2021学年5.4 三角函数的图象与性质学案及答案

这是一份2021学年5.4 三角函数的图象与性质学案及答案，共9页。


授课提示：对应学生用书第92页
[教材提炼]
知识点一 正弦函数的图象
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)？
知识梳理 (1)如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A(1,0)．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0＝sin_x0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0，sin x0)．
若把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使x0的值分别为0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T(x0，sin x0)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(如图)．
将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象(如图)．
正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
(2)五点法：在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：
(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．
知识点二 余弦函数图象
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
知识梳理 (1)变换法
将正弦函数的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．
余弦函数y＝cs x，x∈R的图象叫做余弦曲线(csine curve)．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
(2)五点法：y＝cs x，x∈[－π，π]的五个关键点为
(－π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，用光滑曲线连接这五个点可得到x∈[－π，π]的简图．
[自主检测]
1．用五点法作函数y＝sin 2x，x∈[0，π]的简图的五个点的横坐标为( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π
B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
答案：B
2．下列图象中，y＝－sin x在[0,2π]上的图象是( )
答案：D
3．正弦曲线在(0,2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________．
答案：(eq \f(π,2)，1) (eq \f(3,2)π，－1)
4．不等式cs x<0，x∈[0,2π]的解集为________．
答案：(eq \f(π,2)，eq \f(3,2)π)
授课提示：对应学生用书第93页
探究一 用“五点法”作三角函数图象
[例1] 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝1＋cs x(0≤x≤2π)．
[解析] 利用“五点法”作图．
(1)列表：
描点作图，如图．
(2)列表：
描点作图，如图．
作形如y＝asin x＋b(或y＝acs x＋b)x∈[0,2π]的图象的三个步骤
用“五点法”画出函数y＝1－cs x(0≤x≤2π)的简图．
解析：列表：
描点连线，其图象如图所示：
探究二 利用正、余弦函数的图象解简单的
三角不等式
[例2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \r(2sin 2x－1)；(2)y＝eq \r(sin x)＋eq \r(25－x2).
[解析] (1)由2sin 2x≥1得sin 2x≥eq \f(1,2).
把2x当作整体t，画y＝sin t的图象．
在[0,2π]内，满足sin t≥eq \f(1,2)有eq \f(π,6)≤t≤eq \f(5π,6)，所以eq \f(π,6)≤2x≤eq \f(5π,6).
故在实数集R上2x满足eq \f(π,6)＋2kπ≤2x≤eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，即eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，
所以定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋kπ≤x≤\f(5π,12)＋kπ，k∈Z)))).
(2)根据函数表达式可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x≥0，,25－x2≥0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，,－5≤x≤5.))
在数轴上表示如图所示．
由图示可得，函数定义域为[－5，－π]∪[0，π]．
利用三角函数图象解sin x>a(或cs x>a)的三个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cs x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cs x＝a)的x值．
(3)确定sin x>a(或cs x>a)的解集．
利用正弦曲线，求满足eq \f(1,2)解析：首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝eq \f(1,2)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,6)和eq \f(5π,6)；
作直线y＝eq \f(\r(3),2)，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3).
观察图象可知，在[0,2π]上，当eq \f(π,6)所以eq \f(1,2)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(＋2kπ，或\f(2π,3)＋2kπ≤x<\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)).
探究三 利用正、余弦图象研究图象的交点
[例3] [教材P200练习4，拓展探究]
(1)方程x2－cs x＝0的实数解的个数是________．
[解析] 作函数y＝cs x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．
[答案] 2
(2)方程sin x＝lg x的解的个数是________．
[解析] 用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．
描出点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，－1))，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
[答案] 3
(3)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
[解析] f(x)＝sin x＋2|sin x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin x，x∈[0，π]，,－sin x，x∈π，2π].))
图象如图，
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1,3)．
方程根(或个数)的两种判断方法
(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．
(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．
②转化为两个函数，分别作这两个函数的图象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根．
授课提示：对应学生用书第94页
一、“形同质异”各千秋——正弦曲线、余弦曲线的区别
正弦曲线、余弦曲线是具有相同形状的“波浪起伏”的循环往复的光滑曲线，但是有本质的区别，正弦曲线y＝sin x过原点，关于原点对称；余弦曲线过点(0,1)是关于y轴对称，由y＝sin x向左平移eq \f(π,2)个单位或者向右平移eq \f(3,2)π个单位得到y＝cs x的图象．
[典例] 当x∈(0,2π)时，x取何值，sin x>cs x；
x取何值，sin x[解析] 如图，作y＝sin x，y＝cs x，x∈(0,2π)的图象．
当x＝eq \f(π,4)或x＝eq \f(5,4)π时，
sin x＝cs x.
当x∈(0，eq \f(π,4))∪(eq \f(5,4)π，2π)，cs x>sin x.
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5,4)π))时，sin x>cs x.
二、作图象时忽视函数的定义域致误
[典例] 函数y＝eq \f(1,tan x)·sin x的图象应为( )
[解析] 由tan x≠0，得x≠kπ，k∈Z，
又因为x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
所以x≠eq \f(kπ,2)，k∈Z，此时有y＝eq \f(1,tan x)·sin x＝cs x，x≠eq \f(kπ,2)，k∈Z.
其图象如图所示：
[答案] B
纠错心得 (1)解答本题过程中，常因没有考虑该函数的定义域，而导致把不符合要求的点都画出来的错误，而错选A.
(2)在作函数图象时，如果需要先对函数式化简，应特别注意函数的定义域，使化简前后等价，不能使定义域变小或扩大．画出的函数图象应注意与定义域对应，不在定义域内的点应用空心圈画出．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.借助单位圆中正弦、余弦的定义画出y＝sin x、y＝cs x的图象．
直观想象
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正、余弦曲线．
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－sin x
0
－1
0
1
0
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
1＋cs x
2
1
0
1
2
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
1－cs x
0
1
2
1
0