高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第2课时同步练习题

第五章一元函数的导数及其应用

5.3　导数在研究函数中的应用

5.3.2　函数的极值与最大(小)值

第2课时　函数的最大(小)值

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(2019湖南高三期末)函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是(　　)

A.12,-15 B.1,-8

C.5,-16 D.12,-8

解析由函数y=2x3-3x2-12x+5,

得y'=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令y'=0,

解方程可得x1=-1,x2=2,列表如下.

由表格可知,函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值为12,最小值为-8,故选D.

答案D

2.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6 h到9 h,车辆通过该市某一路段的用时y(min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-t3-t2+36t-.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是(　　)

A.6 h B.7 h 

C.8 h D.9 h

解析由题意,得

y'=-t2-t+36=-(t+12)(t-8).

令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.

当6≤t<8时,y'>0;当8<t≤9时,y'<0,所以当 t=8时,y有最大值,即此时刻通过该路段用时最多.

答案C

3.(2020合肥第二中学高三月考)已知函数f(x)=x3+x2-2x+1,若函数f(x)在(2a,a2-3)上存在最小值,则a的取值范围是(　　)

A.,2 B.,2

C.(-1,3) D.-,-2

解析由f(x)=x3+x2-2x+1,

可得f'(x)=x2+x-2,

令f'(x)>0,解得x∈(-∞,-2)∪(1,+∞),令f'(x)<0,解得x∈(-2,1),

故f(x)在x=1时取得极小值.极小值f(1)=-,由f(x)=-,得(x-1)(2x2+5x-7)=0,解得x1=1,x2=-,又因为函数f(x)在(2a,a2-3)上存在最小值,

故可得-≤2a<1<a2-3,解得-≤a<-2.故选D.

答案D

4.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)(　　)

A.30元 B.60元

C.28 000元 D.23 000元

解析设毛利润为L(p),由题意知L(p)=Q(p-20)

=(8 300-170p-p2)(p-20)

=-p3-150p2+11 700p-166 000,

所以L'(p)=-3p2-300p+11 700.

令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).

此时,L(30)=23 000.

因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,右侧L'(p)<0,

所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.

答案D

5.(多选)(2019山东高三月考)若函数f(x)=2x3-ax2(a<0)在上有最大值,则a的取值可能为 (　　)

A.-6 B.-5 C.-4 D.-3

解析令f'(x)=2x(3x-a),得x1=0,x2=(a<0),当<x<0时,f'(x)<0;当x<或x>0时,f'(x)>0,则f(x)的增区间为-∞,,(0,+∞),减区间为,0,

从而f(x)在x=处取得极大值f=-,

由f(x)=-,得2x+=0,解得x=或x=-,又f(x)在上有最大值,

所以≤-,即a≤-4,故选ABC.

答案ABC

6.函数y=x+(x>0)的最小值为　　　　　. 

解析y'=1+×(-2)×=1-,

所以当x>1时,y'>0,当0<x<1时,y'<0,

所以函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数在x=1处取得最小值,最小值为1+,故答案是.

答案

7.函数f(x)=ax4-4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b=　　　　. 

解析f'(x)=4ax3-12ax2.令f'(x)=0,得x=0(舍去)或x=3.当1<x<3时,f'(x)<0,当3<x<4时,f'(x)>0,故x=3为极小值点.因为f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,所以f(x)的最小值为f(3)=b-27a,最大值为f(4)=b.

所以解得故a+b=.

答案

8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为　　　　　,最小表面积为　　　　　. 

解析设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则水桶的高为,所以S=πr2+2πr×=πr2+(r>0),S'=2πr-,令S'=0,解得r=3.

当0<r<3时,S'<0;当r>3时,S'>0,所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.

∴Smin=π×32+=9π+18π=27π.

答案3　27π

9.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)求f(x)在区间-上的最大值和最小值.

解(1)易知f(x)的定义域为-,+∞.

f'(x)=+2x=

=.

当-<x<-1时,f'(x)>0;

当-1<x<-时,f'(x)<0;

当x>-时,f'(x)>0,

从而f(x)在区间-,-1和 -,+∞上单调递增,在区间-1,-上单调递减.

(2)由(1)知f(x)在区间-上的最小值为f-=ln 2+.

又因为f--f=ln-ln

=ln1-ln<0,

所以f(x)在区间-上的最大值为f=ln.

能力提升练

1.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n均属于[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是(　　)

A.-13 B.-15 C.10 D.15

解析对函数f(x)求导得f'(x)=-3x2+2ax,

由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,

即-3×4+2a×2=0,∴a=3.

