高中人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用复习练习题

专题5.3.2  函数的极值和最大（小）值

知识储备

1．函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

2．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

3常用结论

1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.

2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.

3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单选题

1．（2020·大同市煤矿第四中学校高三期中（文））已知函数，则（    ）

A．函数的极大值点为

B．函数在上单调递减

C．函数在上有3个零点

D．函数在原点处的切线方程为

【答案】D

【解析】A选项：由，得，令，

得，故，，为减函数，

，，为增函数，所以

是函数的极小值点，无极大值点，故A错；

B选项:  当，为减函数，故B错；

C选项：由函数单调性可知函数至多有两个零点，故C错；

D选项：切线斜率，所以切线方程为，D正确.故选：D

2．（2020·全国高二课时练习）已知函数的图象与轴相切于点，则的极小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题知，由于函数的图象与轴相切于点，则，解得，

，，

令，可得或，列表如下：

所以，函数的极小值为.故选：A.

3．（2020·全国高二课时练习）若函数有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得．

因为函数有小于零的极值点，

所以有小于零的实根，

即有小于零的实根，

∵，

∴，

∴．故选：B

4．（2020·全国高二课时练习）已知可导函数的导函数为，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】充分性：取，则，，当或时，，

所以，函数在上单调递增，该函数无极值点，充分性不成立；

必要性：由极值点的定义可以得出，可导函数的极值点为，则，必要性成立.

因此，“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件.

故选：B．

5．（2020·全国高二课时练习）已知函数在上的最大值为，则a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，

得，

当时，若，则单调递减，

若，则单调递增，

故当时，函数有最大值，

解得，不符合题意.

当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.

当时，函数在上单调递减.此时最大值为，

解得，符合题意.

故a的值为.故选：A.

6．（2020·全国高二课时练习）若函数在区间上存在最小值，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数的导函数为，

令，得或，

故在上单调递增，在上单调递减，

则为极小值点，为极大值点.

由在区间上存在最小值，

可得，解得，

此时，

因此实数m的取值范围是，故选：D.

7．（2020·全国高二课时练习）已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】C

【解析】函数的定义域为，.

令，得或（舍）.

当时，；当时，.

所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1.

因为存在，使得不等式成立，

所以，所以实数m的最小值为1.故选：C

8．（2020·全国高二课时练习）若函数在区间上的极大值为最大值，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题得，令，得或（舍去），

若，则当时，，与题设矛盾；

若，则当时，，

当时，，故为函数的极大值点，

因为在区间内的极大值为最大值，所以，即，

所以.故选：A

二、多选题

9．（2020·全国高二专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．有且仅有一个极值点

B．有零点

C．若的极小值点为，则

D．若的极小值点为，则

【答案】AC

【解析】由题意得，的定义域为，且，

设，则，∴在上单调递增，

又，，

∴ 存在唯一零点，设为，

当时，单调递减，当时，单调递增，

∴有唯一极小值点，故选项A正确．

令，得，两边同时取对数可得．

∴（当且仅当时等号成立），又，

∴，即，

∴无零点，故选项B错误．

由，可设，则．

当时，，∴在上单调递减．

∴，即，故选项C正确，选项D错误，故选：AC

10．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则函数没有极值

B．若，则函数有极值

C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是

D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是

【答案】ABD

【解析】由题意得，函数的定义域为，且，

当时，恒成立，此时单调递减，没有极值，

又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，

∴有且只有一个零点，

当时，在上，，单调递减，

在上，，单调递增，

当时，取得极小值，同时也是最小值，

∴，

当x趋近于0时，趋近于，趋近于，

当x趋近于时，趋近于，

当，即时，有且只有一个零点；

当，即时，有且仅有两个零点，

综上可知ABD正确，C错误．故选：ABD．

11．（2020·全国高二课时练习）定义在R上的函数，若存在函数（a，b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数，下列命题中正确的是（    ）

A．函数是函数的一个承托函数

B．函数是函数的一个承托函数

C．若函数 是函数的一个承托函数，则a的取值范围是

D．值域是R的函数不存在承托函数

【答案】BC

【解析】对A，∵当时，，

∴对一切实数x不一定都成立，故A错误；

对B，令，则恒成立，

∴函数是函数的一个承托函数，故B正确；

对C，令，则，

若，由题意知，结论成立，

若，令，得，

∴函数在上为减函数，在上为增函数，

∴当时，函数取得极小值，也是最小值，为，

∵是函数的一个承托函数，

∴，

即，

∴，

若，当时，，故不成立，

综上，当时，函数是函数的一个承托函数，故C正确；

对D，不妨令，则恒成立，

故是的一个承托函数，故D错误.故选：BC.

12．（2020·福建莆田市·莆田一中高三期中）设函数的定义域为，已知有且只有一个零点，下列结论正确的有（    ）

A． B．在区间单调递增

C．是的极大值点 D．是的最小值

【答案】ACD

【解析】只有一个零点，即方程在上只有一个根，，取对数得，即只有一个正根．

设，则，当时，，递增，时，，时，，递减，此时，

．

∴要使方程只有一个正根．则或，解得或，又∵，∴．A正确；

，，

，，取对数得，

易知和是此方程的解．

设，，当时，，递增，时，，递减，是极大值，

又，

所以有且只有两个零点，

或时，，即，，，，同理时，，

所以在和上递增，在上递减，所以极小值为，极大值为，又，所以是最小值．B错，CD正确．故选：ACD．

三、填空题

13．（2020·全国高二课时练习）已知是函数的极值点，则实数的值为_______．

【答案】

【解析】由，得．

因为是的极值点，所以，即，所以．

此时，当时，；当时，．

因此是函数的极小值点，即符合题意．故答案为：.

14．（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_________.

【答案】13

【解析】，当时，函数有极值，

，解得，

，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

在处取得极大值，

且，，

在上的最大值为13.故答案为：13.

15．（2020·全国高二单元测试）对于函数有下列命题：

①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为；

②函数f(x)的最小值为；

③该函数图象与x轴有4个交点；

④函数f(x)在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.

其中正确命题的序号是_____.

【答案】①②④

【解析】x≤0时，f(x)＝2xex，f′(x)＝2（1+x）ex，故f′（﹣2）＝，①正确；

且f(x)在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x≤0时，f(x)有最小值f（﹣1）＝，

x＞0时，f(x)＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f(x)有最小值f（1）＝

故f(x)有最小值，②④正确；

令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误；故答案为：①②④

四、双空题

16．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）已知函数.

（1）函数的最大值等于________；

（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________.

【答案】    1   

【解析】（1）函数定义域是，，

时，，递增，时，，递减，

∴时，取得极大值也是最大值；

（2）若对任意，都有成立，

等价于当时，，

由（1）当时，，且，满足题意；

当，在上递增，，在递减，，

只要即可，∴，

综上，的最小值是1.．

故答案为：；1．