高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案设计

5.4.1   正弦函数、余弦函数的图象

学习目标

知识梳理

名师导学

知识点1    五点法作正弦、余弦函数的图象

【例】用“五点法”作出下列函数的简图：

(1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]；

(2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π]．

反思感悟　

作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤

变式训练

用“五点法”画出函数y＝2sin x在区间[0，2π]上的图象．

知识点2    正弦、余弦函数图象的简单应用

【例1】利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的集合．

【例2】函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为________．

反思感悟　

用三角函数图象解三角不等式的方法

(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；

(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；

(3)写出不等式的解集．　　　　

变式训练

1．在[0，2π]内，求不等式sin x<－的解集．

2．求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝ ；

(2)f(x)＝lg cos x＋.

当堂测评

1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　)

A．0，，π，π，2π　　　　 B．0，，，π，π

C．0，π，2π，3π，4π  D．0，，，，

2．函数y＝－cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)

A.  B．(π，1)

C．(0，1)  D．(2π，1)

3．函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图是(　　)

4．已知函数f(x)＝3＋2cos x的图象经过点，则b＝________．

5．函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________．

名师导学

知识点1    五点法作正弦、余弦函数的图象

【例】用“五点法”作出下列函数的简图：

(1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]；

(2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π]．

[解]　(1)按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．

(2)按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．

反思感悟　

作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤

变式训练

用“五点法”画出函数y＝2sin x在区间[0，2π]上的图象．

解：按五个关键点列表如下：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．

知识点2    正弦、余弦函数图象的简单应用

【例1】利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的集合．

[解]　首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；

作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.

观察图象可知，在[0，2π]上，当<x≤，或≤x<时，不等式<sin x≤ 成立．

所以<sin x≤的解集为.

【例2】函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为________．

[解析]　要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－.画出y＝sin x，x∈的草图，如图所示．

当－<x<时，不等式sin x>－成立，所以sin x>－的解集为.

可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为.

[答案]　

反思感悟　

用三角函数图象解三角不等式的方法

(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；

(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；

(3)写出不等式的解集．　　　　

变式训练

1．在[0，2π]内，求不等式sin x<－的解集．

解：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下．

因为sin ＝，所以sin＝－，sin＝－.即在[0，2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－在[0，2π]内的解集是.

2．求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝ ；

(2)f(x)＝lg cos x＋.

解：(1)要使函数有定义，需满足2cos2x＋sin x－1≥0，

即2sin2x－sin x－1≤0，

解得－≤sin x≤1，由正弦函数的图象(图略)，可得.

(2)由题意，得x满足不等式组

即作出y＝cos x的图象，如图所示．

结合图象可得：x∈∪∪.

当堂测评

1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　)

A．0，，π，π，2π　　　　 B．0，，，π，π

C．0，π，2π，3π，4π  D．0，，，，

解析：选B　由五点作图法，令2x＝0，，π，π，2π，解得x＝0，，，π，π.

2．函数y＝－cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)

A.  B．(π，1)

C．(0，1)  D．(2π，1)

解析：选B　用五点作图法作出函数y＝－cos x(x>0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．

3．函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图是(　　)

解析：选A　列表：

观察各图象发现A项符合．

4．已知函数f(x)＝3＋2cos x的图象经过点，则b＝________．

解析：b＝f＝3＋2cos＝4.

答案：4

5．函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________．

解析：作出函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，.

答案：，