(1)实数的平方大于或等于0;

(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立;

(3)勾股定理.

 能  力  练                                                                                

综合应用   核心素养

9.下列存在量词命题是假命题的是(　　)

A．存在x∈Q，使2x－x3＝0

B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0

C．有的素数是偶数

D．有的有理数没有倒数

10.给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是(　　)

A．四个命题都是真命题

B．①②是全称量词命题

C．②③是存在量词命题

D．四个命题中有两个假命题

11.(多选)下列命题是真命题的为 (　　)

A.∀x∈R，-x2-1<0

B.∀n∈Z，∃m∈Z，nm=m

C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

D.存在实数x，使得=

12.下面四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；

③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.

其中真命题的个数为(　　)

A.3    B.2     C.1    D.0

13.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．

14.若命题“∃x∈R,使得x2+2x-3m=0”为真命题,则实数m的取值范围是　　　　　. 

15.若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

16.已知命题p:∀x∈R,x2-2x+a≥0,命题q:∃x∈R,x2+x+2a-1=0,若p为真命题,q为假命题,求实数a的取值范围.

【参考答案】

1.C解析：命题①含有全称量词,而命题③可以叙述为“所有的对顶角都相等”.故有2个全称量词命题.

2.D 解析：全称量词命题含有量词“∀”,故排除A,B,又等式a2+b2+2ab=(a+b)2对全体实数都成立.故选D.

3.C 解析：①②③为真命题．

4.ABD

5.C解析：当A≠∅时，∅A，是存在量词命题，且为真命题.故选C.

6.a<1 解析：由题意知函数y=x2+2x+a的图象有在x轴下方的部分,即Δ=4-4a>0,解得a<1,故实数a的取值范围是a<1.

7.全称　假 解析：含有全称量词“每一个”，是全称量词命题，令x1=-1，x2=0，则>，故此命题是假命题.

8.解：(1)是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.

∀x∈R,x2≥0.是真命题.

(2)∃x∈R,y∈R,2x-y+1<0,是真命题.

如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.

(3)是全称量词命题,所有直角三角形都满足勾股定理,即∀Rt△ABC,a,b为直角边长,c为斜边长,a2+b2=c2,是真命题.

9.B解析：对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立．

10.C 解析：①④为全称量词命题；②③为存在量词命题；①②③为真命题；④为假命题．

11.ABC 解析：对于A，∀x∈R，-x2≤0，所以-x2-1<0，此命题是真命题；

对于B，当m=0时，nm=m恒成立，此命题是真命题；对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，此命题是真命题.对于D，因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2，所以≤<.故该命题是假命题.

12.D解析：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.

∵当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.

对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.

4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.

∴①②③④均为假命题.

13.(－∞，3] 解析：对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.

14.m≥- 解析： 由题意知Δ=4-4×(-3m)=4+12m≥0,解得m≥-.

15.解①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；

②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0时，a∈[－1,1].

16. 解：x2-2x+a=(x-1)2+a-1,若p是真命题,则a-1≥0,即a≥1.

若q为假命题,则Δ=1-4×(2a-1)=5-8a<0,

即a>.故a≥1.所以实数a的取值范围为a≥1.