由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,

易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.

又∵f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,

且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,

f'(n)min=f'(-1)=-9,

故f(m)+f'(n)的最小值为-13.

答案A

2.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为(　　)

A.1 B. C. D.

解析由题意,设|MN|=F(t)=t2-ln t(t>0),

令F'(t)=2t-=0,得t=或t=-(舍去).

F(t)在内单调递减,在内单调递增,故当t=时,F(t)=t2-ln t(t>0)有极小值,也是最小值,即|MN|达到最小值,故选D.

答案D

3.在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是(　　)

A. B.

C. D.

解析如图,取AB中点E,连接CE,DE,设AB=2x(0<x<1),则CE=DE=,

平面ABC⊥平面ABD是四面体体积最大的必要条件,此时四面体的体积V(x)=×2x×x-x3.

V'(x)=-x2,令V'(x)=0,得x=,

当x∈时,V(x)为增函数,

当x∈时,V(x)为减函数,

则当x=时,V(x)有最大值V(x)max=.故选A.

答案A

4.(多选)(2020山东高三期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=ex(x+1),则下列命题正确的是(　　)

A.当x>0时,f(x)=-e-x(x-1)

B.函数f(x)有3个零点

C.f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)

D.∀x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2

解析当x>0时,-x<0,

则由题意得f(-x)=e-x(-x+1),

∵函数f(x)是奇函数,

∴f(0)=0,且x>0时,

f(x)=-f(-x)=-e-x(-x+1)=e-x(x-1),A错;∴f(x)=

当x<0时,由f(x)=ex(x+1)=0,得x=-1,

当x>0时,由f(x)=e-x(x-1)=0,得x=1,

∴函数f(x)有3个零点-1,0,1,B正确;

当x<0时,由f(x)=ex(x+1)<0,得x<-1,

当x>0时,由f(x)=e-x(x-1)<0,得0<x<1,

∴f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1),C正确;

当x<0时,由f(x)=ex(x+1),得f'(x)=ex(x+2),

由f'(x)=ex(x+2)<0,得x<-2,

由f'(x)=ex(x+2)>0得-2<x<0,

∴函数f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,0)上单调递增,

∴函数在(-∞,0)上有最小值f(-2)=-e-2,且f(x)=ex(x+1)<e0·(0+1)=1,

又∵当x<0时,f(x)=ex(x+1)=0时x=-1,函数在(-∞,0)上只有一个零点,

∴当x<0时,函数f(x)的值域为[-e-2,1),

由奇函数的图象关于原点对称得函数f(x)在R的值域为(-1,e-2]∪[-e-2,1)=(-1,1),

∴对∀x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2,D正确.故选BCD.

答案BCD

5.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是　　　　　. 

解析函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程ex-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,而g'(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2,+∞)上单调递减,因而g(x)=2x-ex的值域为(-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可.

答案(-∞,2ln 2-2]

6.已知函数f(x)=xln x.

(1)求f(x)的最小值;

(2)若对所有的x∈[1,+∞)都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.

解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ln x.

令f'(x)>0,解得x>;

令f'(x)<0,解得0<x<.

从而f(x)在单调递减,在单调递增.

所以,当x=时,f(x)取得最小值-.

(2)依题意,得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,

即不等式a≤ln x+对于x∈[1,+∞)恒成立.

令g(x)=ln x+,

则g'(x)=.

当x>1时,因为g'(x)=>0,

故g(x)是[1,+∞)上的增函数,所以g(x)的最小值是g(1)=1,所以a的取值范围是(-∞,1].

素养培优练

　(2020安徽六安一中高三月考)已知函数f(x)=若函数F(x)=f(x)-kx在R上有3个零点,则实数k的取值范围为(　　)

A.0, B.0,

C.-∞, D.

解析当x<0时,由F(x)=0,得k=,令g(x)=,g'(x)=->0,g(x)在x∈(-∞,0)是增函数,当k>0时,k=有一个零点,

当x>0时,k=,

令h(x)=,h'(x)=,

当x∈(0,)时,h'(x)>0,

∴h(x)在(0,)上单调递增,

当x∈(,+∞)时,h'(x)<0,

∴h(x)在(,+∞)上单调递减,

所以当x=时,h(x)取得最大值,

因为F(x)=f(x)-kx在R上有3个零点,

所以当x>0时,k=有2个零点,

所以实数k的取值范围为0,,

综上可得实数k的取值范围为0,.故选B.

答案B