2021学年19.2.2 一次函数课时训练

这是一份2021学年19.2.2 一次函数课时训练，共34页。试卷主要包含了如图，直线L1，如图，直线l1的解析表达式为等内容，欢迎下载使用。
专题16 压轴：一次函数综合
专题测试
1．(2018春•陆川县期末)如图，直线L1：y＝x+1与直线L2：y＝﹣x+5相交于点C直线L1与x轴相交于点A，直线L2与x轴相交于点B．
(1)求三角形ABC的面积；
(2)若经过点C的一条直线交x轴于D，直线CD把三角形ABC分成两个三角形，且这两个三角形面积的比为1：2，请直接写出点D的坐标；
(3)假设G是直线y＝x+1上的点，在坐标平面上是否存在一点Q，使以A，B，Q，G为顶点的四边形是正方形，若存在求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．

【答案】见解析
【解析】解：(1)在y＝x+1中，
当y＝0时，则x＝﹣1
∴A(﹣1，0)
在y＝﹣x+5中
当y＝0时，则x＝5
B(5，0)
∴AB＝OA+OB＝6，
由
解得，
∴C(2，3)
∴作CE⊥x轴于E．

∴E(2，0)
∴CE＝3
∴S△ABC•AB•CE
6×3＝9，
(2)由题意A(﹣1，0)，B(5，0)，AD＝2BD或BD＝2AD，
可得D(1，0)或D(3，0)．

(3)设y＝x+1交y轴于F，则F(0，1)．

∴OF＝OA
∴∠OAF＝45°
同理∠ABC＝45°
∴∠ACB＝90°
∴CA＝CB，
在L1上取点G(G异于A)，且CG＝CA，
在L2上取点Q(Q异于B)，且CQ＝CB
∴CG＝CA＝CQ＝CB，
又∵AG⊥BQ，
∴四边形ABGQ为正方形，
又∵A(﹣1，0)
AB＝AQ＝6
∴Q(﹣1，6)．
当G与C重合时，

以AB为对称轴作G的对称点Q，于是四边形AQBG为正方形．
又∵G(2，3)，
∴Q(2，﹣3)
综合上述：Q(﹣1，6)或Q(2，﹣3)．
2．(2018春•成都期末)在平面直角坐标系中，过点C(1，3)、D(3，1)分别作x轴的垂线，垂足分别为A、B．
(1)求直线CD和直线OD的解析式；
(2)点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交直线CD于点N，是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若△AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上，且不与点D重合)，在平移的过程中，设平移距离为t，△AOC与△OBD重叠部分的面积记为s，试求s与t的函数关系式．

【答案】见解析
【解析】解：(1)设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．
设直线OD的解析式为y＝mx，则有3m＝1，m，
∴直线OD的解析式为yx．
(2)存在．
理由：如图1中，设M(m，m)，则N(m，﹣m+4)．

当AC＝MN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴|﹣m+4m|＝3，
解得m或，
∴满足条件的点M的横坐标或．
(3)如图3中，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．
设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．

因为平移距离为t，所以水平方向的平移距离为t(0≤t＜2)，
则图中AF＝t，F(1+t，0)，Q(1+t，t)，C′(1+t，3﹣t)．
设直线O′C′的解析式为y＝3x+b，
将C′(1+t，3﹣t)代入得：b＝﹣4t，
∴直线O′C′的解析式为y＝3x﹣4t．
∴E(t，0)．
联立y＝3x﹣4t与yx，解得xt，
∴P(t，t)．
过点P作PG⊥x轴于点G，则PGt．
∴S＝S△OFQ﹣S△OEPOF•FQOE•PG
(1+t)(t)•t•t
(t﹣1)2．
3．(2018春•邓州市期末)直线y＝﹣x+6与x轴交于A，与y轴交于B，直线CD与y轴交于C(0，2)与直线AB交于D，过D作DE⊥x轴于E(2，0)．
(1)求直线CD的函数解析式；
(2)P是x轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与直线AB，CD交于M，N，设MN的长为d，P点的横坐标为t，求出d与t之间的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，当t为何值时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形．(直接写出结果)

