高中人教A版 (2019)7.3* 复数的三角表示同步达标检测题

7.3 复数的三角表示式-----专项检测卷

(时间：120分钟，分值：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断.

【详解】

复数的模为1，辐角为，

所以复数的三角形式为.

故选：A

2.．已知的三角形式为，则的三角形式是（       ）.

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据三角形式的表达式知，的三角形式是，根据诱导公式判断选项符合的即可.

【详解】

由题知，的三角形式是，

结合诱导公式知，，

故选：B

3.下列各式中已表示成三角形式的复数是（       ）.

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】复数的三角表示为，对比选项得到答案.

【详解】

复数的三角表示为：，其中，B选项满足.

故选：B.

4.设，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求，再求，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.

【详解】

，复数对应的点是，位于第三象限，且，所以.

故选：B

5.已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先对，然后再化为复数的三角形式可得答案

【详解】

所以 ，故选：B

6.已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（       ）

A．若i，则i

B．若i，则i

C．若i，i，则i

D．若i，i，则i

【答案】A

【分析】A. ii，所以该选项正确；

B. i，所以该选项错误；

C. i，所以该选项错误；

D. ii.所以该选项错误.

【详解】A. 若i，则ii，所以该选项正确；

B. 若i，则i，所以该选项错误；

C. 若i，i，则i，所以该选项错误；

D. i，i，则ii.所以该选项错误.

故选：A

7.复数的三角形式是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.

【详解】

，故选：C.

8.设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出.

【详解】因为，所以，

设，，，

则，

，

即，，，

故.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.以下不是复数的三角形式是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．

【详解】

解：．所以B正确

故选：ACD

10.已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】

由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于的一元二次方程，解方程求得，根据特殊角三角函数值和的范围可求得结果.

【详解】

由题意得：       ，解得：或

       或或

故选：

11.如果非零复数Z有一个辐角为，那么下列对Z判断错误的是（       ）

A．辐角唯一 B．辐角主值唯一

C．辐角主值为 D．辐角主值为

【答案】ACD

【分析】由给出的非0复数有一个辐角为，结合辐角主值的概念得答案．

【详解】

解：辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，

非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．

故选：ACD．

12.欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（       ）

A．复数对应的点位于第一象限 B．复数的模长等于

C．为纯虚数 D．

【答案】BD

【分析】根据欧拉公式的定义，有、、、，结合对应三角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.

【详解】A：，而，则、，故位于第二象限，错误；

B：，则其模长为，正确；

C：，则为实数，错误；

D：，正确；

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.若复数满足，则的代数形式是_____________.

【答案】先写出的三角形式，再进行化简整理即可.

【详解】设，则，∴，

∴，解得.故答案为：.

14.复数(12+5i)2(239﹣i)的辐角主值是___________.

【答案】

【分析】先将复数(12+5i)2(239﹣i)化为28561+28561i，即可求得其辐角主值.

【详解】

z的辐角主值argz=arg[(12+5i)2(239﹣i)]=arg[(119+120i)(239﹣i)]=arg[28561+28561i].

故答案为：

15.设为复数，且，当取得最小值时，则此时复数______.

【答案】

【分析】设复数的辐角为，将用表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得与的值，即可得复数.

【详解】

设复数的辐角为，

所以，，所以，故答案为：

16.已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.

【答案】

【分析】分别设，，可得 ，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解.

【详解】因为，设，，

所以

由题意可知或，

当时，， ，

当时，，

，

综上所述：，故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

将下列复数化为三角形式：

(1)；(2)．

【答案】(1)(2)

【分析】（1）利用诱导公式直接可得；

（2）根据诱导公式直接转化即可.

(1)

(2)

18.（12分）

若复数的辐角主值是，求实数a的值．

【答案】

【分析】计算得到，故且，解得答案.

【详解】

，故且，解得.

19.（12分）

已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．

(1)求；

(2)若，在复平面上的对应点分别为，，求．

【答案】(1)；(2).

【分析】(1)设出复数的幅角主值，再根据已知计算求解作答.，

(2)由(1)求出点A，B，C的坐标，再借助向量数量积计算作答.

(1)

因在复平面上所对应的点在第一象限，设，则，

有，因的虚部为2，即，解得，，

所以.

(2)

由(1)知，，，，则点，

，，因此，，

所以.

20.（12分）

已知复数．

(1)求及；

(2)当复数z满足，求的最大值．

【答案】(1)，(2)

【分析】（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解．

（2）设为三角形式，和复数的代数形式，共同代入，化简后可求最大值．

(1)

解：，将化为三角形式，得，

∴，．

(2)

解：由于复数z满足，设，则，

，

当时，取得最大值．

所以的最大值为．

21.（12分）

设复数，求函数的最大值以及对应的值．

【答案】当时，y取得最大值

【分析】根据辐角的主值定义，结合两角差的正切公式、基本不等式进行求解即可.

【详解】

由，可得，

因为，所以，于是，

当且仅当时取等号，则当时取等号，即当时取等号，因此有，因此函数的最大值为，此时.

22.（12分）

设，求的取值范围．

【答案】

【分析】设，则，，根据复数的几何意义计算辐角主值最大值和最小值，得到答案.

【详解】

设，则，，

如图所示：表示圆心为，半径为的圆面，

当分别与圆相切时对应的辐角主值最大最小，易知，

故的最大值为，最小值为.

故的取值范围为.