人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试达标测试

2022-2023人教版数学八年级上册第十二章全等三角形 单元检测

一．选择题（共9小题）

1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA

2．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS

3．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（　　）

A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE

4．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D

5．如图，要判断一块纸带的两边a，b相互平行，甲、乙、丙三人的折叠与测量方案如下：

下列判断正确的是（　　）

A．甲、乙能得到a∥b，丙不能 

B．甲、丙能得到a∥b，乙不能 

C．乙、丙能得到a∥b，甲不能 

D．甲、乙、丙均能得到a∥b

6．如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（　　）

①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE

A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤

7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

8．如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线，嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（　　）

A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对

9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤

二．填空题（共5小题）

10．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是 　   　（只需写一个，不添加辅助线）．

11．如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝　   　度．

12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点F，且AC＝BF，DF＝DC．若∠ABE＝10°，则∠DBF的度数为 　   　．

13．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　   　cm．

14．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为　   　cm．

三．解答题（共7小题）

15．已知等边△AOB和△COD．

求证：AC＝BD．

16．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．

17．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，已知AC＝5，BC＝2，求AD的长．

18．如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM．

（1）求证：AE＝BF．

（2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．

（1）求证：△ABF≌△ACG；

（2）求证：BE＝CG+EG．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．

（1）求证：△ABD≌△DCE；

（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．

21．综合与探究

如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．

故选：D．

2．【解答】解：由题意可得，

OC＝OD，MC＝MD，

又∵OM＝OM，

∴△OMC≌△OMD（SSS），

故选：A．

3．【解答】解：∵OB平分∠AOC，

∴∠DOE＝∠FOE，

又OE＝OE，

若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，

而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，

增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，

增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，

故选：D．

4．【解答】解：∵AC∥DF，

∴∠A＝∠D，

∵AC＝DF，

∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；

当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；

当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．

故选：B．

5．【解答】解：甲、∵∠1＝∠2，

∴a∥b（内错角相等，两直线平行），

乙、由∠1＝∠2，不能判定a∥b，

丙、在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴∠CAO＝∠DBO，

∴a∥b，

故选：B．

6．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，故①正确；

∵AD为△ABC的中线，

∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；

在△BDF和△CDE中，

，

∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；

∴∠F＝∠DEC，

∴BF∥CE，故④正确；

∵△BDF≌△CDE，

∴CE＝BF，故⑤错误，

故选：C．

7．【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝30（cm2），即×13×DE+×7×DF＝30，

解得DE＝DF＝3cm，

故选：A．

8．【解答】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确．

淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，

故选：C．

9．【解答】解：∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，

∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，

∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，

∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，

故①小题正确；

如图，延长AE交BC延长线于F，

∵∠AEB＝90°，

∴BE⊥AF，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠FBE，

在△ABE与△FBE中，

，

∴△ABE≌△FBE（ASA），

∴AB＝BF，AE＝FE，

∵AD∥BC，

∴∠EAD＝∠F，

在△ADE与△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA），

∴AD＝CF，

∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，故②小题正确；

∵△ADE≌△FCE，

∴CE＝DE，即点E为CD的中点，

∵BE与CE不一定相等

∴BE与CD不一定相等，故③小题错误；

若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，

∵AD与BC不一定相等，

∴BC与CE不一定相等，故④小题错误；

∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，

∴BE的取值范围为0＜BE＜x，故⑤小题正确．

综上所述，正确的有①②⑤．

故选：D．

二．填空题（共5小题）

10．【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，

∴当添加AD＝CF或AC＝DF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．

故答案为：AD＝CF（或AC＝DF）．

11．【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，

∴∠OMB＝∠ONB＝90°，

在Rt△OMB和Rt△ONB中，

，

∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），

∴∠OBM＝∠OBN，

∵∠ABC＝30°，

∴∠ABO＝15°．

方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，

又∵OM＝ON，

∴OB平分∠ABC，

∴∠OBM＝∠OBN，

∵∠ABC＝30°，

∴∠ABO＝15°．

故答案为：15．

12．【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠BDF＝∠ADC＝90°，

在Rt△BDF和Rt△ADC中，

，

∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），

∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠DAB＝45°，

∵∠ABE＝10°，

∴∠DBF＝∠ABD﹣∠ABE＝45°﹣10°＝35°．

故答案为：35°．

13．【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，

∴∠BCE＝∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，

∴DE＝DC+CE＝30（cm），

答：两堵木墙之间的距离为30cm．

故答案为：30．

14．【解答】解：设BM＝2t，则BN＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△ACM与△BMN全等，可分两种情况：

情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，

∵BN＝AM，AB＝20，

∴3t＝20﹣2t，

解得：t＝4，

∴AC＝BM＝2t＝2×4＝8；

情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，

∵BM＝AM，AB＝20，

∴2t＝20﹣2t，

解得：t＝5，

∴AC＝BN＝3t＝3×5＝15，

综上所述，AC＝8或AC＝15．

故答案为：8或15．

三．解答题（共7小题）

15．【解答】证明：∵△AOB和△COD是等边三角形，

∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝60°，

∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，

∴∠AOC＝∠BOD，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴AC＝BD．

16．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，

∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，

在△BAC与△EAD中，

，

∴△BAC≌△EAD（SAS），

∴∠D＝∠C＝50°．

17．【解答】解：∵AC＝5，△ACE≌△DBF，

∴BD＝AC＝5，

∵BC＝2，AC＝5，

∴AB＝AC﹣BC＝5﹣2＝3，

∴AD＝BD+AB＝5+3＝8．

18．【解答】（1）证明：∵BF∥AE，

∴∠EAM＝∠FBM，

在△AME和△BMF中，

，

∴△AME≌△BMF（AAS），

∴AE＝BF；

（2）解：∵△AME≌△BMF，

∴AE＝BF，EM＝FM，∠BFM＝∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠BFD＝90°，

在△AEC和△BFD中，

，

∴△AEC≌△BFD（ASA），

∴EC＝FD，

∴EC﹣CF＝FD﹣CF，

即EF＝CD＝4，

∴EM＝EF＝2．

19．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAG，

在△ABF和△ACG中，

，

∴△ABF≌△ACG（ASA）；

（2）证明：∵△ABF≌△ACG，

∴AF＝AG，BF＝CG，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAD＝∠CAG，

∴∠CAD＝∠CAG，

在△AEF和△AEG中，

，

∴△AEF≌△AEG（SAS）．

∴EF＝EG，

∴BE＝BF+FE＝CG+EG．

20．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△ABD与△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（AAS）；

（2）解：∵△ABD≌△DCE，

∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，

∵AC＝AB，

∴AC＝5，

∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．

21．【解答】解：（1）△ACP≌△BPO，PC⊥PQ．

理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴∠A＝∠B＝90°，

∵AP＝BQ＝2，

∴BP＝7，

∴BP＝AC，

在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS），

∴∠C＝∠BPQ，

∵∠C+∠APC＝90°，

∴∠APC+∠BPQ＝90°，

∴∠CPQ＝90°，

∴PC⊥PQ；

（2）①若△ACP≌△BPQ，

则AC＝BP，AP＝BQ，

可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，

解得：x＝2，t＝1；

②若△ACP≌△BQP，

则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t

解得：，．

综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或