【答案】见解析
【解析】解：(1)直线CD与y轴相交于C，
可设直线CD解析式为y＝kx+2，把x＝2代入中可得y＝4，
∴D(2，4)，
把D点坐标代入中可得 2K+2＝4，
∴k＝1
直线CD的函数解析式为y＝x+2；
(2)根据题意可以知道，OA＝t，
把x＝t代入y＝﹣x+6中可得y＝﹣t+6
∴M(t，﹣t+6)，
把x＝t代入y＝x+2中可得y＝t+2，
∴N(t，t+2)，
当t＜2时，d＝﹣t+6﹣(t+2)＝﹣2t+4；，
当t≥2时，d＝t+2﹣(﹣t+6)＝2t﹣4；
(3)由题意可知MN∥DE，
∵以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN＝DE＝4，
∴|2t﹣4|＝4，解得t＝0或t＝4，
即当t的值为0或4时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
4．(2018春•江岸区期末)一次函数y＝kx+3交x轴于点B，y轴于点A．(如图1)

(1)若k＝1，求线段AB的长度；
(2)如图2，点M、N是直线y＝kx+3(k＞0)上的两点，设点M、N的横坐标分别为a，b，且a＜0，b＞0，a+b≠0，过M作直线l1：y＝ax和过N作直线l2：y＝bx．
①求ab的值；
②在y轴的负半轴上是否存在一点P，使得∠MPA＝∠APN，若存在求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：(1)当k＝1时，直线AB的解析式为y＝x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴A(0，3)，
令y＝0，则x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴B(﹣3，0)，
∴AB＝3；
(2)①∵直线y＝ax过点M，
∴M(a，a2)，
∵直线y＝bx过点N，
∴N(b，b2)，
∵点M、N是直线y＝kx+3(k＞0)上的两点，
∴a2＝ak+3①，b2＝bk+3②，
①﹣②得，(a﹣b)k＝(a+b)(a﹣b)，
∵a＜0，b＞0，a+b≠0，
∴k＝a+b，
∴直线AB的解析式为y＝(a+b)x+3，
∵M(a，a2)在直线AB上，
∴a2＝a(a+b)+3，
∴ab＝﹣3；
②如图2，
作点M(a，a2)关于y轴的对称点M'，

∴M'(﹣a，a2)，
∵∠APM＝∠APN，
∴点P，M'，N在同一条直线上，
∵M'(﹣a，a2)，N(b，b2)，
∴直线M'N的解析式为y＝(b﹣a)x+ab，
由①知，ab＝﹣3，
∴直线M'N的解析式为y＝(b﹣a)x﹣3，
令x＝0，
∴y＝﹣3，
∴P(0，﹣3)．
5．(2018春•青山湖区期末)如图，在平面直角坐标系可中，直线y＝x+1与yx+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)在直线AB上是否存在点E使得四边形EODA为平行四边形？存在的话直接写出的值，不存在请说明理由；
(3)当△CBD为等腰三角形时直接写出D坐标．

【答案】见解析
【解析】解：(1)将y＝x+1与yx+3联立得：，
解得：x，y，
∴A(，)．
把y＝0代入y＝x+1得：x+1＝0，解得x＝﹣1，
∴B(﹣1，0)．
把y＝0代入yx+3得：x+3＝0，解得：x＝4，
∴C(4，0)．
(2)如图，存在点E使EODA为平行四边形．

∵EO∥AC，
∴．
(3)当点BD＝DC时，点D在BC的垂直平分线上，则点D的横坐标为，
将x代入直线AC的解析式得：y，
∴此时点D的坐标为(，)．
如图所示：

