高中数学第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用教课ppt课件

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1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.
2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库.如何在公路上选择一个点，修一条公路到达A点，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？
问题1　如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
问题2　类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
提示　在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离.
如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系，
用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量.(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离.
如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，
点、直线、平面到平面的距离
问题3　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何求平面α外一点P到平面α的距离？
(2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.(3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离；
设DH⊥平面PEF，垂足为H，
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)，
用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.
如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平面AB1D1的距离为 ，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高.
设正四棱柱的高为h(h>0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1，1，h)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
取z＝1，得n＝(h，h,1)，
解得h＝2.故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2.
1.知识清单： (1)点到直线的距离. (2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化.2.方法归纳：数形结合、转化法.3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础.
1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为
∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，
∴点A到直线BC的距离为
2.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是
以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
3.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C 与平面A1C1D 之间的距离为
故m＝(1,1,1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D，
4.已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为____.
1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为
方法一　连接BD，AC交于点O(图略)，
方法二　如图建立空间直角坐标系，易得C(a，a,0)，D1(0，a,2a)，
2.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是
3.已知动直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l确定的平面的距离为
4.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是
以D为坐标原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5).设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x>0).设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，
5.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于
则B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，E(2,1，2)，F(1,2,2).
设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得n＝(2,2,1).
6.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为
7.Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝ ，则点P到斜边AB的距离是____.
以C为坐标原点，CA，CB，CP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(4,0,0)，B(0,3,0)，
8.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie na)，如图.已知在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为_____.
以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)，C(0,2,0)，由M为PC的中点可得M(1,1,1).
设n＝(x，y，z)为平面ABM的一个法向量，
9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点.(1)求点M到直线AC1的距离；
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，
故点M到直线AC1的距离
(2)求点N到平面MA1C1的距离.
设平面MA1C1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1,1,0)，所以 ＝(－1,1，－1)，
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.(1)求直线FC1到直线AE的距离；
所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离.
(2)求直线FC1到平面AB1E的距离.
因为AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E，所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离.
12.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为
以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则M(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)，
设平面D1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，得n＝(1,0,2)，所以点M到平面D1EF的距离为
13.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为_____.
如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0，0,1)，M ，A(1,0,0)，
设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1,1,1).
故MN∥平面ACD1，
14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为______.
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，
15.如图，在四棱锥P－ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，则四棱锥P－ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为
该几何体的直观图如图所示，分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO，
∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM，又∵PO⊥AD，∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系.则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(－1,2,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,1)，
设四棱锥P－ABCD外接球的球心为N(0,1，a)，∵PN＝NA，∴1＋(1－a)2＝1＋1＋a2，解得a＝0.设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则四棱锥P－ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为
16.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，侧棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为 .
假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则E(2λ，2(1－λ)，2λ)，
设n＝(x，y，z)为平面AED的一个法向量，