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    新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】3.2.2 第2课时 奇偶性的应用
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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质说课课件ppt

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质说课课件ppt,文件包含322第2课时奇偶性的应用pptx、322第2课时奇偶性的应用docx等2份课件配套教学资源,其中PPT共58页, 欢迎下载使用。


    第2课时 奇偶性的应用
    第三章 3.2.2 奇偶性
    学习目标
    1.掌握用奇偶性求解析式的方法.
    2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.
    内容索引
    根据函数奇偶性求函数的解析式


    知识梳理
    用奇偶性求解析式的步骤:如果已知函数的奇偶性和一个区间[a,b]上的解析式,求关于原点的对称区间[-b,-a]上的解析式,其解决思路为(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
    (1)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,求f(x)的解析式.
    当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=-x2-2x-3.即当x<0时,f(x)=-x2-2x-3.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.
    (2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)= ,求函数f(x),g(x)的解析式.
    ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),


    延伸探究1.在本例(1)中,把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”,其余不变,求当x<0时,f(x)的解析式.
    当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(-x),所以f(x)=x2+2x+3.即当x<0时,f(x)=x2+2x+3.
    2.在本例(2)中,把条件“f(x)是偶函数,g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数,g(x)是偶函数”,再求f(x),g(x)的解析式.
    ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),


    (1)已知某区间上函数的解析式,求对称区间上的函数的解析式,应设这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x,此时-x成为了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式.(2)已知函数f(x),g(x)组合运算与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解.提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.
    反思感悟
    (1)已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,当x∈(-∞,0)时,求f(x)的解析式.
    设x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,又f(x)在R上为偶函数,∴当x∈(-∞,0)时,f(x)=f(-x)=x2-x-1.
    (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式.
    设x>0,则-x<0,则f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.又f(x)是R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2-x.又∵函数的定义域为R,∴f(0)=0,
    利用函数奇偶性与单调性比较大小


    问题 想一想奇函数与偶函数的图象特点,如果奇函数在(-2,-1)上单调递减,那么它在(1,2)上的单调性如何?如果偶函数在(-2,-1)上单调递减,那么它在(1,2)上的单调性如何?
    提示 奇函数在(1,2)上单调递减,偶函数在(1,2)上单调递增.
    知识梳理
    1.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a单调递增
    一致(相同)
    单调递减
    相反
    -M
    N
      已知f(x)是奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是A.f(-0.5)
    ∵函数f(x)为奇函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在R上单调递增,∴f(-1)比较大小的求解策略(1)若自变量在同一个单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;(2)若自变量不在同一个单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上,然后利用单调性比较大小.
    反思感悟
       设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(-x)=f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)
    由偶函数与单调性的关系知,若x∈[0,+∞),f(x)单调递增,则x∈(-∞,0]时,f(x)单调递减,故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小,则其函数值越小,∵|-2|<|-3|<π,∴f(π)>f(-3)>f(-2).
    利用函数的单调性与奇偶性解不等式


      设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)在[-2,2]上单调递减.
    利用函数奇偶性与单调性解不等式,一般有两类(1)利用图象解不等式;(2)转化为简单不等式求解.①利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式;②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.特别提醒:列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域.
    反思感悟
       已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若f(-3)=0,则  <0的解集为________________.
    ∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.∴f(3)=f(-3)=0.当x>0时,由f(x)<0,解得x>3;当x<0时,由f(x)>0,解得-33}.
    {x|-33}
    课堂小结
    1.知识清单: (1)利用奇偶性求函数的解析式. (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.2.方法归纳:转化法、数形结合法.3.常见误区:解不等式易忽视函数的定义域.
    随堂演练

    1.设函数f(x)=       若f(x)是奇函数,则g(-2)等于A.-1   B.0   C.1   D.2

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    由已知可得g(-2)=f(-2)=-f(2)=-(22-2×2)=0.
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    2.设偶函数f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则

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    ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2).
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    3.已知函数f(x)=       为奇函数,则a+b等于A.-1 B.1C.0 D.2

    当x<0时,-x>0,∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).即ax2-bx=-x2-x,∴a=-1,b=1.故a+b=0.
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    4.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,若f(a)>f(3),则实数a的取值范围是________.
    由题意可知|a|<3,解得-3(-3,3)
    课时对点练

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    1.设函数f(x)=       为奇函数,则实数a 等于A.-1 B.1C.0 D.-2

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    2.若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数,则函数f(x)的单调递增区间为A.(-∞,0] B.[0,+∞)C.(-∞,+∞) D.[1,+∞)