FC5．
∴BC＝CF．
∴当点D与点F重合时，△BCD为等腰三角形，
∴此时点D的坐标为(0，3)．
当点D与点F关于点C对称时，CD＝CB，
∴此时点D的坐标为(8，﹣3)．
当BD＝DC时，设点D的坐标为(x，x+3)．
依据两点间的距离公式可知：(x+1)2+(x+3)2＝25．
解得x＝4(舍去)或x．
将x代入yx+3得y，
∴此时点D的坐标为(，)．
综上所述点D的坐标为(，)或(8，﹣3)或(0，3)或(，)．
6．(2018春•青浦区期末)如图，平面直角坐标系xOy中，直线yx+2与x轴、y轴分别交于点A．B．
(1)求△AOB的面积；
(2)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A．B．P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：(1)对于直线yx+2，
令x＝0得到y＝2，令y＝0，得到x＝2，
∴A(2，0)．B(0，2)，
∴OA＝2，OB＝2，
∴S△AOB•OB•OA＝2．
(2)存在．
①当AB是菱形的边时，如图所示，
在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为(﹣2，0)，
在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝4，所以Q2点的坐标为(2，4)，
在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为(2，﹣4)，

②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，
设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝22+(2x)2，解得x，
所以Q4(2，)．
综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1(﹣2，0)，Q2(2，4)，Q3(2，﹣4)，Q4(2，)．
7．(2018春•岳池县期末)如图，直线l1的解析表达式为：y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．根据图中信息：
(1)求点D的坐标
(2)求直线l2的解析表达式
(3)求△ADC的面积
(4)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析
【解析】解：(1)∵直线l1的解析表达式为：y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，
令y＝0，
∴﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴D(1，0)；
(2)设直线l2的解析式为y＝kx+b，
由图知，A(4，0)，B(3，)，
∴，
∴
∴直线l2的解析式为；
(3)联立得：，
解得：，
即C(2，﹣3)，
∵A(4，0)，C(2，﹣3)，D(1，0)，
∴AD＝3，C纵坐标的绝对值为3，
则；

(4)存在，如图所示：

当四边形ACH2D为平行四边形时，
可得CH12AD＝3，此时H2(﹣1，﹣3)，
当四边形ACDH1为平行四边形时，
过H1作H1E⊥x轴，过C作CF⊥x轴，
易证，△CFD≌△H1EA，
∴H1E＝CF＝3，AE＝DF＝1，
此时H1(3，3)，)
当四边形ADCH3为平行四边形时，∴CH3＝AD＝3，
此时H3(5，﹣3)；
综上，H的坐标为(5，﹣3)或(﹣1，﹣3)或(3，3)．
8．(2018春•河北区期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：yx与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：yx交于点C
(Ⅰ)求点C的坐标；
(Ⅱ)求证：△OAC为等边三角形；
(Ⅲ)如图2，作∠AOC的平分线ON交AC于F，P、Q分别为线段OA、OF上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

【答案】见解析
【解析】解：(Ⅰ)由题意知，，
解得，，
∴C(，)；
(Ⅱ)针对于直线AB：yx，
令y＝0，得x＝1，
∴A(1，0)，
令x＝0，得y，
∴B(0，)，
∴OA＝1，OB，
根据勾股定理得，AB＝2，
在Rt△AOB中，tan∠OBA，
∴∠OBA＝30°，
∴∠OAB＝60°，
如图1，过点C作CD⊥OA于D，

∵C(，)，
∴OD，CD，
由勾股定理得，OC＝1，
∴OC＝OA，
∵∠OAB＝60°，
∴△OAC是等边三角形；
(Ⅲ)如备用图，∵△AOC是等边三角形，OF平分∠AOC，

∴OF⊥AB，AF＝CF，
∴点A与点C关于OE对称，
过点C作CP⊥OA交OF于点Q，此时，AQ+PQ最小，
∵C(，)，
∴AQ+PQ的最小值为CQ+PQ＝CP．
9．(2018春•新罗区期末)如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标为(2，2)．
(1)求直线OA的解析式；
(2)如图2，动点P从原点O沿x轴正方向运动，到B点时停止运动．过点P作PC⊥x轴于点P，交直线OA于点C，设点P的坐标为(m，0)，
(ⅰ)直线PC在△OAB内部扫过的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
(ⅱ)在线段AB上是否存在一点Q，使得△QPC为等腰直角三角形？若存在，求出此时m的值或m的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】见解析
【解析】解：(1)设直线OA的解析式为y＝kx，
把A(2，2)代入得到k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x．

