数学必修 第一册5.5 三角函数模型的简单应用学案

5．5　三角函数模型的简单应用

教材要点

要点一　三角函数模型应用的步骤

三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．

步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．

这里的关键是____________________，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．

要点二　三角函数模型的拟合应用

我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．

状元随笔　解答三角函数应用题应注意四点

(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．

(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．

(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．

(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型．(　　)

(2)在研究具体问题时，我们常常利用搜集到的数据，作出相应的“散点图\”来获得相应的函数模型．(　　)

(3)函数y＝|cos x|的图象是以2π为周期的波浪形曲线．(　　)

2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)

A．[0，5]       B．[5，10]

C．[10，15]     D．[15，20]

3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：

s1＝5sin (2t+)，s2＝5cos (2t-).

则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　)

A．s1＞s2    B．s1＜s2

C．s1＝s2    D．不能确定

4．简谐振动y＝sin (4x+)的频率和相位分别是________．

题型1　三角函数模型在物理中的应用

例1　已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)．

(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示，试根据图象写出I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；

(2)为了使I＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜〖(π)/(2)〗)中t在任意一段〖(1)/(100)〗秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？

方法归纳

处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．

跟踪训练1　已知简谐运动的函数关系式为f(x)＝2sin (x+φ)(|φ|＜)，其图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和φ分别是多少？

题型2　三角函数模型在生活中的应用

例2　如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：

(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数解析式．

(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？

方法归纳

解三角函数应用问题的基本步骤

(1)已知函数模型，利用题目中提供的数据和有关性质解决问题，其关键是求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．

(2)未知函数模型，把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．

跟踪训练2　如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(ω＞0)．

(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；

(2)写出这段曲线的函数解析式．

题型3　利用已知数据建立拟合函数模型

例3　某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据．

经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A sin ωt＋b的图象．

(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式．

(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?

方法归纳

在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤

(1)根据原始数据，绘出散点图；

(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；

(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；

(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．

跟踪训练3　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f(x)的图象可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b的图象．

(1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；

(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？

课堂十分钟

1．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　)

A．该质点的运动周期为0.7 s

B．该质点的振幅为5

C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零

D．该质点的运动周期为0.8 s

E．该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零

2．如图为一半径为3的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有(　　)

A．ω＝，A＝3    B．ω＝，A＝3

C．ω＝，A＝5    D．ω＝，A＝5

3．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上海浪高度：y(米)可看作时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋B的图象，下表是某日各时的浪高数据：

则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(　　)

A．y＝cos t＋1    B．y＝cos t＋

C．y＝2cos t＋    D．y＝cos 6πt＋

4．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin (160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．

5．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin (x-)＋20，x∈[4，16].

(1)求该地区这一段时间内的最大温差；

(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？

三角函数中有关参数ω的求解问题

一、三角函数的周期T与ω的关系

例1　为了使函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是(　　)

A．98π    B．π

C．π    D．100π

解析：由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝≤1，所以ω≥π，故选B.

方法归纳：这类三角函数试题直接运用T与ω的关系T＝，再结合条件，一般可以轻松处理．

二、三角函数的单调性与ω的关系

例2　若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：令 ＋2kπ≤ωx≤ ＋2kπ(k∈Z)，得 ＋≤x≤ ＋，因为f(x)在上单调递减，所以得6k ＋≤ω≤4k ＋3.又ω＞0，所以k≥0，又6k ＋≤4k ＋3，得0≤k＜，所以k ＝0.从而≤ω≤3，故选D.

答案：D

方法归纳： 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．

三、三角函数最值与ω的关系

例3　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，求ω的取值范围．

解析：显然ω≠0.

若ω＞0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区 间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.

若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.

综上所述，符合条件的函数ω的取值范围是(－∞，－2].

5．5　三角函数模型的简单应用

新知初探·课前预习

要点二

建立数学模型

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)√　(3)×

2．解析：由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π].故选C.

答案：C

3．解析：当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.

故选C.

答案：C

4．解析：简谐振动y＝sin 的周期是T＝＝，相位是4x＋，频率f＝＝.

答案：，4x＋

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)由题意知，A＝300.

T＝＝，∴ω＝＝100π.

∵是该函数图象的第一个零点，∴－＝－.

∴φ＝＝，符合|φ|<，

∴I＝300sin (t≥0)．

(2)问题等价于T≤，即，

∴ω≥200π.∴正整数ω的最小值为629.

跟踪训练1　解析：∵该简谐运动的函数关系式为f(x)＝2sin ，∴最小正周期T＝＝8.

又∵函数的图象过点(0，1)，

∴将点(0，1)代入函数解析式，得2sin φ＝1，即sin φ＝.

又∵|φ|<，∴φ＝.

例2　解析：(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，

由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，

即此函数第1次取得最大值，

∴ 6ω＝π，即ω＝.

∴所求的函数关系式为y＝40.5－40cos t(t≥0)．

(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，

由60.5＝40.5－40cos t0，

得cos t0＝－，

∴ t0＝或t0＝，

解得t0＝4或t0＝8，

∴t＝8时，第2次距地面60.5米，

故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．

跟踪训练2　解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．

(2)观察图象可知，从8～14时的图象是y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期的图象．

∴A＝×(50－30)＝10，b＝(50＋30)＝40.

∵＝14－8，

∴ω＝.

∴y＝10sin ＋40，

将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.

∴所求函数解析式为y＝10sin ＋40，x∈[8，14].

例3　解析：(1)由已知数据，描出曲线如图：

由表格画出曲线图，由图可求A，b，由周期T可求ω，即求y＝A sin ωt＋b.

易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，

∴ω＝＝，∴y＝3sin t＋10.(0≤t≤24)

(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，

由y≥11.5，得3sin t＋10≥11.5，∴sin t≥.①

∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π.②

由①②得t≤或t≤.化简得1≤t≤5或13≤t≤17.

∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．

跟踪训练3　解析：(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝.又t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A为，函数解析式为y＝cos t＋1(0≤t≤24)．

(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，

所以y＝cos t＋1>1，cos t>0，2kπ－<t<2kπ＋(k∈Z)，即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．

又0≤t≤24，所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t<15.

[课堂十分钟]

1．解析：由题图可知，振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确，E错．综上，BCD正确．故选BCD.

答案：BCD

2．解析：易知水轮的角速度ω＝＝π，

∴y＝3sin (ωx＋φ)＋2＝3sin ＋2，

则A＝3，ω＝.

故选B.

答案：B

3．解析：由题中表格知T＝12，

所以ω＝，A＝＝，B＝＝.

故选B.

答案：B

4．解析：T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．

答案：80

5．解析：(1)x∈[4，16]，则x－∈.

由函数解析式易知，当x－＝，即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃；

当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20(℃)．

(2)令10sin ＋20＝15，

可得sin ＝－，而x∈[4，16]，

所以x＝.

令10sin ＋20＝25，

可得sin ＝，

而x∈[4，16]，所以x＝.

故该细菌在这段时间内能存活＝(小时)．