    因为函数为偶函数,所以a+2=0,a=-2,即函数f(x)=-2x2+1,所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递增.
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    3.如果奇函数f(x)在区间[-3,-1]上单调递增且有最大值5,那么函数f(x)在区间[1,3]上A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5

    ∵f(x)为奇函数,∴f(x)在[1,3]上的单调性与[-3,-1]上一致且f(1)为最小值,又已知f(-1)=5,∴f(-1)=-f(1)=5,∴f(1)=-5.
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    4.设函数f(x)= 且f(x)为偶函数,则g(-2)等于A.6   B.-6    C.2    D.-2

    g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6.
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    5.若奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有A.最大值- B.最大值C.最小值- D.最小值

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    方法二 (直接法)当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x),
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    6.(多选)一个偶函数定义在区间[-7,7]上,它在[0,7]上的图象如图所示,下列说法正确的是A.这个函数有三个单调递增区间B.这个函数有两个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-7


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    根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性,作出函数在[-7,0]上的图象,如图所示,可知这个函数有三个单调递增区间;有三个单
    调递减区间;在其定义域内有最大值是7;在其定义域内最小值不是-7.
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    7.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)从小到大的排列是_______________.
    ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)恒成立,即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,∴m=0,即f(x)=-x2+2.∵f(x)的图象开口向下,对称轴为y轴,在[0,+∞)上单调递减,∴f(2)f(-2)1
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    9.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0.
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    ∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,由f(1-x)+f(1-2x)<0,得f(1-x)<-f(1-2x),即f(1-x)1
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    10.已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上单调递增,且f(x)<0,试问F(x)= 在(-∞,0)上单调递增还是单调递减?证明你的结论.
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    F(x)在(-∞,0)上单调递减.证明如下:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0.因为y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x)<0,所以f(-x2)f(x1)>0.
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    即F(x1)>F(x2),
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    11.已知函数f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若f(2 022)=k,则f(-2 022)等于A.k B.-kC.1-k D.2-k

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    方法一 令g(x)=ax3+bx(ab≠0),则g(x)是奇函数,从而f(-2 022)=g(-2 022)+1=-g(2 022)+1.又因为f(2 022)=k,所以g(2 022)=k-1,从而f(-2 022)=-(k-1)+1=2-k.方法二 因为f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2,所以f(-2 022)+f(2 022)=2.又因为f(2 022)=k,所以f(-2 022)=2-k.
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    12.设奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(1)=0,则不等式 <0的解集为A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

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    ∵f(x)在(0,+∞)上单调递减且f(1)=0,
    ∵奇函数的图象关于原点对称,∴在(-∞,0)上f(x)单调递减且f(-1)=0,
    综上,不等式的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
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    13.若函数y=f(x)是奇函数,且函数F(x)=af(x)+bx+2在(0,+∞)上有最大值8,则函数y=F(x)在(-∞,0)上有A.最大值-8 B.最小值-8C.最小值-6 D.最小值-4

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    ∵y=f(x)和y=x都是奇函数,∴T(x)=af(x)+bx也为奇函数.又∵F(x)=af(x)+bx+2在(0,+∞)上有最大值8,∴T(x)=af(x)+bx在(0,+∞)上有最大值6,∴T(x)=af(x)+bx在(-∞,0)上有最小值-6,∴F(x)=af(x)+bx+2在(-∞,0)上有最小值-4.
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    14.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.
    ∵f(x)为偶函数,∴f(x-1)=f(|x-1|),又f(2)=0,f(x-1)>0,∴f(|x-1|)>f(2).∵|x-1|,2∈[0,+∞),且f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴|x-1|<2,即-2(-1,3)
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    15.已知定义在R上的奇函数满足f(x+8)=f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则A.f(25)
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    ∵f(x+8)=f(x),∴f(25)=f(17)=f(9)=f(1),同理f(80)=f(0),又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,∴f(x)在区间[-2,2]上单调递增,∴f(-1)1
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    16.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足下面两个条件:①对于任意的x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y);②当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.试求函数f(x)在[-3,3]上的值域.
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    任取x1,x2,且-3≤x1<x2≤3,则x2-x1>0,f(x2-x1)<0,∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,即f(x2)<f(x1),∴f(x)在[-3,3]上单调递减,又f(1)=-2,f(2)=f(1)+f(1)=-4,∴f(3)=f(1)+f(2)=-2-4=-6,又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-3)=-f(3)=6,又f(x)在[-3,3]上单调递减,∴函数f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6].
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