(2)(ⅰ)①如图1中，当0＜m＜2时，直线PC在△OAB内部扫过的图形是△OPC．

Sm2．
②如图2中，当2≤m≤4时，直线PC在△OAB内部扫过的图形是四边形OAMP．

S4×2(4﹣m)2m2+4m﹣4．
(ⅱ)如图3﹣1中，当CQ＝PC，∠PCQ＝90°时．

由题意△OPC，△PCQ，△PQB都是等腰三角形，
∴OP＝PC＝CQ＝m，PQ＝BQm，PM＝2m，
∴m+2m＝4，
∴m．
如图3﹣2中，当点C与A重合时，存在点Q使得△APQ是等腰直角三角形，此时m＝2；

如图3﹣3中，当点P与点B重合时，存在△CPQ是等腰直角三角形，此时m＝4．

综上所述，满足条件的m的值为或2或4．
10．如图1，直线yx+6与y轴于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．

(1)求点B的坐标；
(2)如图2，直线AB上的两点F、G，△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点G的坐标；
(3)如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P、Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标．
【答案】见解析
【解析】解：(1)对于直线yx+6，令x＝0，得到y＝6，可得A(0，6)，
令y＝0，得到x＝8，可得D(8，0)，
∴AC＝AO＝6，OD＝8，AD10，
∴CD＝AD﹣AC＝4，设BC＝OB＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BCD中，∵BC2+CD2＝BD2，
∴x2+42＝(8﹣x)2，
∴x＝3，
∴B(3，0)．
(2)设直线AB的解析式为y＝kx+6，
∵B(3，0)，
∴3k+6＝0，
∴k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，
作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，

∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DG＝FD，∠1＝∠2，∠DMG＝∠FND＝90°，
∴△DMG≌△FND(AAS)，
∴GM＝DN，DM＝FN，设GM＝DM＝m，DM＝FN＝n，
∵G、F在直线AB上，
∴，
解得，
∴G(2，2)．
(3)如图，设Q(a，a+6)，
∵PQ∥x轴，且点P在直线y＝﹣2x+6上，
∴P(a，a+6)，
∴PQa，作QH⊥x轴于H．

∴DH＝a﹣8，QHa﹣6，
∴，
由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，
∴QHDQa，
∴aa﹣6，
∴a＝16，
∴Q(16，﹣6)，P(6，﹣6)，
∵ED∥PQ，ED＝PQ，D(8，0)，
∴E(﹣2，0)．
11．(2018春•香洲区期末)如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A(0，4)和点B(3，0)，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求出点C的坐标；
(3)点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标．

【答案】见解析
【解析】解：(1)设AB直线的解析式为：y＝kx+b，
把(0，4)(3，0)代入可得：，
解得：，
所以一次函数的解析式为：yx+4；
(2)如图，作CD⊥y轴于点D．

∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠CAD＝90°，
又∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAO．
在△ABO与△CAD中，
∵，
∴△ABO≌△CAD(AAS)，
∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．
则C的坐标是(4，7)．
(3)如图2中，作点B关于y轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB+PC的值最小．

∵B(3，0)，C(4，7)
∴B′(﹣3，0)，
把(﹣3，0)(4，7)代入y＝mx+n中，
可得：，
解得：，
∴直线CB′的解析式为y＝x+3，
令x＝0，得到y＝3，
∴P(0，3)．
12．(2018春•吉州区期末)已知∠MON＝90°，OC为∠MON的角平分线，P为射线OC上一点，A为直线OM上一点，B为直线ON上一点，且PB⊥PA．
(1)若点A在射线OM上，点B在射线ON上，如图1，求证：PA＝PB；
(2)若点A在射线OM上，点B在射线ON的反向延长线上，请将图2补充完整，并说明(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
(3)在(1)的前提下，以图2中的点O为坐标原点，ON所在的直线为x轴，OM所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设直线PA与x轴交于点D，直线PB与y轴交于E，连接DE，如图3所示，若点A的坐标为(0，6)，点B的坐标为(2，0)，求直线DE的函数解析式．

