高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式导学案

第2课时　一元二次不等式的应用

课程标准

(1)会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式．(2)掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．(3)能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　分式不等式的解法

若f(x)与g(x)是关于x的多项式，则不等式>0(或<0，或≥0，或≤0)❶称为分式不等式．解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．

(1)>0⇔________；        (2)<0⇔________；

(3)≥0⇔    (4)≤0⇔

要点二　一元二次不等式恒成立问题

1．不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等

式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为

一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为

2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.

助 学 批 注

批注❶　对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．

批注❷　当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x恒成立应满足的条件为或

基 础 自 测

1.不等式<0的解集为(　　)

A．∅              B．{x|2<x<3}

C．{x|x<2或x>3}    D．R

2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A等于(　　)

A．{x|－1≤x<0}    B．{x|0<x≤1}

C．{x|0≤x<2}     D．{x|0≤x≤1}

3．关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)

A．{m|0＜m＜4}      B．{m|m＜－2或m＞2}

C．{m|－2≤m≤2}    D．{m|－2＜m＜2}

4．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1　简单的分式不等式求解

例1　解下列不等式：

(1)≥0；(2)＞1.

方法归纳

解不等号右边不为零的分式不等式的方法

先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．

巩固训练1　解下列不等式：

(1)≥0；(2)＞1.

题型 2　不等式的恒成立问题

例2　(1)已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围．

(2)若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对于x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

方法归纳

不等式恒成立问题的解题策略

解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．　　

巩固训练2　∀x∈R，不等式ax2＋4x－1＜0恒成立，则a的取值范围为(　　)

A．a＜－4    B．a＜－4或a＝0

C．a≤－4    D．－4＜a＜0

题型 3　一元二次不等式的实际应用

例3　汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速v(km/h)分别有如下关系式：s1＝0.1v＋0.01v2，s2＝0.05v＋0.005v2.问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？

方法归纳

求解一元二次不等式应用问题的步骤

巩固训练3　某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

第2课时　一元二次不等式的应用

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

(1)f(x)g(x)>0　(2)f(x)g(x)<0

[基础自测]

1．解析：<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得：2<x<3.

答案：B

2．解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x<0或x≥2}，∴A＝{x|－1≤x<0}．

答案：A

3．解析：不等式x2－mx＋1>0的解集为R，所以Δ<0，即m2－4<0，解得－2<m<2.

答案：D

4．解析：5%＜＜6%，

解得x的取值范围是{x|100＜x＜400}．

答案：{x|100＜x＜400}

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)原不等式可化为解得

∴x<－或x≥，

∴原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为＞0，

化简得＞0.即＜0，

∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－.∴原不等式的解集为.

巩固训练1　解析：(1)原不等式可化为≤0，

∴∴

即－＜x≤1.故原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为－1＞0，∴＞0，

∴＞0，则x＜－2.故原不等式的解集为{x|x＜－2}．

例2　解析：(1)对于所有实数x都有不等式mx2－2x＋m－2＜0恒成立，即函数y＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；

当m≠0时，由二次函数的图象可知有

综上可知，m的取值范围是{m|m＜1－}

(2)当m2－2m－3＝0时， m＝3 或 m＝－1.

若m＝3，不等式化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意；

若m＝－1，不等式化为4x－1<0，显然不满足对于x∈R恒成立.

当m2－2m－3≠0时，应有

即解得－＜m＜3.

m的范围为.

巩固训练2　解析：∀x∈R，不等式ax2＋4x－1＜0恒成立，

当a＝0时，显然不恒成立，

所以，解得：a＜－4.

答案：A

例3　解析：因为甲种车型的刹车距离s(m)与车速v(km/h)的关系式：s1＝0.1v＋0.01v2，

所以由题意可得：s1＝0.1v＋0.01v2＞12⇒v2＋10v－1 200＞0⇒v＞30，或v＜－40(舍去)，即v＞30，当v＝40时，s1＝0.1×40＋0.01×1 600＝20＞12，

显然甲种车型没有超速现象；

因为乙种车型的刹车距离s(m)与车速v(km/h)的关系式：s2＝0.05v＋0.005v2，

所以由题意可得：s2＝0.05v＋0.005v2＞10⇒v2＋v－2 000＞0⇒v＞40，或v＜－50(舍去)，即v＞40，因此乙种车型有超速现象．

巩固训练3　解析：设花卉带的宽度为xm(0<x<600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0＜x≤100.