高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课时作业

3.2.1 单调性与最大（小）值

一、函数的单调性

1、单调函数的定义

设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，

当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。

当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。

2、单调性的图形趋势（从左往右）

上升趋势                 下降趋势

3、函数的单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【注意】

（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，

故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

（2）单调区间D⊆定义域I.

（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；

（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；

二、函数的最大（小）值

1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．

2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)．

3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．

三、单调性定义的等价形式:

（1）函数在区间上是增函数:

任取，且，都有；

任取，且，；

任取，且，；

任取，且，.

（2）函数在区间上是减函数:

任取，且，都有；

任取，且，；

任取，且，；

任取，且，.

四、定义法证明函数单调性的步骤

①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2

②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形

③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论

④判断：根据定义做出结论。

五、函数单调性的性质

若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

（1）与（C为常数）具有相同的单调性.

（2）与的单调性相反.

（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.

（4）若≥0，则与具有相同的单调性.

（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；

当时，与具有相同的单调性.

（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:

简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.

六、常见简单函数的单调性

题型一 单调性定义的理解

【例1】若函数的定义域为，且满足，则函数在上（    ）

A．单调递增        B．单调递减        C．先增后减        D．不能确定

【变式1-1】设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（    ）

A．        B．

C．              D．

【变式1-2】若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（    ）

A．                B．

C．        D．

【变式1-3】定义在上的函数对任意两个不相等的实数，，总有，则必有（    ）

A．函数先增后减        B．函数是上的增函数

C．函数先减后增        D．函数是上的减函数

【变式1-4】下列说法中正确的个数为（    ）

①定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上为增函数；

②如果函数在区间上为减函数，在区间上也为减函数，那么在区间上就一定是减函数；

③对任意的，且，当时，在上是减函数；

④对任意的，且，当时，在上是增函数.

（A）1         （B）2         （C）3         （D）4

题型二 定义法证明函数的单调性

【例2】证明在其定义域上是增函数.

【变式2-1】求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.

【变式2-2】函数，且.判断并证明在区间上的单调性；

【变式2-3】利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．

题型三 求函数的单调性及单调区间

【例3】定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式3-1】求函数y的单调递增区间．

【变式3-2】求函数的单调区间.

【变式3-3】函数的单调递减区间为（    ）

A．（–∞，2]        B．[2，+∞）        C．[0，2]        D．[0，+∞）

【变式3-4】函数的单调增区间是________.

【变式3-5】下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ）

A．若为增函数，为增函数，则为增函数

B．若为减函数，为减函数，则为减函数

C．若为增函数，为减函数，则为增函数

D．若为减函数，为增函数，则为减函数

题型四 已知单调性求参数范围

【例4】已知函数的图象如图所示，若在上单调递增，则的取值范围为_____.

【变式4-1】函数在上是减函数．则（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式4-2】若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式4-3】已知在为单调函数，则a的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式4-4】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式4-5】函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（    ）

A．(－∞，1]        B．(1，5)        C．[1，5)        D．[1，4]

【变式4-6】已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

题型五 利用单调性解不等式

【例5】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-1】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（    ）

A．（0，1）        B．（-2，1）        C．（0，）        D．（0，2）

【变式5-2】函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-3】已知偶函数的定义域为R，当时，，则的解集为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-4】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ）

A．        B．       C．        D．

【变式5-5】已知函数对、，总有，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

题型六 利用单调性比较大小

【例6】定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（    ）

A．        B．

C．        D．

【变式6-1】已知函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．      B．      C．      D．

【变式6-2】设函数是上的减函数，若，则（    ）

A．      B．      C．      D．

【变式6-3】已知函数，若，则，，的大小关系是（    ）

A．        B．

C．        D．

题型七 函数的最值问题

【例7】函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(    )

A．，0        B．0，2        C．，2        D．，2

【变式7-1】当时，求函数y＝﹣x2﹣x+1值域．

【变式7-2】函数的最大值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式7-3】设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（    ）

A．4        B．6        C．10        D．24

【变式7-4】求函数的值域。