【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：如图1中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，

∵OC平分∠MON，
∴PQ＝PR，
∵∠APB＝∠QPR＝90°，
∴∠APQ＝∠BPR，
∵∠PQA＝∠PRB＝90°，
∴△PQA≌△PRB．
∴PA＝PB．
(2)如图2中，结论仍然成立．
理由：作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，

∵OC平分∠MON，
∴PQ＝PR，
∵∠APB＝∠QPR＝90°，
∴∠APQ＝∠BPR，
∵∠PQA＝∠PRB＝90°，
∴△PQA≌△PRB．
∴PA＝PB．
(3)如图3中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，

同理可得：△PQA≌△PRB．
∴QA＝RB，PQ＝PR，
设QA＝RB＝x，PR＝OQ＝OA﹣QA＝6﹣x．PQ＝OR＝OB+BR＝2+x，
∴6﹣x＝2+x，
∴x＝2，
∴P(4，4)，
设直线PA的解析式为y＝kx+b，则有
，
解得，
∴直线PA的解析式为yx+6．
由y＝0，解得x＝12，
∴D(12，0)，同理可得E(0，﹣4)，
设直线DE的解析式为y＝k′x+b′，
则有，
解得，
∴直线DE的解析式为yx﹣4．
13．(2018春•金牛区期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为(2，0)，∠ABO＝30°，且AB⊥BC．
(1)求直线BC和AB的解析式；
(2)将点B沿某条直线折叠到点0，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析
【解析】解：(1)在Rt△AOB中，∵OA＝2，∠ABO＝30°，
∴OB＝2，
在Rt△OBC中，∵∠BCO＝30°，OB＝2，
∴OC＝6，
∴B(0，2)，C(6，0)，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线AB的解析式为yx+2，
设直线BC的解析式为y＝k′x+b′则有，
解得，
∴直线BC的解析式为yx+2．
(2)如图1中，根据对称性可知，当点F与O重合时，∠EF′D＝∠EBD＝90°，此时F′(0，0)，

设DE交OB于K，作FH⊥DE于H．当△EFD≌△DF′E时，∠EFD＝∠DF′E＝90°，
易证DK＝EH＝1，DEAC＝4，
∴KH＝OF＝4﹣2＝2，
∴F(﹣2，0)，
综上所述，满足条件的点F坐标为(﹣2，0)或(0，0)．
(3)如图2中，

∵B(0，2)，C(﹣6，0)，
∴BC＝4，
当BC为正方形BCMN的边时，M(﹣6﹣2，6)，N(﹣2，26)或M′(26，﹣6)，N′(2，26)．
当BC为正方形的对角线时，M″(﹣3，3)，N″(3，3)．
14．(2018春•锦江区期末)已知菱形ABCD的边长为5，其顶点都在坐标轴上，且点A坐标为(0，﹣3)．
(1)求点B的坐标及菱形ABCD的面积；
(2)点P是菱形边上一动点，沿A→B→C→D运动(到达D点时停止)
①如图1，当点P关于x轴对称的点Q恰好落在直线yx﹣3上时，求点P的坐标．
②探究：如图2，当P运动到BC，CD边时，作△ABP关于直线AP的对称图形为△AB′P，是否存在这样的P点，使点B′正好在直线yx﹣3上？若存在，求出满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析
【解析】解：(1)如图1中，

∵四边形ABCD 菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，OA＝OC，OB＝OD，
∵A(0，﹣3)，
∴OA＝3，
在Rt△AOD中，OD4，
∴BD＝8，AC＝6，
∴S菱形ABCDBD×AC＝24．

