高中数学第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质学案设计

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1．会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期．
2．掌握正切函数y＝tanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性．
3．掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．
正切函数y＝tanx的图象与性质
温馨提示：(1)正切函数在每一个开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))
(k∈Z)内都是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数．
(2)正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(kπ，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，－1))，k∈Z，两线为直线x＝kπ＋eq \f(π,2)和直线x＝kπ－eq \f(π,2)，其中k∈Z，这样可以快速地作出正切函数的图象．
1．正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z有公共点吗？直线y＝a与y＝tanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？
[答案] 没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的
由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数在整个定义域上是增函数．( )
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )
(4)正切函数没有对称轴，但有对称中心．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
题型一 正切函数的定义域
【典例1】 求下列函数的定义域：
(1)y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))；(2)y＝eq \f(1,tanx).
[思路导引] (1)将x＋eq \f(π,4)看成一个整体．由正切函数y＝tanx的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))求解；(2)tanx≠0且tanx有意义．
[解] (1)由x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得，
x≠kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).
(2)由tanx≠0且tanx有意义得x≠kπ且x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即x≠eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以函数y＝eq \f(1,tanx)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠\f(kπ,2)，k∈Z)).
求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x.
[针对训练]
1．函数f(x)＝eq \f(1,tanx－1)的定义域是____________．
[解析] 若使函数f(x)有意义，需使tanx－1≠0，即tanx≠1.∵tanx有意义，
∴x≠kπ＋eq \f(π,2)且x≠kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
∴f(x)＝eq \f(1,tanx－1)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
[答案] {x|x≠kπ＋eq \f(π,4)且x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
题型二 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
【典例2】 (1)求f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期；
(2)判断y＝sinx＋tanx的奇偶性．
[思路导引] 解(1)利用T＝eq \f(π,|ω|)，解(2)时先看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看f(－x)与f(x)及－f(x)的关系来判断奇偶性．
[解] (1)由正切函数的最小正周期，可得T＝eq \f(π,2).
∴f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期是eq \f(π,2).
(2)定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)
＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它是奇函数．
正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期性、奇偶性
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝eq \f(π,|ω|)，常常利用此公式来求周期．
(2)若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．
(3)正切函数是奇函数，所以原点是y＝tanx的对称中心，同样，结合y＝tanx的图象，可以得到eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))k∈Z都是正切函数的对称中心．
[针对训练]
2．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－φ，0))对称；
③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；
④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
[解析] ①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tanx，此时，f(x)为奇函数，所以①错误；观察正切函数y＝tanx的图象，可知y＝tanx关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)对称，令x＋φ＝eq \f(kπ,2)得x＝eq \f(kπ,2)－φ，分别令k＝1,2知②、③正确，④显然正确．
[答案] ①
题型三 正切函数的单调性及应用
【典例3】 (1)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调区间；
(2)比较taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5)))的大小；
(3)解不等式taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))≤eq \r(3).
[思路导引] (1)将eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)看成一个整体；(2)比较大小时应将角化到同一个单调区间内；(3)将x＋eq \f(π,3)看成一个整体，结合y＝tanx的图象求解．
[解] (1)由kπ－eq \f(π,2)2kπ－eq \f(π,2)所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调递增区间是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．
(2)由于taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(3π,4)))
＝taneq \f(3π,4)＝－taneq \f(π,4)，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5)))＝－taneq \f(2π,5)，
又0而y＝tanx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
所以taneq \f(π,4)－taneq \f(2π,5)，
即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12π,5))).
