高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性图文ppt课件

第2课时　函数的平均变化率

知识点一　直线的斜率

(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．

(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于 x轴的倾斜程度．

1．(1)过函数图像上两点A(－1,3)，B(2,3)的斜率＝________.

(2)过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率为1，则m的值为________．

(1)0　(2)1　[(1)＝＝0.

(2)由直线的斜率公式得＝1，即＝1，解得m＝1．]

知识点二　平均变化率与函数单调性

1．平均变化率与函数单调性

若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：

(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立；

(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立．

当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．

(1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．

(2)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2,2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2,2]上的图像先下降后上升，值域是[0,4]．

(3)平均变化率的几何意义是函数y＝f(x)图像上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率．

(4)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”．

2．平均变化率的物理意义

(1)把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝.

(2)把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即＝.

2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a. (　　)

(2)函数y＝f(x)的平均变化率＝的几何意义是过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率． (　　)

(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率．

  (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

[提示]　(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为＝＝＝a.

(2)由平均变化率的几何意义可知＝表示过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率．

(3)过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x1≠x2.

3.如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为(　　)

A．1　　　　　　 B．－1

C．2 D．－2

B　[＝＝＝－1．]

4.(对接教材P99例4)一次函数y＝－2x＋3在R上是________函数．(填“增”或“减”)

减　[任取x1，x2∈R且x1≠x2.∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2

＋3，∴＝＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是减函数．]

类型1　平均变化率的计算

【例1】　一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．

[思路点拨]　由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．

[解]　设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为：

ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，所以平均膨胀率＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.

求平均变化率的3个步骤

(1)求出或者设出自变量的改变量．

(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量．

(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．

1．路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．

(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；

(2)求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率．

[解]　(1)如图所示，设此人从C点运动到B点的距离为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则＝，即＝，所以y＝0.25x.

(2)84 m/min＝1.4 m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10 s内平均变化率＝＝0.35(m/s)，

即此人离开灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35 m/s.

类型2　利用平均变化率判断或证明函数的单调性

【例2】　若函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)＞0，求证：g＝在I上为减函数．

[思路点拨]　由y＝f(x)在I上为增函数的充要条件可得＞0，再证＜0即可．

[证明]　任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)，∵函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数，∴Δy＞0，＞0，

∴Δg＝g(x2)－g(x1)＝－＝.

又∵f(x)＞0，∴f(x1)f(x2)＞0且f(x1)－f(x2)＜0，

∴Δg＜0，∴＜0，故g＝在I上为减函数．

利用函数的平均变化率判断或证明单调性分哪4个步骤？

[提示]　(1)取值：任取x1，x2∈D，且x1≠x2.

(2)计算：求f(x2)－f(x1)，.

(3)判符号：根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性．

(4)下结论：若>0，则f(x)在I 上是增函数；若<0，则f(x)在I上是减函数．

2．已知函数f(x)＝1－，x∈[3,5]，判断函数f(x)的单调性，并证明．

[解]　由于y＝x＋2在[3,5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f(x)＝1－在[3,5]上为增函数．

证明过程如下：

任取x1，x2∈[3,5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，

则Δy＝f(x2)－f(x1)＝1－－＝－＝.

∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，

∴Δy＞0，∴＞0，故函数f(x)在[3,5]上是增函数．

类型3　二次函数的单调性最值问题

1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系？试画草图给予说明．

[提示]　

2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？

[提示]　若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－与区间[m，n]的关系．

【例3】　已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．

[思路点拨]　

[解]　因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图像开口向上，其对称轴为x＝，

当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；

当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1．

二次函数在闭区间上的最值

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：

1．函数f(x)在区间[－2，－1]上满足＞0，且图像关于y轴对称，则函数f(x)在区间[1,2]上(　　)

A．单调递增，且有最小值f(1)

B．单调递增，且有最大值f(1)

C．单调递减，且有最小值f(2)

D．单调递减，且有最大值f(2)

C　[∵函数f(x)在区间[－2，－1]上满足＞0，∴函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数．

∵其图像关于y轴对称，∴函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)min＝f(2)，f(x)max＝f(1)．故选C．]

2．函数f(x)＝从1到4的平均变化率为(　　)

A． B．

C．1 D．3

A　[Δy＝－＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为＝.故选A．]

3．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)

A．4 B．4Δx

C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2

C　[∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2－4)＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4，故选C．]

4．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是(　　)

B　[由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．]

5．汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是1，2，3，则三者的大小关系为________．

1<2<3　[∵1＝＝kOA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由题图得kOA<kAB<kBC，

∴1<2<3.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．平均变化率中对Δx，Δy，你是怎样理解的？

[提示]　(1)函数f(x)应在x1，x2处有定义；

(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；

(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；

(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．

2．判断函数y＝f(x)在I上单调性的充要条件是什么？

[提示]　(1)y＝f(x)在I上单调递增的充要条件是＞0恒成立；

(2)y＝f(x)在I上单调递减的充要条件是＜0恒成立．