(2)①如图2中，

由题意B(4，0)，C(0，3)，
∴直线BC的解析式为yx+3，
由解得，
∴Q(，)，
∴当点P坐标为(，)时，点P关于x轴对称的点Q恰好落在直线yx﹣3上，
当点P′与C重合时，点P′关于x轴对称的点Q′恰好落在直线yx﹣3上，此时P′(0，3)，
综上所述，满足条件的点P坐标为(，)或(0，3)；
②如图3中，

当AP平分∠BAQ时，满足条件，
由题意A(0，﹣3)，B(4，0)，Q(，)，
∴AQ，BQ，
∵(角平分线性质定理，可以用面积法证明)，
∴，
∴PB，
∴可得P(，)．
当AP′⊥AP时，B″在直线AQ上，
此时直线AP′的解析式为y＝﹣x﹣3，直线CD的解析式为yx+3，
由，解得，
∴P′(，)，
综上所述，满足条件的点P坐标为(，)或(，)．
15．(2018春•武侯区期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB经过点A(﹣2，0)，与y轴的正半轴交于点B，且OA＝2OB．

(1)求直线AB的函数表达式；
(2)点C在直线AB上，且BC＝AB，点E是y轴上的动点，直线EC交x轴于点D，设点E的坐标为(0，m)(m＞2)，求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
(3)在(2)的条件下，若CE：CD＝1：2，点F是直线AB上的动点，在直线AC上方的平面内是否存在一点G，使以C，G，F，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：(1)∵A(﹣2，0)，OA＝2OB，
∴OA＝2，OB＝1，
∴B(0，1)，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线AB的解析式为yx+1．
(2)∵BC＝AB，A(﹣2，0)，B(0，1)，
∴C(2，2)，
设直线DE的解析式为y＝k′x+b′，则有，
解得，
∴直线DE的解析式为yx+m，
令y＝0，得到x，
∴D(，0)．
(3)如图1中，作CF⊥OD于F．

∵CE：CD＝1：2，CF∥OE，
∴，
∵CF＝2，
∴OE＝3．
∴m＝3．
∴E(0，3)，D(6，0)，

①当EC为菱形ECFG的边时，F(4，3)，G(2，4)或F′(1，0)，G′(﹣2，2)．
②当EC为菱形EF″CG″的对角线时，F″G″垂直平分线段EC，易知直线DE的解析式为yx+3，直线G″F″的解析式为y＝2x，
由，解得，
∴F″(，)，
设G″(a，b)，则有，，
∴a，b，
∴G″(，)．
16．(2018春•金山区期末)如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO＝45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y＝﹣2x+8与直线AQ交于点P．
(1)求直线AQ的解析式；
(2)在y轴正半轴上取一点F，当四边形BPFO是梯形时，求点F的坐标．
(3)若点C在y轴负半轴上，点M在直线PA上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．

【答案】见解析
【解析】解：(1)设直线AQ的解析式为y＝kx+b，
∵直线AQ在y轴上的截距为2，
∴b＝2，
∴直线AQ的解析式为y＝kx+2，
∴OQ＝2，
在Rt△AOQ中，∠OAQ＝45°，
∴OA＝OQ＝2，
∴A(﹣2，0)，
∴﹣2k+2＝0，
∴k＝1，
∴直线AQ的解析式为y＝x+2；
(2)由(1)知，直线AQ的解析式为y＝x+2①，
∵直线BE：y＝﹣2x+8②，
联立①②解得，
∴P(2，4)，
∵四边形BPFO是梯形，
∴PF∥x轴，
∴F(0，4)；
(3)设C(0，c，)
∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，
①当CQ是对角线时，CQ与MN互相垂直平分，
设C(0，c，)，
∵CQ的中点坐标为(0，)，
∴点M，N的纵坐标都是，
∴M(，)，N(，)，
∴0，
∴c＝﹣10，
∴C(0，﹣10)，
②当CQ为边时，CQ∥MN，CQ＝MN＝QM，
设M(m，m+2)，
∴N(m，﹣2m+8)，
∴|3m﹣6|＝2﹣c|m|
∴m或m，
∴c或c(舍)
∴，
∴(0，)或C(0，﹣10).