(3)将x＋eq \f(π,3)看成一个整体，由函数y＝tanx的图象可知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足tanx≤eq \r(3)的解应满足－eq \f(π,2)[变式] 若本例(1)改为y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(1,2)x))，其单调减区间是_______．
[解析] ∵y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(1,2)x))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))
∴kπ－eq \f(π,2)解得2kπ－eq \f(π,2)故函数的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．
[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))，(k∈Z)
(1)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
①若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq \f(π,2)<ωx＋φ②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
(2)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(3)解关于tanx的不等式：先写出这个不等式在一个周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的解，再结合周期性得出x的解集．
[针对训练]
3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调增区间为________．
[解析] 由题意知，kπ－eq \f(π,2)所以2kπ－eq \f(3π,2)故单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(3π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(3π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
4．比较大小：taneq \f(6,5)π________taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π))；
[解析] taneq \f(6,5)π＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,5)))＝taneq \f(π,5)，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π))＝－taneq \f(13,7)π＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,7)))
＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,7)))＝taneq \f(π,7)，
因为－eq \f(π,2)y＝tanx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，
所以taneq \f(π,7)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π)).
[答案] >
5．不等式taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≥1的解集为______________．
[解析] 由已知可得kπ＋eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)解得eq \f(kπ,2)≤x∴不等式taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≥1的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))\f(kπ,2)≤x<\f(kπ,2)－\f(3,8)π，k∈Z)).
[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))\f(kπ,2)≤x<\f(kπ,2)－\f(3,8)π，k∈Z))
课堂归纳小结
1.正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.
2.正切函数的性质
(1)正切函数y＝tanx的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，
值域是R.
(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝
Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝eq \f(π,|ω|).
(3)正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.
1．下列说法正确的是( )
A．y＝tanx是增函数
B．y＝tanx在第一象限是增函数
C．y＝tanx在某一区间上是减函数
D．y＝tanx在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是增函数
[解析] 由正切函数的图象可知D正确．
[答案] D
2．函数y＝eq \f(1,\r(tanx－1))的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
B．{x|x≠kπ－eq \f(π,4)，k∈Z}
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
[解析] 若使函数y＝eq \f(1,\r(tanx－1))有意义，
需使tanx－1>0，即tanx>1.
结合正切曲线，可得kπ＋eq \f(π,4)所以函数y＝eq \f(1,\r(tanx－1))的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
[答案] D
3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3))的最小正周期是( )
A．4 B．4π
C．2π D．2
[解析] 函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3))的最小正周期T＝eq \f(π,\f(π,2))＝2，故选D.
[答案] D
4．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))，x∈R且x≠eq \f(3,10)π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是( )
A．(0,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)π，0)) D．(π，0)
[解析] ∵y＝tanx的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
∴x＋eq \f(π,5)＝eq \f(kπ,2)，(k∈Z)
∴x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,5)(k∈Z)
当k＝2时，x＝eq \f(4,5)π，∴对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)π，0)).
[答案] C
5．函数y＝tan(π－x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))的值域为________．
[解析] y＝tan(π－x)＝－tanx，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上为减函数，所以值域为(－eq \r(3)，1)．
[答案] (－eq \r(3)，1)
课后作业(四十六)
复习巩固
一、选择题
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的定义域为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)，x∈R))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,4)，x∈R))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，x∈R，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(3π,4)，x∈R，k∈Z))))
[解析] ∵y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
∴x－eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
即x≠kπ＋eq \f(3π,4)，(k∈Z)．
[答案] D
2．与函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝eq \f(π,2) B．x＝－eq \f(π,2)
C．x＝eq \f(π,4) D．x＝eq \f(π,8)
[解析] 当x＝eq \f(π,8)时，2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，而eq \f(π,2)的正切值不存在，所以直线x＝eq \f(π,8)与函数的图象不相交．故选D.
[答案] D
3．函数y＝eq \f(tanx,1＋csx)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
[解析] 函数的定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)))且x≠π＋2kπ，k∈Z))，关于原点对称．
设y＝f(x)＝eq \f(tanx,1＋csx)，
则f(－x)＝eq \f(tan－x,1＋cs－x)＝eq \f(－tanx,1＋csx)＝－f(x)．
所以y＝f(x)是奇函数．故选A.
[答案] A
4．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段长为eq \f(π,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D.eq \f(π,4)
[解析] 由题意，T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,4)，∴ω＝4，∴f(x)＝tan4x, feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝tanπ＝0，故选A.
