高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案

  第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值

知识点　正、余弦函数的图象与性质

　(1)正、余弦函数的单调性：

①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；

②单调区间要在定义域内求解；

③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．

(2)正、余弦函数的最值

①明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1, |cos x|≤1；

②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；

③形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．

[教材解难]

教材P207思考

能．y＝sin＝－sin，要求y＝－sin的单调递增区间，即求y＝sin的单调递减区间．

令z＝x－，则函数y＝sin z的单调递减区间为(k∈Z)．

由＋2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z.

得π＋4kπ≤x≤π＋4kπ，k∈Z.

又x∈[－2π，2π]

∴－2π≤x≤－，π≤x≤2π

故函数y＝sin在[－2π，2π]上的单调增区间是，.

[基础自测]

1．函数y＝sin，x∈R在(　　)

A.上是增函数　　B．[0，π]上是减函数

C．[－π，0]上是减函数  D．[－π，π]上是减函数

解析：y＝sin＝cos x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．

答案：B

2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是(　　)

A．y＝cos|x|      B．y＝cos|－x|

C．y＝sin  D．y＝－sin

解析：y＝cos|x|在上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝sin＝－sin＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin在(0，π)上是单调递减的．

答案：C

3．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是(　　)

A．－1,3  B．－1,1

C．0,3    D．0,1

解析：∵－1≤cosx≤1，∴－1≤y≤3.

答案：A

4．比较大小：sin________cos.

解析：sin＝sin＝cos.

∵0＜＜＜π，y＝cos x在[0，π]上递减，

∴cos＞cos，即sin＞cos.

答案：＞

题型一　正、余弦函数的单调性[经典例题]

例1　(1)函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　)

A.

B．[－π，0]

C.

D.

(2)函数y＝cos的单调递增区间是________．

【解析】　(1)由≤x≤π，可得≤x＋≤π.所以是函数的一个减区间．

(2)因为－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z.所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

【答案】　(1)D　　(2)(k∈Z)

(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x＋的范围，验证是否为减区间．

(2)将2x－代入到[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z中，解出x的范围，即可得增区间．

方法归纳

求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点

(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．

(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．

(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为－ω>0后求解；②若A<0，则单调性相反．

跟踪训练1　(1)下列函数，在上是增函数的是(　　)

A.y＝sin x

B．y＝cos x

C．y＝sin 2x

D．y＝cos 2x

(2)求函数y＝2sin的单调递增区间．

解析：(1)因为y＝sin x与y＝cos x在上都是减函数，所以排除A，B.

因为≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin 2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.

(2)由y＝2sin，得y＝－2sin.

∴要求函数y＝2sin的单调递增区间，只需求出函数y＝2sin的单调递减区间．

令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

∴函数的单调递增区间为(k∈Z)．

答案：(1)D　(2)(k∈Z)

(1)逐个验证选项把不符合题意的排除．

(2)首先利用诱导公式化简函数为y＝－2sin，再利用性质求增区间．

题型二　比较三角函数值的大小[教材P206例4]

例2　不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1)sin与sin；

(2)cos与cos.

解析：(1)因为－<－<－<0，

正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，

所以sin>sin.

(2)cos＝cos＝cos，

cos＝cos＝cos.

因为0<<<π，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，所以cos>cos，即cos>cos.

可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．

教材反思

比较三角函数值大小的方法

(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值．

(2)不同名的函数化为同名函数．

(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．

跟踪训练2　比较下列各组数的大小．

(1)sin与sinπ；

(2)cos 870°与sin 980°.

解析：(1)sin＝sin＝sin，sinπ＝sin＝sin，

因为y＝sin x在上是增函数，所以sin<sin，即sin<sinπ.

(2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，

因为0°<150°<170°<180°，所以cos 150°>cos 170°，

即cos 870°>sin 980°.

首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小．

题型三　正、余弦函数的最值问题[经典例题]

例3　函数y＝2cos－1的最小值是____________，此时x＝________.

【解析】　当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，x＝＋kπ，k∈Z时，ymin＝－2－1＝－3.

【答案】　－3　＋kπ，k∈Z

观察函数解析式特点，由y＝cos的最小值，求函数y＝2cos－1的最小值，并求x的取值．

方法归纳

求正、余弦函数最值问题的关注点

(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值要注意对a的讨论．

(2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．

(3)换元后配方利用二次函数求最值．

跟踪训练3　求下列函数的值域：

(1)y＝cos，x∈；

(2)y＝2sin2x＋2sin x－，x∈.

解析　(1)由y＝cos，x∈0，可得x＋∈，函数y＝cos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.

(2)令t＝sin x，∴y＝2t2＋2t－＝22－1.∵x∈，∴≤sin x≤1，即≤t≤1，

∴1≤y≤，∴函数f(x)的值域为.

(1)先由x的范围求出x＋的范围，再求值域．(2)先换元令t＝sin x，再利用二次函数求值域．

一、选择题

1．已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间M上都是增函数，那么区间M可以是(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：y＝sin x在和上是增函数，y＝cos x在(π，2π)上是增函数，所以区间M可以是.

答案：D

2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　)

A．ymax＝3，x＝－

B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)

C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)

D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)

解析：当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y＝sin x有最小值－1，函数y＝2－sin x有最大值3.

答案：C

3．符合以下三个条件：①上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是(　　)

A．y＝sin x  B．y＝－sin x

C．y＝cos x  D．y＝－cos x

解析：在上递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.

答案：B

4．下列不等式中成立的是(　　)

A．sin>sin

B．sin 3>sin 2

C．sinπ>sin

D．sin 2>cos 1

解析：因为sin 2＝cos＝cos，且0<2－<1<π，所以cos>cos 1，即sin 2>cos 1.

答案：D

二、填空题

5．函数y＝cos的单调递减区间为________．

解析：y＝cos＝cos，

由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以函数的单调减区间为(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

6．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．

解析：当0≤x≤时，－≤2x－≤，因为函数y＝sin x在上的函数值恒为正数，在上的函数值恒为负数，且在上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－.

答案：－

7．sin________sin(填“>”或“<”)．

解析：sin＝sin＝sin，因为0<<<，y＝sin x在上单调递增，所以sin<sin，即sin<sin.

答案：>

三、解答题

8．求下列函数的单调区间：

(1)y＝cos 2x；(2)y＝2sin.

解析：(1)函数y＝cos 2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.

∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.

∴函数y＝cos 2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.

(2)y＝2sin＝－2sin，函数y＝－2sinx－的单调递增、递减区间分别是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．

令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.

即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，

即函数y＝2sin的单调递增区间为

，k∈Z.

令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.

即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.

即函数y＝2sin的单调递减区间为

，k∈Z.

9．比较下列各组数的大小：

(1)cos与cos；

(2)sin 194°与cos 160°.

解析：(1)cos＝cos，

cos＝cos＝cos，

∵0<<<π，

函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，

∴cos>cos，

即cos>cos.

(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，

cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.

∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°.

从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.

[尖子生题库]

10求下列函数的最大值和最小值：

(1)y＝3＋2cos；

(2)y＝2sin.

解析：(1)∵－1≤cos≤1

∴当cos＝1时，ymax＝5；

当cos＝－1时，ymin＝1.

(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，

∴0≤sin≤1.

∴当sin＝1时，ymax＝2；

当sin＝0时，ymin＝0.