[答案] A
5．方程taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \r(3)在[0,2π)上的解的个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] 由题意知，2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，又x∈[0,2π)．所以x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，共4个．故选B.
[答案] B
二、填空题
6．函数y＝tanxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤x≤\f(3π,4)，且x≠\f(π,2)))的值域是________．
[解析] 因为y＝tanx在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))上都是增函数，
所以y≥taneq \f(π,4)＝1或y≤taneq \f(3π,4)＝－1.
[答案] (－∞，－1]∪[1，＋∞)
7．使函数y＝2tanx与y＝csx同时单调递增的区间是________．
[解析] 由y＝2tanx与y＝csx的图象知，同时单调递增的区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ))(k∈Z)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋π，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．
[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ))(k∈Z)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋π，2kπ＋\f(3π,2)))
(k∈Z)
8．已知函数f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．
[解析] 设g(x)＝x＋tanx，显然g(x)为奇函数．
∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.
[答案] 0
三、解答题
9．设函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))).
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
[解] (1)∵ω＝eq \f(1,2)，∴周期T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π.
令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，
则x＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z)．
(2)令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝0，则x＝eq \f(2π,3)；令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，则x＝eq \f(5π,3)；
令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,2)，则x＝－eq \f(π,3).
∴函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))的图象与x轴的一个交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－eq \f(π,3)，x＝eq \f(5π,3)，从而得到函数y＝f(x)在一个周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))内的简图(如图)．
10．已知函数f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))(k∈N*)的最小正周期T满足1[解] 因为1所以1因为k∈N*，
所以k＝3，则f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3))).
由3x－eq \f(π,3)≠eq \f(π,2)＋kπ得，x≠eq \f(5π,18)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z，定义域不关于原点对称，
所以f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))是非奇非偶函数．
由－eq \f(π,2)＋kπ<3x－eq \f(π,3)所以f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的单调增区间为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)＋\f(kπ,3)，\f(5π,18)＋\f(kπ,3)))，k∈Z.
综合运用
11．下列关于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的说法正确的是( )
A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递增
B．最小正周期是2π
C．图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))成中心对称
D．图象关于直线x＝eq \f(π,6)成轴对称
[解析] 令kπ－eq \f(π,2)[答案] C
12．已知函数y＝tanωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
[解析] ∵y＝tanωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，
∴ω<0且T＝eq \f(π,|ω|)≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.
[答案] B
13．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))且|φ|[解析] 由题意得eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，即φ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)(k∈Z)，又|φ|[答案] eq \f(π,6)或－eq \f(π,3)
14．函数f(x)＝lgeq \f(tanx＋1,tanx－1)为________函数(填“奇”或“偶”)．
[解析] 由eq \f(tanx＋1,tanx－1)>0，
得tanx>1或tanx<－1.
∴函数定义域为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ－\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lgeq \f(tan－x＋1,tan－x－1)＋lgeq \f(tanx＋1,tanx－1)
＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－tanx＋1,－tanx－1)·\f(tanx＋1,tanx－1)))＝lg1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
[答案] 奇
15．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq \r(3)]，其中
θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，求函数的最大值和最小值；
(2)求使y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数的θ的取值范围．
[解] (1)当θ＝－eq \f(π,6)时，
f(x)＝x2－eq \f(2\r(3),3)x－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),3)))2－eq \f(4,3).
因为x∈[－1，eq \r(3)]，
所以当x＝eq \f(\r(3),3)时，f(x)取得最小值－eq \f(4,3)，当x＝－1时，f(x)取得最大值eq \f(2\r(3),3).
(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tanθ.
因为y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数，
所以－tanθ≤－1或－tanθ≥eq \r(3)，
即tanθ≥1或tanθ≤－eq \r(3).
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以θ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
解析式
y＝tanx
图象
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
值域
R
周期
π
奇偶性
奇
单调性
在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内都是增函数